Az iterált logaritmus törvénye

Az iterált logaritmus törvénye a valószínűségszámítás korlátozó törvénye . A tétel meghatározza a valószínűségi változók összegeinek sorozata osztójának növekedési sorrendjét, amely alatt ez a sorozat nem konvergál nullához, hanem szinte mindenhol véges határok között marad.

A két értékkel azonos eloszlású független valószínűségi változók összegeinek sorozata esetén a tételt A. Ya. Khinchin igazolta 1924 - ben [1] [2] . Az első általános típustételt A. N. Kolmogorov bizonyította 1929 - ben [3] [4] .

Tétel

Legyenek független azonos eloszlású valószínűségi változók nulla matematikai elvárással és mértékegységvarianciával . Akkor szinte biztosan : ${Y_{n}}$ $S_{n}=Y_{1}+\pontok +Y_{n}.$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},

\liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},

ahol a természetes logaritmusa , a felső határa , az alsó határa . $\ln$ $\limsup$ $\liminf$

Általánosítások és kiegészítések

Kolmogorov iterált logaritmustörvényének általánosításait független korlátos, egyenlőtlen eloszlású valószínűségi változók sorozataira V. Feller [5] tanulmányozta . F. Strassen [6] adott egy általánosítást a funkcionális konvergenciára . Azt is bebizonyította [7] , hogy ha olyan független valószínűségi változók sorozata, amelyeknek ugyanaz az eloszlása végtelen varianciával, akkor $Y_{n}$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n))}=\infty .

Kapcsolat más határértéktételekkel

Az iterált logaritmus törvénye közbenső a nagy számok törvénye és a központi határérték tétel között . A nagy számok törvénye két változatban létezik - gyenge és erősített , azt állítják, hogy az osztóval rendelkező összegek nullára hajlamosak, valószínűleg és szinte biztosan : $S_{n}$ $n$

{\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0

szinte biztosan at

n\to \infty .

A centrális határeloszlástétel kimondja, hogy az osztóösszegek konvergálnak a standard normális eloszláshoz , és ez az összegsorozat sem valószínűség szerint, sem szinte biztosan nem konvergál egy adott mennyiséghez , hanem korlátlanul vándorol. $S_{n}$ ${\sqrt n}$

Az iterált logaritmus törvényében szereplő osztó különböző eredményekhez vezet a valószínűség konvergenciájára, és szinte biztosan :

{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0

és nem hajlik semmire, szinte biztosan a .

n\to\infty

Így, bár az érték kisebb lesz, mint bármelyik adott , annak valószínűsége, hogy egy, de szinte biztosan végtelen számú alkalommal közelíti meg a szegmens bármely pontját olyan közel, amennyire csak akarja . $S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n))$ $\varepsilon >0$ $[-{\sqrt 2},{\sqrt 2}]$

Jegyzetek

↑ Khinchin A. Ya., „Fundam. matematika." 1924, v. 6. o. 9–20.
↑ Khinchin A. Ya. "A valószínűségszámítás alaptörvényei" Archív másolat , 2012. november 23-án a Wayback Machine -nél , 1932.
↑ Kolmogorov A.N., „Matek. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126–135.
↑ Iterált logaritmustörvény – Matematikai enciklopédia cikk .
↑ W. Feller, "Az úgynevezett iterált logaritmus törvényének általános formája" Trans. amer. Math. szoc. , 54 (1943) pp. 373–402.
↑ V. Strassen, "A változatlanság elve az iterált logaritmus törvényéhez" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226.
↑ V. Strassen, "Az iterált logaritmus törvényének ellentéte" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268.