Projektív vonal

A projektív vonal egydimenziós projektív tér . A projektív vonal vonalak (egydimenziós alterek) halmaza egy 2-dimenziós lineáris térben. A projektív egyenes pontjai homogén koordinátákkal adhatók meg . Topológiai térként a projektív vonal az affin egyenes egypontos tömörítése . $[x_{1}:x_{2}]$

Példák

Egy igazi projektív vonal sima funkciókat tartalmazó ceruzával egy sima elosztó . Ez a sokaság diffeomorf egy körhöz . Az összetett projektív vonal - a Riemann-gömb - mint valódi sokaság, diffeomorf a kétdimenziós gömbhöz . A kvaterniók ferde mezőjére a projektív egyenes, mint valódi sokaság, . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\cong S^{1))$ $\mathbb {C} P^{1}$ $S^{2}$ ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4))$

Csoportok tevékenysége a projektív egyenesen

Csoportokhoz stb. a projektív vonalon egy műveletet lehet meghatározni. A skaláris mátrixok csoportját faktorálva olyan csoportokat kapunk , amelyekre ez a művelet pontos. Egy véges mező esetében izomorf egy véges szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával [1] . $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ $PSL_{2}(k)$

Az algebrai geometriában

A projektív vonal a projektív változat fontos példája . A projektív egyenes függvénytere a racionális függvények tere . Egy mező automorfizmuscsoportja a csoport . Ha egy nem degenerált másodfokú görbe legalább egy pontot tartalmaz, akkor biracionálisan izomorf a projektív egyenessel. $P^{1}(K)$ $K(X)$ $K(X)$ $PGL_{2}(K)$

Jegyzetek

↑ Bogopolsky O.V. Bevezetés a csoportelméletbe. – 2002.

Irodalom

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria - M .: Nauka 1986.
Mathematical Encyclopedia, 1984, 4. kötet, 671. o., Projective line cikk.
Hartshorne R. Algebrai geometria - M .: Mir, 1981.