Euler háromszög tétele

Az Euler-képlet – a planimetria tétele – a beírt és körülírt körök középpontjai és sugara közötti távolságra vonatkozik .

A tétel Leonhard Euler nevéhez fűződik .

Megfogalmazás

A háromszög beírt és körülírt köreinek középpontjai közötti távolság a képlettel határozható meg $d$

d^{2}=R^{2}-2Rr.

ahol a körülírt kör sugara, a beírt kör sugara. $R$ $r$

Jegyzetek

A fenti képlet a következőképpen írható át ${\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

vagy

(Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},

A tétel magában foglalja az úgynevezett Euler-egyenlőtlenséget $R\geq 2r$ .
- Ennek az egyenlőtlenségnek van egy erősebb formája [1] :p. 198 , nevezetesen: ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

hol vannak a háromszög oldalai.

ABC

Egy gömb alakú háromszög esetében a körülírt kör sugarának és a beírt kör sugarának aránya kisebb lehet 2-nél. Ezen túlmenően bármely 1 és 2 közötti számhoz létezik egy szabályos gömbháromszög, amelynek sugarának aránya a körülírt kört az ezzel a számmal egyenlő beírt kör sugarához.

Bizonyítás

Hagy legyen a háromszög körülírt körének középpontja , és legyen a beírt kör középpontja. Ha a sugár egy pontban metszi a körülírt kört , akkor ez az ív felezőpontja . Rajzoljunk egy sugarat , és a körülírt körrel való metszéspontját jelöljük így . Ekkor lesz a körülírt kör átmérője. Abból a pontból , hogy ledobjuk a merőlegest a Majd az Euler-képletet kicsit más formában írjuk fel $O$ $\Delta ABC$ $én$ $AI$ $L$ $L$ $időszámításunk előtt$ $LO$ $M$ $LM$ $én$ $ID$ $AB.$ $ID=r.$

R^{2}-d^{2}=2Rr.

Látható, hogy a bal oldalon a pont fokszáma a körülírt körhöz viszonyítva (pontosabban, mínusz a pont foka). Vagyis elég bizonyítani az egyenlőséget . A háromágú lemma alapján elegendő annak bizonyítása . Most jegyezzük meg, hogy , vagyis a szükséges egyenlőség átírható Írjuk át még egy kicsit: alakba . Ez az egyenlőség a háromszögek és a hasonlóságából következik . Valójában ezeknek a háromszögeknek a szögei és szögei derékszögűek, a és a szögei pedig egyenlőek , mert mindkettő az ívre támaszkodik (sőt, az arány egyenlő a szög szinuszával ). $én$ $LI\cdot IA=2Rr$ $LI=LB,$ $LB\cdot IA=2Rr$ $2R=LM$ $r=ID,$ $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ $LB/LM=ID/IA$ $\triangle AID$ $\triangle MLB$ $B$ $D$ $A$ $M$ $BL$ $LB/LM=ID/IA$ $\angle BAL$

Történelem

Ez a tétel Leonhard Eulerről kapta a nevét, aki 1765-ben publikálta. Ugyanezt az eredményt azonban korábban William Chapple tette közzé, 1746-ban. [2]

Változatok és általánosítások

Kizárás középpontjához

Kizárások esetén az egyenlet így néz ki:

(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},

ahol az egyik kör sugara, és a körülírt kör középpontjának távolsága ennek a körnek a középpontjától [ 3 ] [4] [5] . $r_{out}$ $d_{out}$

Sokszögekhez

Egy adott beírt- körülírt négyszög (lásd ábra) sugaraira , illetve beírt köreire, valamint e körök középpontjai közötti távolságra teljesül az összefüggés: $R$ $r$ $d=x$ ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

vagy azzal egyenértékű,

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

Ezt az összefüggést Fuss-tételnek nevezzük . Nyikolaj Ivanovics Fuss [6] szerezte meg 1792-ben.

Cayley Poncelet -lánctétele általánosítja az Euler-tételt beírt-körülírt -gonokra [7] . $n$

Lásd még

Poncelet porizmus

Jegyzetek

↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), néhány klasszikus háromszög-egyenlőtlenség nem euklideszi változatai , Forum Geometricorum vol . 12 : 197–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume1212/1Fidex2012 . 2019. október 28-án kelt példány a Wayback Machine -nél .
↑ Chapple, William (1746), Egy esszé a két adott körbe írt és körülírt háromszögek tulajdonságairól , Miscellanea Curiosa Mathematica vol. 4: 117–124 , < https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/ n142 > . A távolság képlete a 123. oldal alja közelében található.
↑ Roger Nelson. Euler-háromszög egyenlőtlenség szavak nélküli bizonyítással // Mathematics Magazine. - 2008. február. - Kiadás. 81. (1) bekezdése alapján . - S. 58-61 .
↑ R. A. Johnson. modern geometria. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - 187. o.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler-képlet és Poncelet-porizmus // Forum Geometricorum. - 2001. - Kiadás. 1 . – S. 137–140. .
↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Archiválva : 2020. február 17. a Wayback Machine -nél
↑ Avksentiev, E. A. Invariáns mértékek és Poncelet típusú lezárási tételek Archivált : 2016. augusztus 14., a Wayback Machine -nél

Linkek

Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .