A nagy számok törvénye

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A nagy számok törvénye ( LNA ) a valószínűségszámításban egy olyan elv, amely leírja ugyanazon kísérlet többszöri elvégzésének eredményét. A törvény szerint egy fix eloszlásból származó véges minta átlagértéke közel áll ennek az eloszlásnak a matematikai elvárásához .

A nagy számok törvénye azért fontos, mert bizonyos véletlenszerű események átlagainak stabilitását garantálja kellően hosszú kísérletsorozaton keresztül.

Fontos megjegyezni, hogy a törvény csak akkor alkalmazandó, ha nagyszámú tárgyalást vesznek figyelembe.

Példák

Vegyünk például egy hatoldalú kockadobást, amelyre azonos valószínűséggel eshet az 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 számok valamelyike, ezért egy dobás várható

{\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3{,}5.

A nagy számok törvénye szerint nagy dobásszám esetén ezek átlagértéke valószínűleg megközelíti a 3,5-öt, miközben a dobások számának növekedésével a pontosság nő.

A nagy számok törvényéből következik, hogy a Bernoulli-próbák sorozatában a siker empirikus valószínűsége az elméleti valószínűséghez konvergál. Bernoulli valószínűségi változó esetén az átlag a siker elméleti valószínűsége, az ilyen változók átlaga pedig (ha függetlenek és egyenlő eloszlásúak) a relatív gyakoriság. $n$

Például a megfelelő érme feldobása egy Bernoulli-teszt. Egy dobással a fejek megszerzésének elméleti valószínűsége . Ezért a nagy számok törvénye szerint a nagyszámú próbával rendelkező "sasok" arányának körülbelül . Különösen a dobások utáni "fejek" aránya konvergál a , -hoz . $1/2$ $1/2$ $n$ $1/2$ $n\to\infty$

Bár a fejek (és a farok) aránya hajlamos , szinte biztosra vehető, hogy a feldobások számának korlátlanul növekszik a fejek és a farok száma közötti különbség abszolút értéke. Vagyis a dobások számának növekedésével annak a valószínűsége, hogy a különbség modulusa kicsi lesz, nullára megy, és a különbség modulusának az összes dobásszámhoz viszonyított aránya szinte biztosan nullára hajlik: $1/2$

|n_{\text{o}}-n_{\text{p}}|\not \to 0,\quad {\frac {|n_{\text{o}}-n_{\text{p }}|}{n}}\to 0.

Történelem

Gerolamo Cardano (1501-1576) olasz matematikus szenvedélyes szerencsejátékos volt. Kockaszeretetének "mellékterméke" volt a Szerencsejátékról című könyv ( olaszul: De Ludo alea , 1563), amely a nagy számok törvényének megfogalmazását tartalmazza. Ebben Cardano kijelentette, hogy az empirikus statisztikák pontossága a kísérletek számának növekedésével javul.

1713-ban Jacob Bernoulli felvázolta az összetett események valószínűségének kiszámításának szabályait, és megadta a "nagy számok törvényének" első változatát, megmagyarázva, hogy egy tesztsorozatban miért nem véletlenszerűen változik egy esemény gyakorisága, hanem bizonyos értelemben. elméleti határértékére (vagyis valószínűségére) hajlik.

Meg kell jegyezni S. D. Poisson (1781-1840) munkáját is, aki a nagy számok törvényének általánosabb formáját mutatta be, mint Jacob Bernoullié .

P. L. Csebisev megkapta a nagy számok törvényének általános megfogalmazását: ha a valószínűségi változók sorozatának matematikai elvárásai és e matematikai elvárások négyzete összességében korlátozottak, akkor ezeknek a mennyiségeknek a számtani átlaga valószínűség szerint konvergál a számtani átlaghoz. matematikai elvárásaik miatt.

A. A. Markov bebizonyította a nagy számok törvényének egy változatát a függő mennyiségek néhány gyakori típusára.

A 20. században Csebisev és Markov kutatását A. Ya. Khinchin és A. N. Kolmogorov folytatta . Megmutatták, hogy ha a valószínűségi változók nemcsak függetlenek, hanem egyenlő eloszlásúak is, akkor matematikai elvárásuk megléte szükséges és elégséges feltétele a nagy számok törvénye alkalmazhatóságának.

