Egységes tér

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Az unitárius tér a komplex számok mezője feletti vektortér , amelynek pozitív-definitív [1] [2] hermitikus skalárszorzata , az euklideszi tér komplex analógja .

Definíció

A Hermitiánus skalárszorzat a komplex számok mezője feletti vektortérben egy másfél lineáris forma , amely kielégíti a további feltételt [3] : $\mathbb {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ hol van az univerzális kvantor . $\mindenkinek$

Más szóval ez azt jelenti, hogy a függvény teljesíti a következő feltételeket [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) a skaláris szorzat linearitása az első argumentumhoz képest:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

és az egyenlőségek igazak:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(a definícióban néha inkább a második argumentumban veszik a linearitást, ami nem fontos, mert a feltétel miatt ekvivalensek) $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) a skalárszorzat hermitikus tulajdonsága :

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

tisztességes egyenlőség

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) a skaláris szorzat pozitív meghatározottsága :

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

és csak akkor, amikor

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Tulajdonságok

Valós térben a szeszkvilinearitási feltétel egyenértékű a bilinearitással, a hermitianitás pedig a szimmetriákkal, és a belső szorzat pozitív-definit bilineáris szimmetrikus függvény lesz . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\times {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
Egy szeszkvilineáris forma akkor és csak akkor hermitikus, ha [3] , amikor is a függvény minden vektorra csak valós értékeket vesz fel. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x\in {\mathbb L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Különbségek az euklideszi tértől

Az egységes terek az euklideszi terek összes tulajdonságával rendelkeznek, kivéve négy különbséget: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
a szög fogalmának nincs tartalmi jelentése;
Egy vektorrendszer Gram-mátrixa hermitikus $\Gamma (f)=f^{T}f$ $f$ $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Irodalom

Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról, Moszkva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.

Jegyzetek

↑ A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin. Lineáris algebra és geometria. - S. 126.
↑ A. E. Umnov. Analitikus geometria és lineáris algebra. - Moszkva: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. VI, 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Lineáris terek és leképezések. - M., Moszkvai Állami Egyetem , 1987. - p. 51-52