Affin másodfokú függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. február 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

Az affin-kvadratikus függvény az affin terek másodfokú alakjának analógja .

Definíció

Legyen továbbá egy olyan affin tér, amely egy olyan mező feletti vektortérrel van társítva, amelynek karakterisztikája nem egyenlő -val . $S$ $V$ $\mathbb {K}$ $2$

Koordinátákon keresztül

Egy függvényt affin-négyzetesnek nevezünk, ha valamilyen keretben egy másodfokú polinom (vagy egy kisebb fokú polinom) adja meg koordinátákban, azaz $Q:S\to \mathbb {K}$

Q(P)=\sum _{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{ i}x_{i}+c

A másodfokú függvény klasszikus felfogásával ellentétben az együtthatók egyidejűleg nullák lehetnek. Így egy polinom lehet lineáris és konstans is. $a_{{ij}}$

A másodfokú formán keresztül

Egy függvényt affin-kvadratikusnak nevezünk, ha valamely fix pontra a reláció adja meg $Q:S\to \mathbb {K}$ $O\in S$

Q(x+O)=q(x)+l(x)+c

ahol , egy másodfokú alak -on , egy lineáris forma -on , és egy rögzített állandó [1] . $x \ V-ben$ $q$ $V$ $l$ $V$ $c$ $\mathbb {K}$

A biaffin függvényen keresztül

Lehetséges a másodfokú alak definíciójához hasonló definíciót adni bilineáris alakban . Egy függvényt biaffinnak nevezünk , ha a paraméterek egyikére a függvény affin , vagyis ha affin függvények. Ekkor affin-kvadratikusnak nevezzük, ha valamilyen biaffin függvényre $D:S\times S\to \mathbb {K}$ $\forall P\in S:D(P,\cdot ),D(\cdot ,P)$ $Q:S\to \mathbb {K}$ $D$

Q(P)=D(P,P)

. [2]

Kapcsolódás biaffin függvényekkel

A harmadik definíció szerint a formájú bármely függvény , ahol egy biaffin függvény, affin-kvadratikus, és bármely affin-kvadratikus függvény ábrázolható , ahol valamilyen biaffin függvény. Egy bizonyos affin-kvadratikus függvény esetében azonban az azt meghatározó biaffin függvény nincs egyértelműen definiálva. Egy-egy megfeleltetést akkor kaphatunk, ha még szimmetriát is követelünk , azaz igaz a következő állítás: $D(P,P)$ $D$ $Q(P)$ $D(P,P)$ $D$ $D$

Bármely affin-kvadratikus függvényhez létezik olyan egyedi szimmetrikus biaffin függvény , hogy . Így egy az egyhez megfelelés van az affin-kvadratikus függvények és a szimmetrikus biaffin függvények között.

Q(P)

D(P,R)

Q(P)=D(P,P)

Egy adott affin-kvadratikus függvény szempontjából a megfelelő szimmetrikus biaffin függvény a következőképpen fejezhető ki: $K$ $D$

D(P,R)=2Q\left({\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}R\right)-{\frac {1}{2}} Q(P)-{\frac {1}{2}}Q(R)

Ezt a képletet polarizációs képletnek nevezik (hasonlóan a másodfokú és a bilineáris formák esetéhez). Az együtthatós pontok összege itt affin kombináció .

Az összes többi biaffin függvényt, amely egy adott affin-kvadratikus függvényt határoz meg, úgy kapjuk meg, hogy hozzáadjuk a megfelelő szimmetrikus tetszőleges antiszimmetrikus biaffin függvényt.

Transzformáció az eredet megváltoztatásakor

A második definíció szerint egy bizonyos pontra bármely másodfokú affin függvény ábrázolható így , ahol egy másodfokú forma -on , lineáris forma -on , és egy fix állandó . Ezzel szemben a kifejezés által adott pontra adott függvény affin-kvadratikus. A pontot origónak nevezzük. $O\in S$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $q$ $V$ $l$ $V$ $c$ $\mathbb {K}$ $O$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $O$

Valójában bármely pont affin-kvadratikus függvénye megadható a formában . Ebben az esetben egy adott affin-négyzetes függvény másodfokú alakja egyedileg definiált, és még csak nem is függ a pont megválasztásától . Ezt a formát másodfokú résznek nevezzük . Az ilyen alakú mátrixot főmátrixnak nevezzük . Ugyanez a mátrix egyidejűleg a megfelelő szimmetrikus biaffin függvény fő mátrixa. A fő mátrix rangját az affin-kvadratikus függvény kis rangjának nevezik. [3] $O\in S$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $q$ $O$ $K$ $K$

Egy adott pont alakja és állandója egyedileg definiált, de a különböző pontoknál eltérő lehet. Az alakzatot a ponthoz képest lineáris résznek , az állandót pedig a ponthoz viszonyított állandó résznek nevezzük . [négy] $l$ $c$ $O$ $O$ $l$ $K$ $O$ $c$ $O$

A pont megváltoztatásakor a lineáris és a konstans részek a következőképpen alakulnak át. Legyen egy új pont, majd néhány és . Ezeket a következőképpen fejezzük ki: $O$ $O'=O+a$ $Q(O'+x)=q(x)+l'(x)+c'$ $én$ $c'$ $én$ $c'$

l'(x)=2b(a,x)+l(x)

c'=q(a)+l(a)+c

ahol a másodfokú alaknak megfelelő szimmetrikus bilineáris forma . [5] $b$ $q$

Átalakítás a keret megváltoztatásakor

Az első definíció szerint bármely keretben bármely affin-kvadratikus függvény másodfokú polinomként (vagy kisebb fokú polinomként) ábrázolható koordinátákban. Több is igaz: bármely affin-kvadratikus függvénynél ez bármilyen keretben elvégezhető. Ezzel szemben, ha egy függvényt másodfokú polinom ad meg koordinátákban, akkor az affin-négyzetes.

A koordinátákban lévő képlet egy képletből másodfokú alakzaton keresztül állítható elő. Legyen egy keret, legyen a másodfokú rész mátrixa a bázisban , legyen a lineáris rész koordinátáinak sorvektora a bázisban , és legyen a konstans része a bázisban . Akkor: ${\megjelenítési stílus (O,e)}$ $A$ $e$ $B$ $O$ $e$ $c$ $O$

Q(P)=x^{T}Ax+Bx+c

A kiterjesztett mátrix fogalmát használva ez a kifejezés még egyszerűbben is felírható. Egy affin-kvadratikus függvény kiterjesztett mátrixa a mátrix

A'={\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}

Akkor

Q(P)={\begin{pmatrix}x^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{ \dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}=x'^{T}A'x'

Az együtthatók transzformációjának szabálya egy másik keretbe való áttéréskor szintén egyszerűen kiterjesztett mátrixok formájában van felírva. Legyen az átmenet mátrixa a régi bázisról az újra, legyen az új origó koordinátáinak oszlopvektora a régi keretben. Akkor $T$ $t$

A'_{2}={\begin{pmatrix}A_{2}&{\dfrac {B'^{T}}{2}}\\{\dfrac {B'}{2}}&c '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T^{T}&0\\t^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}&{\dfrac {B ^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T&t\\0&1\end{pmatrix}}=T'^{T }A'_{1}T'

A kiterjesztett mátrix rangját az affin másodfokú függvény nagy rangjának nevezik.

Kapcsolódó definíciók

Az affin quadric a . ${\displaystyle X(Q)=\{P\in S:Q(P)=0\))$
A és affin másodfokú függvényeket affin ekvivalensnek nevezzük, ha van olyan affin transzformáció , hogy . $Q_1$ $Q_{2}$ $F$ $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$
A metrikus affin téren lévő affin - kvadratikus függvényeket metrikusan ekvivalensnek nevezzük , ha van olyan mozgás , amely . $Q_1$ $Q_{2}$ $F$ $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$

Központ

Az affin-kvadratikus függvény központi pontja egy pont -tól indul, úgy, hogy a , bármelyikére . Az összes központi pont halmazát egy affin-kvadratikus függvény középpontjának nevezik [6] (egyes szerzők más terminológiához ragaszkodnak: magukat a pontokat nevezik középpontnak, és nem a halmazukra. [7] Továbbá ez a cikk ragaszkodni fog az első terminológiához). $K$ $O$ $S$ $x$ $V$ $Q(O+x)=Q(Ox)$

Ha a középpont nem üres, akkor egy ilyen affin-kvadratikus függvényt centrálisnak nevezünk , egyébként pedig nem központinak . $K$

Egy pont akkor és csak akkor egy affin-kvadratikus függvény középpontja, ha a ponthoz viszonyított lineáris rész azonos [8] . $O$ $0$

Bizonyíték

$Q(O+x)-Q(Ox)=q(x)+l(x)+cq(x)+l(x)-c=2l(x)=0\jobbra l(x)= 0)$

Egy affin-kvadratikus függvény középpontjainak halmaza koordinátákban az SLAE megoldása $Ax=-{\frac {B^{T}}{2}}$

Bizonyíték

$P$ a középpont , ahol a lineáris rész a -hoz képest . , ahol , az origóhoz viszonyított lineáris rész , a másodfokú alaknak megfelelő szimmetrikus bilineáris alakzat . $\Leftrightarrow l'(x)\equiv 0$ $én$ $P$ $l'(x)=2b(a,x)+l(x)$ $P=O+a$ $l$ $O$ $b$ $q$ $l'(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2b(a,x)+l(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}Ax+Bx\equiv 0\Leftrightarrow (2a^{T}A+ B )x\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}A+B=0\Leftrightarrow a^{T}A=-{\frac {B}{2}}\Leftrightarrow Aa=-{\frac {B^{ T }}{2}}$

A nem központi affin-négyzetes függvény másodfokú része degenerált (az előző tulajdonságból és a Kronecker-Capelli tételből következik ). A központi affin-kvadratikus függvény középpontjainak halmaza a dimenziótér egy affin altere, vezérlő altere pedig a . Ha a másodfokú rész nem degenerált, akkor a középpontok halmaza egy pontból áll. [6] $S$ ${\displaystyle \operatorname {dim} {S}-\operatorname {rk} {q))$ $\operatorname {ker} {q}$

Egy nem központi affin-kvadratikus függvénynek legalább egy nullája van (a kanonikus alakjából következik, amely alább lesz levezetve).

Kanonikus forma

A centrális és a nem központi affin-kvadratikus függvények kanonikus formája jelentősen eltér egymástól.

Központi tok

Ahhoz, hogy a központi affin-kvadratikus függvényt a kanonikus formára redukáljuk, elegendő annak bármelyik középpontját origónak, a másodfokú részének kanonikus alapját pedig alapul venni. Ekkor a lineáris rész nullázódik, a másodfokú kanonikus formát ölti, az affin-kvadratikus függvény pedig a következő alakot veszi fel:

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0))

, hol , minden .

1\leq k\leq n

\lambda _{i}\neq 0

Az érték nem függ egy adott központ kiválasztásától. $c_{0}$

Nem központi eset

Olyan alapot választunk, amelyben a másodfokú rész kanonikus alakot kap. Ezzel az affin-kvadratikus függvény a formába kerül , ahol , mivel a nem központi affin-kvadratikus függvény másodfokú része degenerált. Ha , akkor az at , at cseréje a formához vezet , ahol a lineáris rész azonosan egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy az origó a középpont. Kiderül, hogy az együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával, és lecserélhetjük , , -re , ami az affin-kvadratikus függvényt kanonikus alakba viszi: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _ {i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2 \lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$ $k<n$ $\mu _{k+1},...,\mu _{n}=0$ $z_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ ${\displaystyle z_{i}=y_{i))$ $i=k+1,...,n$ $K$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}z_{i}^{2}+c'_{0))$ ${\displaystyle \mu _{k+1},...,\mu _{n))$ $x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ ${\displaystyle x_{k+1}=\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0))$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i))$ $i=k+2,...,n$

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1))

, hol , minden .

1\leq k<n

\lambda _{i}\neq 0

Az affin-kvadratikus függvény kanonikus formájának egyediségének kérdése redukálódik a másodfokú része kanonikus alakjának egyediségének kérdésére. Ha két affin-kvadratikus függvénynek ugyanaz a kanonikus alakja, akkor affin ekvivalensek. [9]

Normál nézet

Az affin-kvadratikus függvény normálalakja abban különbözik a kanonikustól, hogy a benne lévő másodfokú rész normálalakú. Legyen , ahol minden a normál alakja legyen . Ekkor a normál forma : $q(x)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}$ $\lambda _{i}\neq 0$ $q$ $K$

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0))

, ahol a központi esetben,

1\leq k\leq n

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1))

, ahol a nem központi esetben

1\leq k<n

Az együtthatók megválasztásának sajátos önkényessége a területtől függ, és minden egyes esetben figyelembe kell venni. $\lambda _{i}$ $\mathbb {K}$

Case $\mathbb {K} =\mathbb {C}$

{\displaystyle Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+c_{0))

központi esetben

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+x_{k+1}

nem központi esetben

Case $\mathbb {K} =\mathbb {R}$

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^ {2}+c_{0}

, ahol a központi esetben

0\leq m\leq k

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^ {2}+x_{k+1}

, ahol a nem központi esetben

0\leq m\leq k

Az affin-kvadratikus függvény normál formája egyedülálló. Két affin-kvadratikus függvénynek akkor és csak akkor van ugyanaz a normál alakja, ha affin ekvivalensek. [tíz]

Redukció főtengelyekre

Egy belső szorzattal rendelkező vektortérhez tartozó euklideszi , unitárius és egyéb affin terekben felvehető egy olyan téglalap alakú koordináta-rendszer megtalálásának problémája, amelyben az affin-kvadratikus alak a legegyszerűbb alakkal rendelkezik. Itt megvizsgálunk egyet az euklideszi térhez.

Központi tok

Referenciaként bármilyen középpontot kell venni, alapként pedig egy ortonormális alapot, amelyben a másodfokú formának kanonikus alakja van. Ekkor az affin-kvadratikus függvény a következő alakra redukálódik:

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0))

, hol , minden

1\leq k\leq n

\lambda _{i}\neq 0

sőt az együtthatók egy permutációig egyedileg meghatározottak (ez a főtengelyek másodfokú alakjának egyediségéből következik).

Nem központi eset

Nem központi esetben nem mindig létezik olyan derékszögű koordinátarendszer, amelyben az affin-négyzetes függvénynek kanonikus alakja van, de ha egy kicsit változtatunk rajta, akkor bármilyen függvényre létező és egyedi formát kaphatunk.
Ahhoz, hogy erre a formára redukáljon, először a négyzetes részt kell a fő tengelyekhez hoznia. Kapunk: . Ezután végezze el a következő cserét: , esetén vegye ki a fennmaradó változókat úgy, hogy a csere merőleges legyen (a helyettesítő mátrixot úgy kell kitölteni, hogy merőleges legyen . Ezt meg lehet tenni, mivel az első sorok már ortonormális rendszert alkotnak, és elég egyszerű kitölteni ortonormális alapra). A végső kinézet a következő: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _ {i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2 \lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$
$x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ $x_{k+1}={\frac {\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0} }{\sqrt {\mu _{k+1}^{2}+...+\mu _{n}^{2))))$ $k$

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1))

, hol , minden , .

1\leq k<n

\lambda _{i}\neq 0

p>0

Ez a forma is egyedi az együtthatók permutációjáig . $\lambda _{i}$

Az egyediség bizonyítéka

Az együtthatók egyedisége a főtengelyek másodfokú alakjának együtthatóinak egyediségéből következik. Az együttható egyediségének bizonyítása hátra van . Legyen egy téglalap alakú koordinátarendszerben a , és in - , , all , Legyen szimmetrikus bilineáris forma, amely megfelel -nek , legyen ennek az alaknak megfelelő önadjungált lineáris operátor. A bázisban és a bázisban lévő mátrixa azonos alakú . Ekkor az átmenet mátrixa a - ról a következőre változik: $\lambda _{i}$ $p$
$(O,e_{1},...,e_{n})$ $K$ ${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1))$ $(O',e'_{1},...,e'_{n})$ $Q(P)=\lambda _{1}x_{1}'^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}'^{2}+p'x_{k+ one }'$ $1\leq k<n$ $\lambda _{i}\neq 0$ $p,p'>0$
$b$ $q$ $\phi$ $e$ $e'$ $A=\operátornév {diag} (\lambda _{1},...,\lambda _{k},0,...,0)$ $\operatorname {im} {\phi }=<e_{1},...,e_{k}>=<e_{1}',...,e_{k}'>$ $e$ $e'$

T={\begin{pmatrix}T_{1}&0\\0&T_{2}\end{pmatrix}}

a és mátrixok pedig merőlegesek. Hadd . $T_{1}$ $T_{2}$ $O'=O+a$

\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}^{2}=x^{T}Ax=(Tx'+a)^{T}A(Tx '+a)=(x'^{T}T^{-1}+a^{T})A(Tx'+a)=x'^{T}T^{-1}ATx'+x' ^{T}T^{-1}Aa+a^{T}ATx'+a^{T}Aa=x'^{T}Ax'+2a^{T}ATx'+a^{T}Aa =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i}' +c_{1}

{\displaystyle px_{k+1}=\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{2))

\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i }'+\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{1}+c_{2}=\sum _{i=1}^{k}\ lambda _{i}x_{i}'^{2}+p'x_{k+1}'

t_{k+1}={\frac {p'}{p)),t_{k+1},...,t_{n}=0

Mátrix - ortogonális $T_{2}$ $\Rightarrow t_{k+1}^{2}=\left({\frac {p'}{p}}\right)^{2}=1$
${\frac {p'}{p}}>0\Rightarrow {\frac {p'}{p}}=1\Rightarrow p'=p$

Két affin-kvadratikus függvény akkor és csak akkor metrikusan ekvivalens, ha a főtengelyeken azonos formájúak. [tizenegy]

Alkalmazás

Az affin-kvadratikus függvények a négyzetek osztályozására szolgálnak. Például: segítségükkel standard affin vagy metrikus osztályozást kaphatunk az euklideszi tér másodrendű görbéiről és felületeiről [12] .

Lásd még

affin lineáris függvény

Jegyzetek

↑ Vinberg, 2001 , p. 284.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 217.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 230.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , p. 215.
↑ Vinberg, 2001 , p. 310.
↑ 1 2 Kostrikin, Manin, 1980 , p. 216.
↑ Vinberg, 2001 , p. 285.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 219.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , p. 217.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , p. 218.
↑ Kostrikin, 2000 , p. 222.
↑ Vinberg, 2001 , p. 290.

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - M . : Factorial Press, 2001. - 544 p.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria. - Szentpétervár. : Lan, 1980. - 303 p.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. 2. rész. Lineáris algebra. - M. : FIZMATLIT, 2000. - 368 p.