Simító spline

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

A simító spline egy függvénybecslés , amelyet a kezdeti adatok zajos megfigyeléseiből kapunk, és további számításokban használjuk fel a k függvénymodell megfelelőségének és a függvény mértékalapú görbületének egyensúlyba hozására . Más szavakkal, a simító spline fontos eszköz, amikor olyan zajos adatokkal dolgozik, mint a , . A simító spline legismertebb típusa a köbös spline . ${\hat {f}}(x)$ $y_{i}$ $f(x_{i})$ ${\hat {f}}(x_{i})$ $y_{i}$ ${\hat {f}}(x)$ $x_{i}$ $y_{i}$

A köbös spline definíciója

Legyen a kifejezés által generált megfigyelések sorozata . Egy függvény spline-jainak simításával történő közelítése egy olyan függvényként definiálható (a kétszer differenciálható függvények osztályában), amely minimalizálja [1] $(x_{i},Y_{i});x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n},i\in \mathbb {Z}$ $Y_{i}=\mu (x_{i})$ ${\kalap {\mu ))$ $\mu$

\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\hat {\mu }}(x_{i}))^{2}+\lambda \int _{x_{1 }}^{x_{n}}{\hat {\mu }}''(x)^{2}\,dx.

Megjegyzések:

$\lambda \geq 0$ egy simító paraméter, amely az adatreprodukció hűsége és a közelítő függvény "durvasága" közötti kapcsolatot szabályozza.
az integrált a teljes tartományra számítjuk . $x_{i}$
at (nincs simítás), a simító spline interpolációs spline-vé alakul. $\lambda \to 0$
at (végtelen simítás) az érdességi büntetés válik uralkodóvá, a közelítés pedig lineáris legkisebb négyzetes közelítéssé. $\lambda \to \infty$
A második derivált alapú érdességbüntetést leggyakrabban használják a jelenlegi statisztikai irodalomban , de a módszer könnyen adaptálható más származékokon alapuló büntetések használatára is.
a korai irodalomban egyenlő távolságra , véges másod- és harmadrendű különbségeket használtak a derivált helyett a büntetés kiszámításához. $x_{i}$
ha a spline eredeti adatoktól (a funkcionális első tagja) való négyzetes eltéréseinek összegét a likelihood függvény logaritmusával helyettesítjük , akkor egy büntetőfüggvénnyel maximális likelihood becslést kapunk . Ebben a beállításban a szokásos simító spline egy speciális eset, amikor a valószínűséget a hiba normál eloszlásából számítják ki.

A köbös simító spline származtatása

Osszuk két szakaszra a simító spline-t leíró kifejezések keresését:

Először keressük meg az értékeket . ${\hat {\mu }}(x_{i});i=1,\ldots ,n$
Ezekből az értékekből minden x -re megtaláljuk . ${\hat {\mu ))(x)$

Kezdjük a második lépéssel:

Meg van adva az "illesztett" értékek vektora ; a spline-kritérium négyzetösszege konstans. Csak minimalizálni kell , és a minimalizálás egy természetes köbös spline , amely interpolálja a pontokat . Ez az interpolációs spline - egy lineáris operátor - a következőképpen ábrázolható: ${\hat {m}}=({\hat {\mu }}(x_{1}),\ldots ,{\hat {\mu }}(x_{n}))^{T}$ $\int {\hat {\mu ))''(x)^{2}\,dx$ $(x_{i},{\hat {\mu }}(x_{i}))$

{\hat {\mu }}(x)=\sum _{i=1}^{n}{\hat {\mu }}(x_{i})f_{i}(x)

ahol az alapvető spline függvények halmaza. Ennek eredményeként a sima tulajdonság hiánya miatt kiszabott büntetés formája van $f_{i}(x)$

\int {\hat {\mu }}''(x)^{2}dx={\hat {m}}^{T}A{\hat {m}}.

ahol az A elemek vannak . A bázisfüggvények és az A mátrix függ a független változók konfigurációjától , de nem a vagy -tól . $\int f_{i}''(x)f_{j}''(x)dx$ $x_{i}$ $Y_{i}$ ${\kalap {m}}$

Visszatérve az első lépéshez, a súlyozott négyzetösszeg a következőképpen írható fel:

\|Y-{\hat {m}}\|^{2}+\lambda {\hat {m}}^{T}A{\hat {m}}),

ahol . a minimalizálás ad ${\displaystyle Y=(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{T))$ ${\kalap {m}}$

{\hat {m}}=(I+\lambda A)^{-1}Y.

Többdimenziós spline-ok létrehozása

A képlet fenti megszorításából a definícióból következik, hogy az algoritmus tetszőleges adathalmazra nem működik. Ha az algoritmust egy többdimenziós tér tetszőleges ponthalmazára kívánja használni, akkor olyan algoritmusra van szüksége, amely nem rendelkezik ilyen korlátozásokkal. Egy lehetséges megoldás egy paraméter bevezetése úgy, hogy a bemeneti adatok az adott paramétertől függően egydimenziós függvényekként ábrázolhatók legyenek; ezt követően minden funkcióhoz simítást alkalmazhat. Két dimenzióban a megoldás a paraméterezés és az as and where . Erre alkalmas megoldás a felhalmozott távolság ahol . [2] [3] ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n))$ $x$ $y$ $x(t)$ $y(t)$ ${\megjelenítési stílus t_{1}<t_{2}<\pontok <t_{n))$ $t$ $t_{i+1}=t_{i}+{\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i}) ^{2}}}$ $t_{1}=0$

A paraméterezés részletesebb elemzését ETY Lee végezte. [négy]

Kapcsolódó módszerek

A simító spline-ok a következőkhöz kapcsolódnak, de különböznek:

Regressziós spline-ok ( eng. Regression Splines ). Olyan módszer, amelyben az adatokat bázis spline függvények halmazával közelítik , csökkentett számú csomóponttal, a legtöbb esetben a legkisebb négyzetekkel . Ebben az esetben, ha a függvénynek nincs jele a simaságnak , a szankciók nem használatosak.
Penalty spline, spline büntetéssel ( eng. Penalized Splines ). Csökkentett számú regressziós spline-csomópont kombinálása a simító spline- függvények simaságának hiánya miatti büntetéssel . [5]
A rugalmas térkép módszer . Olyan módszer, amely a közelítési hiba legkisebb négyzetes büntetését kombinálja az illesztési halmaz görbületi és nyújtási büntetésével, és durva mintavételi lépést használ a probléma optimalizálására.

Forráskód

A sima spline -ok forráskódja Carl de Boor A Practical Guide to Splines című könyvének példáiból származhat . A példák Fortran nyelven íródnak . A frissített forráskódok Carl de Boor hivatalos honlapján is elérhetők [1] .

Jegyzetek

↑ Hastie, TJ; Tibshirani, RJ általánosított additív modellek (meghatározatlan) . - Chapman és Hall , 1990. - ISBN 0-412-34390-8 .
↑ Robert E. Smith Jr., Joseph M Price és Lona M. Howser. Simító algoritmus Cubic Spline függvények használatával (a hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2011. május 31. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 14.. (határozatlan)
↑ NY Graham. Simítás időszakos köbös spline-ekkel . Letöltve: 2011. május 31. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 14.. (határozatlan)
↑ ETY Lee. Csomópontok kiválasztása parametrikus görbe interpolációban . Letöltve: 2011. június 28. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 14.. (határozatlan)
↑ Ruppert, David; Wand, MP és Carroll, RJ Semiparametric Regression (neopr.) . - Cambridge University Press , 2003. - ISBN 0-521-78050-0 .

Irodalom

Wahba, G. (1990). Spline modellek megfigyelési adatokhoz . SIAM, Philadelphia.
Green, PJ és Silverman, BW (1994). Nem paraméteres regresszió és általánosított lineáris modellek . C.R.C. Press.
De Boor, C. (2001). Gyakorlati útmutató a spline-ekhez (átdolgozott kiadás) . Springer.
Berezovsky, M. V. Izogeometrikus és robusztus spline-ok simítása: módszerek és algoritmusok. Tézis.

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg