Természetes logaritmus

A természetes logaritmus az e bázis logaritmusa , ahol egy körülbelül 2,72 irracionális állandó. Jelölése: , vagy néha egyszerűen , ha az alap implikált [1] . Általában a logaritmus előjele alatti szám valós , de ez a fogalom kiterjeszthető komplex számokra is . $e$ $\ln x$ $\log _{e}x$ $\log x$ $e$ $x$

A definícióból következik, hogy a logaritmikus függés a kitevő inverz függvénye , így grafikonjaik szimmetrikusak az első és a harmadik negyed felezőszögére (lásd a jobb oldali ábrát). Az exponenciálishoz hasonlóan a logaritmikus függvény is a transzcendentális függvények kategóriájába tartozik . $y=e^{x}$

A természetes logaritmusok hasznosak olyan algebrai egyenletek megoldására, amelyekben az ismeretlen exponensként van jelen, a számításban nélkülözhetetlenek . Például logaritmusokat használnak egy radioaktív anyag ismert felezési idejének bomlási állandójának meghatározására . Fontos szerepet játszanak a matematika és az alkalmazott tudományok számos területén, a pénzügyek területén használják különféle problémák megoldására (például kamatos kamat megállapítására ).

Definíció

Egy szám természetes logaritmusa az a kitevő , amelyre e - t fel kell emelni , hogy megkapjuk . Más szóval, a természetes logaritmus az egyenlet megoldása $a$ $a$ $\ln a$ $x$ $e^{x}=a.$

Példák:

\ln e=1

mert ;

e^{1}=e

\ln 1=0

, mert .

e^{0}=1

Valódi természetes logaritmus

A valós szám természetes logaritmusa minden pozitív számra meghatározott és egyedi $\ln a$ $a$ $a.$

A természetes logaritmus geometriailag is definiálható bármely pozitív valós számra a görbe alatti területként az intervallumban . Ennek a definíciónak az egyszerűsége, amely összhangban van sok más, ezt a logaritmust használó formulával, megmagyarázza a „természetes” név eredetét. $y={\frac {1}{x}}$ $[1;a]$

Tulajdonságok

A logaritmus definíciójából következik az alapvető logaritmikus azonosság [2] :

e^{\ln a}=a

Itt található a képletek összefoglalása, feltételezve, hogy minden érték pozitív [3] :

	Képlet	Példa
Munka	$\ln(xy)=\ln x+\ln y$	$\ln(4\cdot 3)=\ln 4+\ln 3$
Magán	$\ln \left({\frac {x}{y))\right)=\ln x-\ln y$	$\ln \left({\frac {1}{e^{2}}}\right)=\ln(1)-\ln(e^{2})=0-2=-2$
Fokozat	$\ln(x^{p})=p\ln x$	$\ln(64)=\ln(2^{6})=6\ln 2$
Gyökér	$\ln {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\ln x}{p}}$	$\ln {\sqrt {10}}={\frac {1}{2}}\ln 10$

Egyéb tulajdonságok:

Két valós logaritmus egyenlősége a logaritmuskifejezések egyenlőségét jelenti.
Ahogy nő az argumentum, úgy nő a logaritmus is: ha akkor $0<x<y,$ $\ln x<\ln y.$
${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,$ ha $h>-1.$

Kapcsolódás logaritmusokkal más bázison

A logaritmus definiálható bármely más pozitív bázisra , nem csak a -ra, de a többi bázis logaritmusa csak konstans tényezővel tér el a természetes logaritmustól. $egy$ $e$

Az alap logaritmus átváltható [4] természetes logaritmusra és fordítva: $\log _{a}b$ $a$

\ln b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}e))=\log _{a}b\cdot \ln a

\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a))

A decimális ( ) és a természetes logaritmus közötti kapcsolat [5] : $\lgx$

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x

A bináris ( ) és a természetes logaritmus közötti kapcsolat: ${\megjelenítési stílus \operátornév {lb} x}$

\ln x\approx 0,693147\operatorname {lb} x;\quad \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x

Logaritmikus függvény

Ha egy logaritmikus számot veszünk változónak, akkor logaritmikus függvényt kapunk . Itt van meghatározva . Értéktartomány: . Ezt a görbét gyakran nevezik logaritmusnak [6] . A logaritmusalap megváltoztatására szolgáló képletből látható, hogy az egynél nagyobb bázisú logaritmikus függvények grafikonjai csak a tengely menti léptékben térnek el egymástól ; Az egynél kisebb bázisok grafikonjai a vízszintes tengely körüli tükörképe. $y=\ln x$ $x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

A függvény szigorúan növekvő, folyamatos és korlátlanul differenciálható definíciós tartományában mindenhol.

Az y tengely ( ) a függőleges aszimptota , mert: $x=0$

\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty

A természetes logaritmikus függvény deriváltja:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Ennek a képletnek az egyszerűsége az egyik oka a természetes logaritmus elterjedtségének az elemzésben és a differenciálegyenletek megoldásában .

A derivált képletét a -tól ig terjedő tartományba integrálva a következőt kapjuk: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

Más szavakkal, a természetes logaritmus egyenlő a hiperbola alatti területtel a megadott intervallumra vonatkozóan . ${\displaystyle \ln {b))$ $y={\frac {1}{x}}$ ${\megjelenítési stílus [1,b]}$

Az általános algebra szempontjából a logaritmikus függvény az (egyetlen lehetséges) izomorfizmust valósítja meg a pozitív valós számok multiplikatív csoportja és az összes valós szám additív csoportja között. Más szóval, a logaritmikus függvény az egyetlen (az argumentum összes pozitív értékére definiált) folytonos megoldása a [7] funkcionális egyenletnek :

f(xy)=f(x)+f(y)

A függvény analitikai tulajdonságai

A természetes logaritmus deriváltjának képletéből az következik, hogy a hiperbola antideriváltja a következő formában van: $y=1/x$

\int {dx \over x}=\ln |x|+C,

ahol egy tetszőleges integrációs állandó. Mivel a függvény két ágból áll (az egyik a pozitív, a másik a negatív ), a for antiderivált családja is két alcsaládból áll, és ezek integrációs állandói függetlenek egymástól. $C$ $y=1/x$ $x$ $y=1/x$

A természetes logaritmus határozatlan integrálja könnyen megtalálható részenkénti integrálással :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

A matematikai elemzésben és a differenciálegyenletek elméletében a függvény logaritmikus deriváltjának fogalma fontos szerepet játszik : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

A logaritmus kiszámításának módszerei

Kibővítjük a természetes logaritmust egy Taylor sorozatban , közel egységben:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\pontok

(1. sor)

Ez a sorozat, az úgynevezett " Merator sorozat", konvergál a . Különösen: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\pont

Az 1. sorozat képlete alkalmatlan a logaritmusok gyakorlati kiszámítására, mivel a sorozatok nagyon lassan és csak szűk intervallumban konvergálnak. Azonban nem nehéz beszerezni belőle egy kényelmesebb képletet:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\pontok \jobbra)

(2. sor)

Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármilyen pozitív szám logaritmusát is kifejezheti , mert akkor az abszolút érték kisebb egynél. Ez az algoritmus már alkalmas logaritmusértékek valós numerikus számításaira, azonban munkaintenzitás szempontjából nem a legjobb. $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$

A természetes logaritmus sok számjegyű pontosságú kiszámításához a Taylor-sor nem hatékony, mert lassú a konvergenciája. Alternatív megoldásként Newton módszerét használjuk az exponenciális függvények invertálására, amelynek sorozata gyorsabban konvergál.

A nagyon nagy számítási pontosság alternatívája a következő képlet: [8] [9] :

\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)))-m\ln 2

ahol 1 és 4/s számtani-geometriai átlagát jelöli , és $M$

s=x\,2^{m}>2^{{p/2}},

m úgy van megválasztva, hogy p számjegy legyen a pontosság. (A legtöbb esetben m-re 8-as érték is elegendő.) Valóban, ha ezt a módszert alkalmazzuk, akkor a természetes logaritmus Newton-féle inverziója alkalmazható az exponenciális függvény hatékony kiszámítására. Az ln 2 és pi állandók a kívánt pontossággal előre kiszámíthatók az ismert gyorsan konvergens sorozatok bármelyikével.

A természetes logaritmusok számítási bonyolultsága (az aritmetikai-geometriai átlagot használva) O( M ( n ) ln n ). Itt n azon pontosságú számjegyek száma, amelyekre a természetes logaritmust ki kell számítani, M ( n ) pedig két n - jegyű szám szorzásának számítási bonyolultsága.

Hasznos korlátok

Íme néhány hasznos korlát a logaritmusokkal kapcsolatban [10] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1

\lim _{x\to 0+}x^{b}\ln x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\jobbra)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Transzcendencia

A Lindemann-Weierstrass-tételből (1885) a következő következmény következik: ha az argumentum egytől eltérő algebrai szám , akkor az érték nemcsak irracionális , hanem transzcendentális szám is [11] . $x$ $\ln x$

Folytatva törtek

Bár nincsenek klasszikus folytatólagos törtek a logaritmus ábrázolására , számos "általánosított tört" használható, beleértve:

\ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3} }{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\pontok ={\cfrac {x}{1-0\ cdot x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1\cdot x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+ {\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots ))))))))))))

\ln \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{ \cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots )))))))))))))))={\cfrac {2x}{y+ x -{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^ { 2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}

Történelem

A mai értelemben vett természetes logaritmusok először 1619-ben jelentek meg, amikor a londoni matematikatanár, John Speidel újrakiadta Napier logaritmikus táblázatait, javítva és kiegészítve, hogy azok valóban természetes logaritmusok táblázataivá váljanak [12] . 1649-ben Grégoire de Saint-Vincent belga matematikus kimutatta, hogy a hiperbola alatti terület egy logaritmikus törvény szerint változik, és azt javasolta, hogy ezt a fajta logaritmust „hiperbolikusnak” nevezzék [13] . $y={\frac {1}{x}}$

A "természetes logaritmus" kifejezést Pietro Mengoli (1659) és Nicholas Mercator vezette be a "Logarithmotechnia" (1668) című alapművében [14] [15] . Ugyanitt Mercator leírta a természetes logaritmus kiterjesztését a " Mercator sorozatba ".

Az első kísérleteket a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tette , de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert maga a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott [16] . Erről a témáról először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler között vitatkoztak . Bernoulli és D'Alembert úgy vélte, hogy definiálni kell , míg Leibniz azzal érvelt, hogy egy negatív szám logaritmusa képzeletbeli szám [16] . A negatív és komplex számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől [17] . $\log(-x)=\log(x)$

Komplex logaritmusok

A komplex logaritmus egy analitikus függvény , amelyet úgy kapunk, hogy a valós logaritmust kiterjesztjük a teljes komplex síkra (a nulla kivételével). A valós esettől eltérően a komplex logaritmusfüggvény többértékű .

Meghatározás . Egy komplex szám természetes logaritmusa [6] az egyenlet megoldása $\mathrm {Ln} \,z$ $z$ $w$ $e^{w}=z.$

A nullától eltérő szám kifejezhető exponenciális formában: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

ahol egy tetszőleges egész szám

k

Ezután a [18] képlettel találjuk meg : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\jobb)

Itt az igazi logaritmus. Ebből következik: $\ln \,r=\ln \,|z|$

A komplex logaritmus létezik bármelyik esetén, és valós része egyedileg meghatározott, míg a képzeletbeli rész végtelen számú értéket tartalmaz, amelyek egész szám többszörösével különböznek. $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi .$

A képletből látható, hogy az értékek közül csak egynek van képzeletbeli része az intervallumban . Ezt az értéket nevezzük a komplex természetes logaritmus főértékének [6] . A megfelelő (már egyértékű) függvényt a logaritmus fő ágának nevezzük, és jelöléssel jelöljük . Ha valós szám, akkor logaritmusának főértéke egybeesik a szokásos valós logaritmussal. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $z$

Egy negatív szám logaritmusát a [18] képlet határozza meg :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\pontok)

Példák:

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért ezeknek a kifejezéseknek az egyenlősége nem következik egyetlen kifejezés logaritmusának egyenlőségéből sem. Példa a hibás érvelésre:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

nyilvánvaló hiba.

Ne feledje, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke ( ) pedig a jobb oldalon található. A hiba oka a tulajdonság gondatlan használata , ami általában véve összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Természetes logaritmusfüggvények a komplex síkon (főág)
$z=Re(\ln(x+iy))|$
$z=Im(\ln(x+iy))|$
$z=|\ln(x+iy)|$
Az előző három diagram szuperpozíciója

Egy komplex szám természetes logaritmusának függvénye úgy is definiálható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a nulla kivételével a teljes komplex síkra . A görbe kezdőpontja egyből, z-nél végződjön, ne menjen át nullán, és ne keresztezze a valós tengely negatív részét. Ekkor a logaritmus fő értéke a görbe végpontjában a [19] képlettel határozható meg : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Egyes alkalmazások

Számelmélet

A prímszámok eloszlása aszimptotikusan követi az egyszerű törvényeket [20] :

Az 1 és megközelítőleg közötti prímszámok száma egyenlő . $n$ ${\frac {n}{\ln n))$
k -edik prím megközelítőleg egyenlő . $k\ln k$

Matematikai elemzés

Integrálok keresésekor és differenciálegyenletek megoldása során gyakran felmerülnek a logaritmusok . Példák:

\int {\operátornév {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Valószínűségszámítás és statisztika

A statisztikában és a valószínűségszámításban a logaritmus számos, gyakorlatilag fontos valószínűségi eloszlásban szerepel. Például a logaritmikus eloszlást [21] használják a genetikában és a fizikában. A lognormális eloszlás gyakran előfordul olyan helyzetekben, amikor a vizsgált érték több független pozitív valószínűségi változó szorzata [22] .

Egy ismeretlen paraméter becslésére széles körben használják a maximum likelihood módszert és a hozzá tartozó log-likelihood függvényt [23] .

A véletlenszerű séta ingadozásait a Khinchin-Kolmogorov törvény írja le .

Fraktálok és méretek

A logaritmusok segítenek kifejezni egy fraktál Hausdorff-dimenzióját [24] . Vegyük például a Sierpinski-háromszöget , amelyet egy egyenlő oldalú háromszögből kapunk hasonló háromszögek egymás utáni eltávolításával, amelyek lineáris méretét mindegyik szakaszban felezzük (lásd az ábrát). Az eredmény méretét a következő képlet határozza meg:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\kb 1{,}58

Mechanika és fizika

A Boltzmann-elv a statisztikai termodinamikában a termodinamikai rendszer állapotának egyik legfontosabb függvénye, amely a véletlenszerűség mértékét jellemzi .

A rakéta sebességének kiszámításához a Ciolkovszkij-képletet használják.

Kémia és fizikai kémia

A Nernst-egyenlet összekapcsolja a rendszer redoxpotenciálját az elektrokémiai egyenletben szereplő anyagok aktivitásával, valamint a redox párok standard elektródpotenciáljával .

A logaritmus olyan mennyiségek meghatározásában használatos, mint az autoprotolízis állandó indexe ( a molekula önionizációja) és a hidrogénindex (az oldat savassága).

Pszichológia és fiziológia

Számos jelenség emberi észlelését jól leírja a logaritmikus törvény.

A Weber-Fechner törvény egy empirikus pszichofiziológiai törvény, amely kimondja, hogy az érzés intenzitása arányos az inger intenzitásának logaritmusával [25] - a hang erősségével [26] , a fény fényerősségével .

Fitts törvénye : minél távolabbra vagy pontosabban hajtjuk végre a test mozgását, annál több korrekcióra van szükség a végrehajtásához, és minél hosszabb ideig hajtják végre ezt a korrekciót [27] .

A döntés meghozatalának ideje egy választás jelenlétében a Hick-törvény [28] szerint becsülhető meg .

Jegyzetek

↑ Mortimer, Robert G. Matematika a fizikai kémiához . — 3. - Academic Press , 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5 . , Kivonat a 9. oldalból Archiválva : 2016. június 24. a Wayback Machine -nél
↑ Algebra és az elemzés kezdete. Tankönyv 10-11 évfolyamnak. 12. kiadás, Moszkva: Enlightenment, 2002. o. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 187.
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 34.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 189..
↑ 1 2 3 Logaritmikus függvény. // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , I. kötet, 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Gyakorlatilag gyors, többszörös pontosságú log(x ) kiértékelés // Journal of Information Processing. - 1982. - 1. évf. 5 , iss. 4 . - 247-250 .
↑ Ahrendt, Timm. Az exponenciális függvény gyors számításai. Számítástechnikai előadásjegyzet (neopr.) . - 1999. - T. 1564 . - S. 302-312 . - doi : 10.1007/3-540-49116-3_28 .
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , I. kötet, 164. o.
↑ Rudio F. A kör négyzetesítéséről (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre). - Szerk. 3. - M. - L. : OGIZ, 1936. - S. 89. - 237 p. - ( A természettudomány klasszikusai ).
↑ Cajori, Flórián. A matematika története, 5. kiadás (határozatlan idejű) . - AMS Könyvesbolt, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024 .
↑ Flashman, Martin. Integrálok becslése polinomok segítségével . Hozzáférés dátuma: 2011. június 30. Az eredetiből archiválva : 2012. február 11. (határozatlan)
↑ A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 63.
↑ JJ O'Connor és E. F. Robertson. Az e szám . A MacTutor Matematikatörténeti archívuma (2001. szeptember). Hozzáférés dátuma: 2011. június 30. Az eredetiből archiválva : 2012. február 11. (határozatlan)
↑ 1 2 Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete, 1967 , p. 45-46, 99-100..
↑ Derbyshire, John. Egyszerű megszállottság. Bernhard Riemann és a matematika legnagyobb megoldatlan problémája. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution . matematikai világ. Letöltve: 2012. április 26. Az eredetiből archiválva : 2012. május 11..
↑ Logaritmikusan normális eloszlás // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
↑ Maximum likelihood módszer // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
↑ Ivanov M. G. Méret és méret // "Lehetőség", 2006. augusztus.
↑ Golovin S. Yu. WEBER-FECHNER JOG // Egy gyakorlati pszichológus szótára . Letöltve: 2012. április 17. Az eredetiből archiválva : 2013. június 11.. (határozatlan)
↑ Irina Aldoshina. A pszichoakusztika alapjai // Hangmérnök. - 1999. - Kiadás. 6 . Archiválva az eredetiből 2012. április 24-én.
↑ Fitts törvénye // Pszichológiai enciklopédia (elérhetetlen link) . Letöltve: 2012. április 17. Az eredetiből archiválva : 2012. május 27.. (határozatlan)
↑ Welford, A. T. A készség alapjai . - London: Methuen, 1968. - 61. o . - ISBN 978-0-416-03000-6 .

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Linkek

" Demystifying the Natural Logathm Archivált : 2013. szeptember 26. a Wayback Machine -nél " A természetes logaritmus feloldása (ln) | Jobban megmagyarázva _

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)