Állandó szélességű test

Az állandó szélességű test egy konvex test , amelynek merőleges vetülete bármely egyenesre egy állandó hosszúságú szakasz. Ennek a szakasznak a hosszát az adott test szélességének nevezzük . Az állandó szélességű test legegyszerűbb példája a golyó . De a labdán kívül végtelenül sok más (nem feltétlenül sima ) állandó szélességű test létezik – például olyan test, amelynek felületét úgy kapjuk meg, hogy a Reuleaux-háromszöget elforgatjuk valamelyik szimmetriatengelye körül.

Tulajdonságok

• Az állandó szélességű testek osztálya egybeesik az állandó fedésű konvex testek osztályával , amelyeknél az összes lehetséges síkra merőleges vetületek határai azonos hosszúságúak.

Nyitott kérdések

• Nem ismert, hogy melyik állandó szélességű testnek a legkisebb a térfogata ( Bonnesen-Fenchel hipotézis ). [1] [2] [3]
• Szinte semmit sem tudunk a legkisebb térfogatú, 1 szélességű, végtelenbe hajló testek aszimptotikájáról. [négy]

Változatok és általánosítások

• Egy testet K poliéder forgórészének nevezünk, ha szabadon tud forogni K-ben, érintve az összes 1-es kóddimenziós lapját. Például bármely állandó szélességű test egy kocka forgórésze.
  • Minden olyan poliéder leírásra kerül, amelyiknek van rotorja.
  • A szabályos poliédereknek nem triviális rotorjai vannak, vagyis különböznek a golyóktól. [5] [6]

Megjegyzés

A közhiedelemmel ellentétben a Reuleaux-tetraéder nem állandó szélességű test.

Lásd még

• Állandó szélességű görbe

Irodalom

• Blaschke V. Krug i shar / Per. vele. V. A. Zalgaller és S. I. Zalgaller. — M .: Nauka , 1967. — 232 p. - 140.000 példány.

Jegyzetek

1. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (Német)
2. ↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width  //  Oberwolfach jelentések. - Zürich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6, sz. 1 . - P. 390-393. Archiválva az eredetiből 2013. június 2-án.
3. ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. A háromdimenziós Blaschke-Lebesgue problémáról  //  Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Vol. 139. sz. 5 . - P. 1831-1839. — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
4. ↑ Gil Kalai, Állandó szélességű halmazok térfogatai nagy méretekben .
5. ↑ Rolf Schneider, The use of spherical harmonics in convex geometry Archivált : 2016. március 27. a Wayback Machine -nél (Summer school on "Fourier analytic and probabilistic methods in geometricfunctional analysis and convexity", Kent State University, 2008. augusztus 13-20.)
6. ↑ Michael Goldberg, "Rotors in Polygons and Polyhedra", Mathematics of Computation, Vol. 14. sz. 71. (1960. július), pp. 229-239.