Kúpos szakasz

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A kúpmetszet , vagy kúp [1] , egy sík metszéspontja egy jobb oldali körkúp felületével . A kúpszelvényeknek három fő típusa van: ellipszis , parabola és hiperbola , ezen kívül vannak degenerált szakaszok is: pont , vonal és vonalpár. A kör az ellipszis speciális eseteként fogható fel . Ezenkívül a parabola egy olyan ellipszis extrém esetének tekinthető, amelynek egyik góca a végtelenben van.

Kúpos metszeteket kaphatunk egy sík és egy kétoldali kúp metszéspontjaként

( derékszögű koordinátákkal )

Itt

 a kúp generatrixa és tengelye közötti szög.

Ha a sík áthalad az origón , akkor degenerált szakaszt kapunk. Nem degenerált esetben

A körkúp egyenlete másodfokú, ezért minden kúpszelet négyzet, a sík összes négyzete is kúpmetszet (bár két párhuzamos egyenes egy degenerált négyzetet alkot, ami nem kapható meg kúp metszetként, de igen henger szakaszaként kapjuk meg  - degenerált kúp , és általában "degenerált kúpszelvénynek" tekintik).

Történelem

A kúpszeleteket az ókori Görögország matematikusai ismerték .

A legteljesebb munka, amelyet ezeknek a görbéknek szenteltek, Pergai Apollóniosz "kúpmetszete" volt (kb. ie 200). Nyilván ő írta le először az ellipszis és a hiperbola gócát [2] :41 .

Az alexandriai Pappus volt az első, aki leírta a parabola fókuszát, és levezette a kúpszelet általános egyenletét, mint azon pontok lokuszát, amelyeknél a fókuszponthoz és az irányhoz viszonyított távolságok aránya állandó [2] :48 .

Excentricitás

A kör kivételével minden nem degenerált kúpmetszet a következőképpen írható le:

Válasszunk ki egy pontot és egy egyenest a síkon , és állítsunk be egy valós számot . Ekkor a pontok lokusza , amelyeknél a pont és az egyenes távolsága egy tényezővel különbözik , egy kúpszelet. A pontot a kúpszelet fókuszának nevezzük , az egyenest a direktrix , a számot pedig az excentricitásnak .

Az excentricitástól függően kiderül:

Egy kör esetében ez feltételezhető (bár valójában GMT-ben csak egy pont ).

Az excentricitás a kúp paramétereihez és a vágási sík kúp tengelyéhez viszonyított elhelyezkedéséhez a következő összefüggéssel [3] :46.47 :

itt - a vágósík dőlésszöge a kúp tengelyéhez képest, - a generatrix és a kúp tengelye közötti szög, amely egyenlő a kúp nyitási szögének felével. Ebből a képletből látható, hogy egy adott kúpot síkkal metszve tetszőleges excentricitású ellipszist kaphatunk, parabolát, hiperbolát pedig csak olyat kaphatunk, amelynek excentricitása nem haladja meg a -t . Ezt a maximális értéket akkor érjük el, ha egy adott kúpot a tengelyével párhuzamos síkkal elvágunk.

Dandelin golyók

A kúpszelvények néhány fontos tulajdonságát úgy kapjuk meg, hogy figyelembe veszünk két olyan golyót, amelyek egy kúpmetszetet érintenek, és egy kúpot – a Dandelin-golyókat . Segítségükkel megállapítható például egy kúpszelvény fókuszának, irányának és excentricitásának geometriai jelentése [3] :46,47 .

Tulajdonságok

Poláris kettősség

Rögzítünk egy kört a síkon . A sík bármely pontja relatíve hozzárendelhető a polárishoz - és fordítva, bármely egyenes társítható a pólusához. Az így létrejövő transzformációt, amely vonalakat pontokhoz és pontokat egyenesekhez társít, poláris megfeleltetésnek nevezzük, és involúciónak nevezzük , az ilyen transzformáció alatt lévő pontok és vonalak képeit duális képeknek nevezzük. A poláris megfelelést nem csak egy körre, hanem bármely kúposra is meg lehet határozni - ebben az esetben ez egy projektív transzformáció összetétele lesz, amely ezt a kúpot körbe viszi, egy poláris megfelelés ehhez képest. kör, és egy inverz projektív transzformáció.

A sima görbe kettős képe a görbe összes érintőjének kettős képeinek halmaza. Akkor igaz, hogy a kúp kettős képe is kúp. Így néhány állítás, mint például Pascal és Brianchon tétele, egymás poláris kettőse.

Csoportok átalakítása

Koordináta ábrázolás

Derékszögű koordináták

A derékszögű koordinátákban a kúpszeleteket egy általános másodfokú polinom írja le :

Más szavakkal, a kúpszelvények másodrendű görbék . Megkülönböztető jel

meghatározza a kúpszelvény típusát.

Poláris koordináták

A polárkoordinátákban , amelyek középpontjában az egyik fókusz és nulla irány a főtengely mentén, a kúpszeletet az egyenlet ábrázolja.

ahol e az excentricitás és l a fókuszparaméter.

Trajektóriák a gravitációs és hasonló erők terén

A klasszikus mechanika keretein belül egy anyagi pont vagy egy merev gömbszimmetrikus test pályája az inverz négyzettörvénynek megfelelő erő mezőjében a kúpszelvények egyike - parabola, hiperbola, ellipszis (különösen kör). vagy egyenes vonal.

Abban az esetben, ha egy ilyen erő vonzó erő, ezek a pályák mindegyike lehetséges (a kezdeti feltételektől függően); ha taszító erőről van szó, akkor csak egyenesek és hiperbolák lehetségesek.

Egy test mozgáspályája (vagy bármely nem pontszerű test esetén tömegközéppontja) egyenletes állandó erőtérben [5] a klasszikus mechanika keretei között egzakt parabola.

Ez a következtetés nem csak az erőközéppont rögzített (mozdulatlan) helyzetére érvényes [6] , hanem két összehasonlítható tömegű pont vagy gömbtest kölcsönhatására is [7] .

A második állítás a klasszikus mechanika keretein belül egzakt (a gyakorlatban annyira pontos, hogy a kölcsönhatási erő pontosan hogyan teljesíti az inverz négyzettörvényt, és nincs más erő).

Kettőnél több kölcsönhatásban lévő testre mindez általánosságban véve nem igaz (azaz a pályák csak ritka speciális esetekben lehetnek pontos kúpszeletek - kiválasztott speciális kezdeti feltételek mellett), de jó közelítés lehet a egy hatalmas központi test és viszonylag gyengén kölcsönhatásba lépő, sokkal kisebb tömegű más testek esete, különösen a Naprendszer egészét tekintve, kivéve a kis égitesteket, amelyek néha túl közel kerülnek a bolygókhoz.

Fizikailag a helyzet nevezhető pontok (amelyek mérete nagyon kicsi a többi test távolságához képest) vagy gömb alakú testek kölcsönhatása gravitációs erők hatására, amelyek engedelmeskednek az univerzális gravitáció törvényének (ez a törvény meglehetősen jó közelítés). a legtöbb esetben valós gravitációs kölcsönhatás leírása, amellyel a Naprendszeren belül ütközünk) és/vagy a Coulomb-törvénynek [8] engedelmeskedő elektrosztatikus erők .

Ahhoz, hogy a testek pályái kúpszelvények legyenek [9] , fontos, hogy az egymással kölcsönhatásban lévő testek számának és/vagy tömegének fent leírt feltételei teljesüljenek, és ideális esetben ne legyenek (gyakorlatilag elhanyagolhatóak, ill. jól kompenzált) minden egyéb erő, mint pl. aerodinamikai légellenállási erők (ehhez pl. a közeg megfelelő ritkítása, vákuum szükséges), sugárzási veszteségek (elektromosan töltött testek mozgása esetén ezek Jelentősek lehetnek, a newtoni gravitáció keretében az ilyen veszteségek mindig nullával egyenlőek, a valóságban azonban a gravitációs hullámok sugárzásából adódó veszteségek a közeli masszív és gyorsan mozgó objektumok kölcsönhatása során is észrevehetők. A szokásos aerodinamikai légellenállás mellett jelentősek lehetnek olyan erők, mint a nyomóerő és a napszél miatti ellenállási erő.

A kozmikus testek mozgatásakor ezek a feltételek általában legalább bizonyos mértékig teljesülnek, így a kúpmetszet egy valós pálya elfogadható, és gyakran nagyon jó közelítése (egy ideig).

A Naprendszerben a bolygók pályája elég jó közelítéssel ellipszisek (a pontos ellipticitástól való eltérés a Merkúrnál a legnagyobb), az üstökösök pályái ellipszisek, hiperbolák [10] ; az üstököspályák gyakran "majdnem parabolikusak" [11] (lásd még Égi mechanika ).

Az ágyúgolyó repülési útvonala a Föld gravitációs mezejében, a levegő befolyásának figyelembe vétele nélkül, egy parabolához közeli ellipszis íve (mivel az ágyúgolyó sebessége sokkal kisebb, mint az első kozmikusé).

Egy kicsi (a Föld sugarához képest) laboratóriumban a gravitációs tér egységesnek és állandónak tekinthető. Ha egy ilyen laboratóriumban elég jól kiszivattyúzzák a levegőt, akkor a beledobott kő röppályája szinte pontos parabola (vagy egyenes) lesz [12] . Normál körülmények között (levegő jelenléte) a kidobott testek röppályái általában véve jelentősen eltérnek a paraboláktól és az egyenesektől (kivéve a szigorúan függőleges dobást), azonban alacsony sebességnél és rövid repülési távolságoknál legyen egészen közel egy parabolához.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Lohwater AJ orosz-angol matematikai tudományok szótára. Szerkesztette: R.P.Boas. 1990. 162. oldal
  2. ↑ 1 2 Florian Cajori, A matematika története, 5. kiadás, 1991
  3. ↑ 1 2 Pogorelov A. V. Geometria. — M .: Nauka , 1983. — 288 p.
  4. ↑ A.V. Akopjan, A.A. Zaslavszkij. Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai . — M.: MTsNMO, 2007. — S.  79 .
  5. ↑ Olyan erőt értünk, amelynek nagysága és iránya a vizsgált mozgástartományban mindenhol azonos, időben állandó; más erők, amelyek sértenék ezt a tulajdonságot, hiányzónak tekintendők. Más szóval, ebben az esetben a testre mindig ugyanaz, irányú és nagyságú, állandó erő hat. Ez a gyakorlatban több olyan erő eredője is lehet, amely kielégíti a leírt feltételt, és a lehetséges eltérések, ha nem is pontosan nulla, kicsik - akkor a parabola hozzávetőleges megoldása lesz a pályának.
  6. ↑ Ez az opció jó pontossággal valósul meg abban az esetben, ha az egyik kölcsönható test tömege sokkal nagyobb, mint a másodiké. Ekkor az első test (majdnem) mozdulatlan, következésképpen a második testre ható erő középpontja mozdulatlan.
  7. ↑ Ebben az esetben könnyen kimutatható, hogy a kölcsönhatásban lévő testek rendszerének tömegközéppontja egy rögzített erőközéppont szerepét tölti be, és a két testre ható erő fordítottan arányos a test négyzetével. a távolság ettől a központtól.
  8. ↑ A gyakorlatban a klasszikus mozgásnak ez a tisztán elektrosztatikus kölcsönhatás körülményei közötti esete kevésbé fontos és meglehetősen ritka, mivel meglehetősen ritka az az eset, amikor egy túlnyomórészt elektrosztatikus kölcsönhatás jelenléte más erők viszonylagos csekélységével, de elméletileg igen. lehetséges.
  9. ↑ A valóságban ez csak megközelítőleg lehetséges, de arról beszélünk, hogy ez legalább elég jó közelítés.
  10. ↑ Hughes D.U. A hiperbolikus üstökösökről  //  A British Astronomical Association folyóirata. - 1991. - 1. évf. 101, sz. 2 . - 119-120 . o .
  11. ↑ A Halley-típusú üstökösök befogásának jellemzői szinte parabola pályáról
  12. ↑ Szigorúan véve csak akkor, ha a Föld nem forog; a Föld forgása, ha gyengén is, de torzítja a valós pályát.

Irodalom

Linkek