Lissajous figurák

A Lissajous-figurák  egy pont által megrajzolt pályák, amelyek egyidejűleg két harmonikus rezgést hajtanak végre két egymásra merőleges irányban.

Először Jules Antoine Lissajous francia tudós tanulmányozta .

Leírás

Az ábrák alakja mindkét rezgés periódusai ( frekvenciái ), fázisai és amplitúdói közötti kapcsolattól függ . Mindkét periódus legegyszerűbb egyenlősége esetén az ábrák ellipszisek, amelyek 0-ás fáziskülönbséggel vagy vonalszakaszokká degenerálódnak, fáziskülönbséggel és amplitúdóegyenlőség mellett körré alakulnak.

Ha mindkét rezgés periódusa közel van, akkor a fáziskülönbség lineárisan változik, aminek következtében a megfigyelt ellipszis folyamatosan deformálódik. Ezt a jelenséget az elektronikában használják a frekvenciák összehasonlítására és az egyik frekvencia a másodikra ​​- a referenciafrekvenciára - beállítására.

A nagyságrendjükben sokszor eltérő rezgési periódusok esetén a Lissajous-figurák zavaró képet mutatnak, és nem figyelhetők meg például egy oszcilloszkóp képernyőjén - ebben az esetben egy világító téglalap látható.

Ha a periódusok aránya racionális szám , akkor mindkét periódus legkisebb többszörösével megegyező időtartam után a mozgó pont ismét visszatér eredeti helyzetébe, és a pont sebességvektora egybeesik a kezdetivel , ami zárt pályák. Ha a periódusok aránya irracionális szám , akkor nem zárt trajektóriák jönnek létre.

A Lissajous-figurák egy téglalapba vannak írva, amelynek középpontja egybeesik az origóval , oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és mindkét oldalukon a rezgések amplitúdójával egyenlő távolságra helyezkednek el.

Matematikai kifejezés a Lissajous-görbéhez

Az x és y koordináták t időtől való függését a rendszer írja le

ahol A , B  az oszcillációs amplitúdók, a , b  a frekvenciák, δ  a fáziseltolás.

A görbe alakja erősen függ az a / b aránytól . Ha az arány 1, a Lissajous-figura ellipszisnek, bizonyos feltételek mellett körnek ( A = B , δ = π /2 radián ) és egyenes szakasznak ( δ = 0) néz ki .

Egy másik példa a Lissajous-figurára a parabola ( b / a = 2, δ = π/4). Más arányokkal a Lissajous-számok összetettebb számok, amelyek zártak, feltéve, hogy a / b  racionális szám .

Lissajous-figurák, ahol a = 1, b = N ( N  természetes szám ) és

első típusú N fokú Csebisev - polinomok (lásd trigonometrikus definíciójukat ).

Példák

Az animáció a görbék változását mutatja δ = 0 mellett, és folyamatosan növekvő a / b arányt 0-ról 1-re 0,01-es lépésekben:

Példák Lissajous-figurákra, ahol δ = π /2, páratlan természetes szám a , valamint b természetes szám , és | a − b | = 1:

Mérnöki alkalmazások – gyakorisági összehasonlítások

Ha az oszcilloszkóp "X" és "Y" bemenetére közeli frekvenciájú jeleket adunk , akkor Lissajous ábrák láthatók a képernyőn. Ezt a módszert széles körben használják két jelforrás frekvenciájának összehasonlítására és az egyik forrás másik frekvenciájára történő hangolására. Ha a frekvenciák közel vannak egymáshoz, de nem egyenlőek egymással, akkor a képernyőn látható szám elfordul, és a forgási ciklus periódusa a frekvenciakülönbség reciproka, például 2 másodperces forgási periódus esetén a frekvenciák különbsége a jelek 0,5 Hz-esek. Ha a frekvenciák egyenlőek, a figura mozdulatlanul lefagy, bármely fázisban, azonban a gyakorlatban a rövid távú jel-instabilitások miatt az oszcilloszkóp képernyőjén általában egy kicsit remeg az ábra. Összehasonlításra nemcsak ugyanazokat a frekvenciákat használhatja, hanem többszörös arányban is, például ha a példaértékű forrás csak 5 MHz-es, a hangolható forrás pedig 2,5 MHz-es frekvenciát tud előállítani.

Lásd még

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban