Központi határérték tétel

A centrális határtételek (CLT) a valószínűségszámítás tételeinek egy osztálya, amelyek azt állítják , hogy kellően nagy számú gyengén függő , megközelítőleg azonos skálájú valószínűségi változó összege (egyik kifejezés sem dominál, nem járul hozzá az összeghez. ), eloszlása közel van a normálhoz .

Mivel az alkalmazásokban sok valószínűségi változó több gyengén függő véletlen tényező hatására jön létre, ezek eloszlása normálisnak tekinthető. Ebben az esetben azt a feltételt kell figyelembe venni, hogy egyik tényező sem domináns. A centrális határeloszlás tételei ezekben az esetekben indokolják a normális eloszlás alkalmazását.

Klasszikus CLT

Legyen független azonos eloszlású valószínűségi változók végtelen sorozata véges matematikai elvárással és szórással . Hadd is $X_{1},\lpontok ,X_{n},\lpontok$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Akkor

{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\ to N(0,1)

terjesztéssel : _

n\to\infty

ahol egy normális eloszlás nulla átlaggal és eggyel egyenlő szórással . Az első értékek mintaátlagának meghatározása : $N(0,1)$ $n$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

átírhatjuk a centrális határérték tétel eredményét a következő formában:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)

címen történő elosztással .

n\to\infty

A konvergencia mértéke a Berry-Esseen egyenlőtlenség segítségével becsülhető meg .

Jegyzetek

Informálisan szólva, a klasszikus centrális határeloszlástétel kimondja, hogy a független azonos eloszlású valószínűségi változók összegének eloszlása közel van . Ennek megfelelő eloszlása közel van . $n$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar {X}}_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
Mivel a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye folytonos , az ehhez az eloszláshoz való konvergencia megegyezik az eloszlásfüggvények pontszerű konvergenciájával a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényéhez. Beállításával azt kapjuk , ahol a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\to \Phi (x),\;\all x\in {\mathbb {R}}$ $\Phi (x)$
A klasszikus megfogalmazásban a központi határtételt a karakterisztikus függvények módszere ( Levy-féle folytonossági tétel ) bizonyítja.
Általánosságban elmondható, hogy a sűrűségek konvergenciája nem következik az eloszlásfüggvények konvergenciájából . Ennek ellenére ebben a klasszikus esetben ez a helyzet.

Helyi CLT

A klasszikus megfogalmazás feltételezései mellett tegyük fel továbbá, hogy a valószínűségi változók eloszlása abszolút folytonos, azaz sűrűsége van. Ekkor az elosztás is abszolút folyamatos, sőt, $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\to {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

, _

n\to\infty

ahol a valószínűségi változó sűrűsége, a jobb oldalon pedig a standard normális eloszlás sűrűsége. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Általánosítások

A klasszikus centrális határeloszlástétel eredménye a teljes függetlenségnél és egyenlő eloszlásnál sokkal általánosabb helyzetekre érvényes.

CPT Lindeberg

Legyenek független valószínűségi változók definiálva ugyanazon a valószínűségi téren, és legyenek véges matematikai elvárásaik és szórásaik : . $X_{1},\lpontok ,X_{n},\lpontok$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma _{i}^{2}$

Hadd . $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Akkor . ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} }[S_{n}]=s_{n}^{2}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

És teljesüljön a Lindeberg-feltétel :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

ahol a függvény egy indikátor. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Akkor

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\-N(0,1)

címen történő elosztással .

n\to\infty

TsPT Lyapunov

Teljesüljenek a Lindeberg-féle CLT alapfeltevései. Legyen a valószínűségi változóknak véges harmadik momentuma . Aztán a sorrend $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\sum _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3} \jobb]

Ha limit

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( Ljapunov állapot ),

akkor

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\-N(0,1)

címen történő elosztással .

n\to\infty

CLT martingálokhoz

Legyen a folyamat egy martingál korlátos növekményekkel. Konkrétan tételezzük fel azt $(X_{n})_{{n\in {\mathbb {N))))$

{\mathbb {E}}\left[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]=0,\;n\in {\ mathbb {N}},\;X_{0}\equiv 0,

és a növekmények egyenletesen korlátosak, azaz

\exists C>0\,\forall n\in {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

b.s.

Véletlenszerű folyamatokat vezetünk be , és a következők szerint: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots , X_{n}\jobbra]

és

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\jobbra. \jobb\}

Akkor

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\to N(0,1)

címen történő elosztással .

n\to\infty

CLT véletlenszerű vektorokhoz

Legyen független és egyenlő eloszlású véletlen vektorok sorozata, amelyek mindegyikének van egy átlaga és egy nem szinguláris kovarianciamátrixa . Jelölje a részösszegek vektorával. Ekkor - esetén a vektorok eloszlásának gyenge konvergenciája van ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ ${\displaystyle S_{n}={\vec {X_{1))}+\ldots +{\vec {X_{n))))$ $n\to\infty$

${\vec {\eta _{n))}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n))}\xrightarrow {gyenge} {\vec {\eta ))$ , hol van elosztása . ${\vec {\eta ))$ $N({{\vec {0)),\Sigma })$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rouaud, Mathieu. Valószínűség, statisztika és becslés (határozatlan) . - 2013. - S. 10.

Linkek

A valószínűségszámítás határtételei. Példák a felhasználásra

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 122653738 GND : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905