A Kronecker-Capelli tétel egy lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitásának kritériuma:
Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens , ha főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával. |
Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer kompatibilis legyen , szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával . Leopold Kronecker, Alfredo Capelli bizonyította .
Az egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg , ha hol van a mátrixból az [1] oszlop hozzárendelésével kapott kiterjesztett mátrix .
Legyen következetes a rendszer . Aztán vannak olyan számok , hogy . Ezért az oszlop a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja . Abból, hogy egy mátrix rangja nem változik, ha egy sort (oszlopot) törölnek a sorai (oszlopai) rendszeréből, vagy olyan sort (oszlopot) rendelnek hozzá, amely más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, ebből az következik .
Hadd . Vegyünk néhány alapvető minort a mátrixban . Mivel akkor ez lesz a mátrix alapmollja is . Ekkor a bázis- moll tétel szerint a mátrix utolsó oszlopa az alaposzlopok , azaz a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja lesz . Ezért a rendszer szabad tagjainak oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja .