Segre kötődés

A Segre beágyazást a projektív geometriában használják két projektív tér közvetlen szorzatának projektív sokaságként való kezelésére . Nevét Beniamino Segre olasz matematikusról kapta [1] .

Definíció

A Segre leképezés a leképezés

\sigma :P^{n}\szor P^{m}\-P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

amely egy rendezett pontpárt küld egy olyan pontba, amelynek homogén koordinátái az eredeti pontok homogén koordinátáinak páronkénti szorzatai ( lexikográfiai sorrendben írva ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

Ennek a leképezésnek a képe egy Segre-féle projektív fajta .

Leírás a lineáris algebra nyelvén

A tenzorszorzat univerzális tulajdonsága szerint az U és V vektorterekre ( ugyanazon k mező felett ) van egy természetes leképezés a derékszögű szorzatukról a tenzorszorzatra :

\varphi :U\times V\to U\otimes V.\

Ez a leképezés általában nem injektív , mert bármely , és nem nulla esetén $u az U-ban$ $v\in V$ $c\in k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

A leképezés a megfelelő lineáris terek projekcióinak morfizmusát indukálja : $\varphi$

\sigma :P(U)\szor P(V)\-P(U\otimes V).\

Ez a morfizmus nem csak egy injektív leképezés a halmazelmélet értelmében , hanem egy zárt merítés is az algebrai geometria értelmében ez azt jelenti, hogy a leképezés képe egy rendszer nullák halmazaként is megadható polinomiális egyenletek). Ez megmagyarázza, miért nevezik ezt a leképezést Segre beágyazásnak .

Könnyű kiszámítani a megfelelő terek méreteit: ha ekkor és mivel a projektivizálás eggyel csökkenti a méreteket, ez az eset megfelel a leképezésnek. ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\times {\mathbb P}^{m}\to {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Tulajdonságok

Ha a Segre-beágyazás képén a homogén koordinátákat a-val jelöljük és mátrixként írjuk fel , akkor a Segre-sokaság pontosan 1-es rangú „mátrixokat” fog tartalmazni , vagyis olyan mátrixokat, amelyekben minden kisebb méret nullával egyenlő. Így a Segre-sokaságot a forma egyenletek közös nullák halmazaként határozzuk meg $z_{{ij}}$ $2\szer 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

ahol

i\neq k,j\neq l.

A Segre-sokaság szálai (azaz a forma vagy egy fixpont halmazai ) a kép lineáris alterei . $\sigma (\cdot ,p)$ $\sigma (p,\cdot )$ $p$

Példák

Quadric

Az n = m = 1 esetben a Segre-leképezés a projektív egyenes és önmaga szorzatának beágyazása egy háromdimenziós projektív térbe. Homogén koordinátákban ennek a leképezésnek a képe az algebrai egyenlet megoldásainak halmaza

\det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

Így egy komplex projektív térben a Segre-féle egy közönséges , szingularitások nélküli kvadrikus . Valós projektív térben ez egy négyzetes aláírás affin koordinátákkal; egy lapos hiperboloidnak és egy hiperbolikus paraboloidnak felel meg . Mindkét négyszög a szabályos felületek példája . $(2.2),$

Veronese fajta

A Segre-leképezés alatti átló képe a második fokozat veronai változata : $\Delta \subset P^{n}\times P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\ to P^{{n^{2}+2n}}.\

Jegyzetek

↑ Segre beágyazás // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Irodalom

Harris J. Algebrai geometria. Kezdő tanfolyam. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Bevezetés az algebrai geometriába, 154. oldal, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .