Állandó szélességű görbe
Az állandó szélességű görbe egy lapos konvex görbe , a merőleges vetület hossza ( Feret átmérő ) bármely egyenesre egyenlő .
Más szavakkal, az állandó szélességű görbe egy lapos konvex görbe, amelynek bármely két párhuzamos referenciavonala közötti távolság állandó és egyenlő a görbe szélességével.
Kapcsolódó definíciók
- Az állandó szélességű ábra olyan alak, amelynek határa egy állandó szélességű görbe.
Példák
Az állandó szélességű alakok különösen a kör és a Reuleaux-sokszögek (ez utóbbi speciális esete a Reuleaux-háromszög ). A Reuleaux sokszögek körtöredékekből állnak, és nem sima görbék. Az is lehetséges, hogy konjugált körtöredékekből állandó szélességű sima görbét készítsünk (jobb oldali ábra), de a görbe simaságának további növelése ezen az úton lehetetlen.
Funkcionális nézet
A fenti legegyszerűbb példákkal ellentétben előfordulhat, hogy az állandó szélességű görbék egyetlen véges szakaszon sem esnek egybe a körrel, és tetszőlegesen simák mindenhol. Általánosságban elmondható, hogy egy állandó szélességű alakot egy támaszfüggvénnyel paraméteres egyenletek adnak meg [1]
feltételek mellett:
- a kapott görbe konvex.
Az elemi trigonometria szerint az első feltételt a következő formájú Fourier-sor teljesíti :
[2] .
Ha a sorozat együtthatói elég gyorsan csökkennek, akkor a kapott görbe konvex lesz (önmetszetek nélkül).
A támaszfüggvény egy állandó szélességű görbét generál, amelyre implicit reprezentációt találunk egy 8. fokú polinom egyenletének formájában [3]
![{\displaystyle +48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x [16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2905f1398715f1ee8ba90710da96f15ff895fbec)
Ez a görbe bármely pont szomszédságában az x vagy az y analitikus függvénye , és nem esik egybe egyetlen szomszédságban sem egy körrel.
Tulajdonságok
- Az állandó szélességű görbének van hossza ( Barbier-tétel ).
- Egy állandó szélességű görbe beírt és körülírt köreinek középpontja egybeesik, sugaruk összege megegyezik a görbe szélességével.
- Egy állandó szélességű figura egy oldalú négyzetben foroghat úgy , hogy minden oldalt folyamatosan érint.
- Egy adott állandó szélességű alakzatok közül a Reuleaux-háromszög területe a legkisebb, a kör pedig a legnagyobb.
- Bármely lapos átmérőjű alak lefedhető egy állandó szélességű ábrával .
Alkalmazások
- A Reuleaux-háromszög alapján készült fúróval [ 4 ] majdnem négyzet alakú lyukak fúrhatók (a négyzetterület kb. 2%-os pontatlanságával).
- Egyes érmék állandó szélességű szabályos sokszög alakúak. Így a hétszögre 20 [5] és 50 penny ( Nagy-Britannia ) címletű érméket építenek ; 50 fils ( EAE ); 1 dollár ( Barbados ); néhány botswanai érme [6] 5 és 25 thebe , 1 és 2 pula címletekben . Az állandó szélességű, 11 szögű alakzat az 1 dolláros kanadai érmékben található (" looni " néven ismert).
- A Wankel motor [5] dugattyúként a kamrában forgó Reuleaux-háromszöget használ , amely lehetővé teszi, hogy azonnal forgó mozgást kapjon.
- A bütyök típusú kagylószerkezetek a legtöbb esetben Reuleaux háromszögprofilú lapos bütyökre épülnek . A leghíresebb példák a "Luch" és az "Ukrajna" filmvetítők [5] .
Változatok és általánosítások
- Az állandó szélességű alakok konvex alakokként definiálhatók, amelyek képesek egy négyzeten belül elforgatni, miközben egyidejűleg érintik annak minden oldalát. Tekinthetünk olyan alakokat is, amelyek el tudnak forgatni néhány -gon, például egy szabályos -gon minden oldalának megérintésével. Az ilyen alakzatokat rotoroknak [7] nevezzük .
- Például egy egyenlő oldalú háromszög forgórésze egy digon, amelyet két egyforma kör metszéspontja alkot, amelyeknek a csúcsa egyenlő szöggel. Egy ilyen alakú fúróval elvileg háromszögletű lyukakat lehetne fúrni simított sarkok nélkül.
- Az általánosabb ábrákon belül forgó ábrákat vettük figyelembe. [nyolc]
- Az állandó szélességű alakzatoknak többdimenziós megfelelőik vannak, lásd : Állandó szélességű test .
Jegyzetek
- ↑ Guggenheimer H. W. Differenciálgeometria. – New York: Dover, 1977.
- ↑ A k = 1-es együttható nullázható, mivel ez a tag csak az ábra síkon elfoglalt helyzetéért felelős.
- ↑ Rabinowitz S. Az állandó szélességű polinomgörbe // Missouri Journal of Mathematical Sciences. - 1997. - 1. évf. 9 . - P. 23-27 . Archiválva az eredetiből 2009. június 17-én. Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2018. március 1. Az eredetiből archiválva : 2009. június 17.
- ↑ " Drilling Square Holes Archivált : 2012. május 25. a Wayback Machine -nél " / Matematikai etűdök
- ↑ 1 2 3 " Kerek Reuleaux-háromszög archiválva : 2009. december 28., a Wayback Machine " / Mathematical Etudes
- ↑ Egy részük 2019-ben kikerült a forgalomból.
- ↑ Helmut Groemer, A Fourier-sorozat és a gömbharmonikusok geometriai alkalmazásai
- ↑ L. A. Lyusternik . Geometriai probléma // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , No. 3-4 (13-14) . - S. 194-195 .
Irodalom
- Yaglom IM , Boltyansky VG Konvex figurák . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 p. - (A matematikai kör könyvtára, 4. szám).
| Görbék | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definíciók | |||||||||||||||||||
| Átalakult | |||||||||||||||||||
| Nem síkbeli | |||||||||||||||||||
| Lapos algebrai |
| ||||||||||||||||||
| Lapos transzcendentális |
| ||||||||||||||||||
| fraktál |
| ||||||||||||||||||