Opciók

Tekintsünk olyan Lebesgue-integrálható valószínűségi változók sorozatát , amelyek az aggregátumban függetlenek, és azonos eloszlásúak, és ezért ugyanazok a matematikai elvárások . $X_{1},X_{2},\dots$ $\mathbb {E} (X_{1})=\mathbb {E} (X_{2})=\ldots =\mu$

Jelölje a figyelembe vett valószínűségi változók számtani átlagával: ${\overline {X}}_{n}$

{\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\ldots +X_{n}).

Konvergál a matematikai elváráshoz :

{\overline {X}}_{n}\to \mu

nál nél

n\to \infty .

A valószínűségi változók aggregátumában a függetlenség a törvény mindkét változatában helyettesíthető páronkénti függetlenséggel [1] .

Az alábbiakban a nagy számok törvényének két különböző változatát ismertetjük. Ezeket a nagy számok erős törvényének és a nagy számok gyenge törvényének nevezik . Az erős és gyenge forma közötti különbség a konvergencia módszer megválasztásával függ össze.

Gyenge törvény

A nagy számok gyenge törvénye ( J. Bernoulli által megfogalmazott Bernoulli tétel , 1713-ban publikált [2] ) kimondja, hogy a mintaátlag valószínűségében konvergál a matematikai elváráshoz [3] :

{\overline {X}}_{n}\xrightarrow {P} \mu

nál nél

n\to \infty .

Vagyis előadják $\forall \varepsilon >0$

\lim _{n\to \infty }P{\big (}|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon {\big )}=0.

Ezt az eredményt értelmezve azt találjuk, hogy a gyenge törvény kimondja, hogy bármilyen nem nulla meghatározott korlát esetén, függetlenül attól, hogy milyen kicsik, elég nagy minta mellett, nagyon nagy a valószínűsége annak, hogy a minta átlaga közel lesz az átlaghoz . határait.

Mint korábban említettük, a gyenge törvény a független, azonos eloszlású valószínűségi változók esetén alkalmazható matematikai várakozással . Azonban más esetekben is alkalmazható. Például a variancia a mintában szereplő minden valószínűségi változó esetében eltérő lehet, miközben a matematikai elvárás állandó maradhat. Ha a szórások korlátozottak, akkor a törvény is érvényes, ahogy Csebisev 1867-ben megmutatta. Csebisev bizonyítása addig működik, amíg az első értékek átlagos számának szórása nem nullázódik [4] -nél . $n$ $n\to\infty$

Megerősített törvény

A nagy számok erős törvénye kimondja, hogy bizonyos feltételek mellett, egy valószínűséggel, korlátlanul konvergencia áll fenn néhány állandó értékű valószínűségi változó sorozat számtani középértékei között.

Legyen valószínűségi változók sorozata és . $X_{1},X_{2},\dots$ ${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\ldots +X_{n})$

Egy sorozatról azt mondjuk, hogy teljesíti a nagy számok erős törvényét, ha létezik olyan sorozat , amelyben a , for összefüggés valószínűsége egyenlő 1-gyel. $X_{1},X_{2},\dots$ $\mu _{n}$ ${\overline {X}}_{n}-\mu _{n}\to 0$ $n\to\infty$

Egy másik, az előzővel egyenértékű megfogalmazás a következő: egy sorozat akkor teljesíti a nagy számok erős törvényét, ha az összes egyenlőtlenség egyidejű teljesülésének valószínűsége $X_{1},X_{2},\dots$ $\forall \varepsilon >0$

|{\overline {X}}_{n}-\mu _{n}|\leqslant \varepsilon ,

|{\overline {X}}_{n+1}-\mu _{n+1}|\leqslant \varepsilon ,

\pontok

hajlamos 1 at . $n\to\infty$

Itt tehát a teljes összegsorozat egészének viselkedését vesszük figyelembe, míg a nagy számok szokásos törvényében csak egyedi összegekről beszélünk.

Ha egy sorozat teljesíti a nagy számok erős törvényét, akkor a nagy számok szokásos törvényét is teljesíti ugyanazzal , azaz , , esetén . $X_{1},X_{2},\dots$ $\mu _{n}$ $P{\big (}|{\bar {X}}_{n}-\mu _{n}|\leqslant \varepsilon {\big )}\to 1$ $n\to\infty$ $\forall \varepsilon >0$

Lehet, hogy a fordítottja nem igaz. Például, ha a valószínűségi változók függetlenek és két- két értéket vesznek fel egy-egy valószínűséggel , akkor a nagy számok szokásos törvénye teljesül rájuk -val , de egyikre sem teljesül a nagy számok erős törvénye. $X_{1},X_{2},\dots$ $n\geqslant 16$ $\pm {\sqrt {n/\log \log \log n))$ $1/2$ $\mu _{n}=0$ $\mu _{n}$

Kolmogorov tétele

A független kifejezések esetében a legismertebbek a nagy számok erős törvénye alkalmazhatóságának feltételei, amelyeket A. N. Kolmogorov állapított meg: elégséges - véges szórással rendelkező mennyiségekre, valamint szükséges és elégséges - azonos eloszlású mennyiségekre (melyek mennyiségek matematikai elvárásának meglétében áll ). Kolmogorov tétele véges varianciájú valószínűségi változókra kimondja, hogy a feltételből $X_{i}$

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {D[X_{n}]}{n^{2))}<\infty$

(egy)

a nagy számok erős törvényének a sorozatra való alkalmazhatósága következik . A szórások tekintetében az ( 1 ) feltétel bizonyul a legjobbnak abban az értelemben, hogy bármely pozitív számsorozathoz , amelynek divergens sorozata van , meg lehet alkotni olyan c független valószínűségi változók sorozatát, amely nem tesz eleget a nagy számok erős törvényének. . [5] $X_{1},X_{2},\dots$ $A_{n}=\mathbb {E} ({\overline {X}}_{n})$ $b_n$ ${\displaystyle \sum b_{n}/n^{2))$ $X_n$ $DX_{n}=b_{n}$

A gyenge törvény és az erős törvény közötti különbségek

A gyenge törvény kimondja, hogy egy adott nagy esetén az átlag valószínűleg közel van a -hoz . Így végtelenül sokszor előfordulhat, bár önkényesen ritkán. ( Nem feltétlenül igaz mindenkire .) $n$ ${\overline {X}}_{n}$ $\mu$ $|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon$ $n$ $|{\overline {X}}_{n}-\mu |\neq 0$

A betartatott törvény megmutatja, mi az, ami szinte biztosan nem fog megtörténni. Ez azt jelenti, hogy 1 valószínűséggel az egyenlőtlenség elég nagyra teljesül . [6] $|{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon$ $\forall \varepsilon >0$ $|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon$ $n$

Az alábbiakban három példát mutatunk be a szimmetrikus eloszlásokra, ezeknek az eloszlásoknak mindegyik példában nincs matematikai elvárása, a nagy számok erős törvénye (szinte mindenhol konvergencia) nem teljesül, de a gyenge törvény teljesül: a valószínűségi változók átlaga konvergál valószínűsége egy állandóra, eloszlásuk szimmetriaközéppontjára. [7] [8] [9]

Legyen egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó az 1-es paraméterrel. A valószínűségi változónak nincs matematikai elvárása a Lebesgue integrállal, de a feltételes konvergenciát és az integrál Dirichlet-integrálként való értelmezését alkalmazva , ami egy helytelen Riemann-integrál , azt mondhatjuk: $x$ ${\frac {\sin(x)e^{x}}{x}}$ $\mathbb {E} \left({\frac {\sin(x)e^{x}}{x}}\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\ sin(x)e^{x}}{x}}e^{-x}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$
Legyen egy geometriai eloszlás valószínűséggel . Egy valószínűségi változónak nincs a szokásos értelemben vett várható értéke, mivel egy végtelen sorozat nem abszolút konvergens , de a feltételes konvergenciát használva elmondható: $x$ $0{,}5$ ${\frac {2^{x}(-1)^{x}}{x}}$ $\mathbb {E} \left({\frac {2^{x}(-1)^{x}}{x}}\right)=\sum _{1}^{\infty }{\ frac {2^{x}(-1)^{x}}{x}}2^{-x}=-\ln(2).$
Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye egyenlő $1-F(x)={\frac {e}{2x\ln(x))),\quad x\geqslant e,$ $F(x)={\frac {e}{-2x\ln(-x))),\quad x\leqslant -e,$ akkor nincs matematikai elvárása, de a gyenge törvény teljesül. [10] [11]

A nagy számok egységes törvénye

Legyen valamilyen függvény, amely definiált és folytonos a változóhoz képest . Ekkor bármely rögzített sorozat esetén a sorozat független és azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata lesz, úgy, hogy ennek a sorozatnak a mintaátlaga valószínűséggel konvergál . $f(x,\theta )$ $\theta \in \Theta$ $\theta$ ${\displaystyle \{f(X_{1},\theta ),f(X_{2},\theta ),\dots \))$ $\mathbb {E} [f(X,\theta )]$

A nagy számok egységes törvénye leírja azokat a feltételeket, amelyek mellett a konvergencia egységes . $\theta$

Ha: [12] [13]

$\Theta$ kompakt,
$f(x,\theta )$ szinte mindegyiknél folyamatos és mindegyiknél mérhető függvénye , $\theta \in \Theta$ $x$ $x$ $\theta$
létezik egy olyan domináns funkció , amely mindenki számára $d(x)$ $\mathbb {E} [d(X)]<\infty$ $\|f(x,\theta )\|\leqslant d(x)$ $\theta \in \Theta$

majd folyamatos ben és $\mathbb {E} [f(X,\theta )]$ $\theta$

\sup _{\theta \in \Theta }\left\|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i},\theta ) -\mathbb {E} [f(X,\theta )]\right\|\xrightarrow {\text{n.  n.}} 0.

Nagy számok Borel-törvénye

A nagy számok Borel-törvénye, amelyet Émile Borelről neveztek el , kimondja, hogy ha egy kísérletet többször egymástól függetlenül megismételnek ugyanazon körülmények között, akkor bármely meghatározott esemény bekövetkezésének hányadosa megközelítőleg megegyezik az esemény bekövetkezésének valószínűségével egy adott kísérletben; minél nagyobb az ismétlések száma, annál jobb a közelítés. Pontosabban, ha a szóban forgó eseményt jelöli - bekövetkezésének valószínűségét, és - az első próbák során előforduló alkalmak számát, akkor 1-es valószínűséggel [14] $E$ $p$ $N_{n}(E)$ $E$ $n$

{\frac {N_{n}(E)}{n}}\to p,\quad n\to \infty .

Csebisev egyenlőtlensége

Legyen egy valószínűségi változó véges matematikai elvárással és véges nem nulla varianciával . Akkor bármilyen valós számra $x$ $\mu$ $\sigma ^{2}$ $k>0$

P{\big (}|X-\mu |\geqslant k\sigma {\big )}\leqslant {\frac {1}{k^{2))}.

A gyenge törvény bizonyítéka

Tekintsünk független és azonos eloszlású valószínűségi változók végtelen sorozatát véges matematikai elvárással . Minket a valószínűség konvergenciája érdekel $X_{1},X_{2},\dots$ $\mathbb {E} (X_{1})=\mathbb {E} (X_{2})=\ldots =\mu <\infty$

{\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\ldots +X_{n}).

Tétel

{\overline {X}}_{n}\xrightarrow {P} \mu

nál nél

n\to \infty .

Bizonyítás Csebisev-egyenlőtlenséggel, véges varianciát feltételezve

A véges variancia feltételezése nem kötelező. A nagy vagy végtelen szórás lelassítja a konvergenciát, de az LPA így is érvényes. $D(X_{1})=D(X_{2})=\ldots =\sigma ^{2}<\infty$

Ez a bizonyítás a véges variancia feltevést használja (mindenre ). A valószínűségi változók függetlensége nem jelent korrelációt közöttük $\operatorname {D} (X_{i})=\sigma ^{2}$ $én$

\operatorname {D} ({\overline {X}}_{n})=\operátornév {D} {\big (}{\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\lponts +X_{n}){\big )}={\frac {1}{n^{2}}}\operátornév {D} (X_{1}+\ldots +X_{n})={\frac { n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.

Egy sorozat matematikai elvárása a mintaátlag átlagértéke: $\mu$

\mathbb {E} ({\overline {X}}_{n})=\mu .

A Csebisev-egyenlőtlenség használatával megkapjuk ${\overline {X}}_{n}$

\operatorname {P} {\big (}|{\overline {X}}_{n}-\mu |\geqslant \varepsilon {\big )}\leqslant {\frac {\sigma ^{2} }{n\varepsilon ^{2}}}.

Ezzel az egyenlőtlenséggel a következőket kapjuk:

\operatorname {P} {\big (}|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon {\big )}=1-\operatorname {P} {\big (} |{\overline {X}}_{n}-\mu |\geqslant \varepsilon {\big )}\geqslant 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}} .

Amikor a kifejezés 1-re hajlik. $n\to\infty$

Most a valószínűségi konvergencia definíciójával a következőket kapjuk:

{\overline {X}}_{n}\xrightarrow {P} \mu

at .

n\to\infty

Bizonyítás jellemző függvények konvergenciájával

Taylor összetett függvényekre vonatkozó tétele alapján bármely véges átlagú valószínűségi változó karakterisztikus függvénye felírható így $x$ $\mu$

\varphi _{X}(t)=1+it\mu +o(t),\quad t\to 0.

Mindegyiknek ugyanaz a jellemző funkciója, jelöljük . $X_{1},X_{2},\dots$ $\varphi _{X}$

A jellemző függvények főbb tulajdonságai közül két tulajdonságot emelünk ki:

\varphi _{{\frac {1}{n}}X}(t)=\varphi _{X}{\big (}{\tfrac {t}{n}}{\big )},

\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\,\varphi _{Y}(t),

ahol és függetlenek. $x$ $Y$

Ezek a szabályok használhatók a karakterisztikus függvény kiszámítására az alábbiak szerint : ${\overline {X}}_{n}$ $\varphi _{X}$

\varphi _{{\overline {X}}_{n}}(t)=\left[\varphi _{X}\left({\frac {t}{n}}\right)\right ]^{n}=\left[1+i\mu {\frac {t}{n}}+o\left({\frac {t}{n}}\right)\right]^{n}\ e^{it\mu }

nál nél

n\to \infty .

A határérték egy állandó karakterisztikus függvénye, és ezért Lévy folytonossági tétele szerint az eloszlásban a következőhöz konvergál : ${\displaystyle e^{it\mu ))$ $\mu$ ${\overline {X}}_{n}$ $\mu$

{\overline {X}}_{n}\xrightarrow {\mathcal {D}} \mu

nál nél

n\to \infty .

Mivel az állandó, ebből az következik, hogy az eloszlás konvergenciája és a valószínűség konvergenciája egyenértékű. Ezért $\mu$ $\mu$ $\mu$

{\overline {X}}_{n}\xrightarrow {\mathcal {P}} \mu

nál nél

n\to \infty .

Ez azt mutatja, hogy a mintaátlag valószínűségében konvergál az origó karakterisztikus függvényének deriváltjához, ha létezik.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Etemadi, N. Z. (1981). "A nagy számok erős törvényének elemi bizonyítéka". Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete . 55 (1): 119-122. doi: 10.1007/BF01013465 .
↑ Paskhaver, 1974 , p. 34.
↑ Loève 1977, 1.4. fejezet, p. tizennégy.
↑ Jurij Prohorov . "A nagy számok törvénye" archiválva : 2018. július 26., a Wayback Machine -nél . Matematikai Enciklopédia .
↑ Yu. V. Prohorov. Nagy számban megerősítették a jogot . Matematika Könyvtár . Letöltve: 2018. március 28. Az eredetiből archiválva : 2018. március 28. (határozatlan)
↑ Ross (2009).
↑ Lehmann, Erich L.; Romano, Joseph P. (2006-03-30). A gyenge törvény az állandóhoz konvergál . ISBN 9780387276052 .
↑ Dguvl Hun Hong és Sung Ho Lee. „MEGJEGYZÉS A CSERÉLHETŐ VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓKRA VONATKOZÓ NAGY SZÁMOK GYENGE TÖRVÉNYÉRE” . Archiválva : 2016. július 1. a Wayback Machine -nél .
↑ "nagy számok gyenge törvénye: bizonyítás karakterisztikus függvényekkel vs bizonyítás csonkolással VÁLTOZÓK" Archiválva : 2018. március 22. a Wayback Machine -nél . Matematika Stack Exchange.
↑ Mukherjee, Sayan. "A nagy számok törvénye" . Archivált : 2013. március 9. a Wayback Machine -nél .
↑ J. Geyer, Charles. "A nagy számok törvénye" archiválva : 2018. június 13., a Wayback Machine -nél .
↑ Newey és McFadden 1994, Lemma 2.4.
↑ Jennrich, Robert I. (1969). "A nemlineáris legkisebb négyzetek becslőinek aszimptotikus tulajdonságai". The Annals of Mathematical Statistics . 40 (2): 633-643. doi: 10.1214/aoms/1177697731 .
↑ Wen, L. Analitikai technika a nagy számok Borel-féle erős törvényének bizonyítására . Am. Math. Hónap, 1991.

Irodalom

Chistyakov V. P. Valószínűségelmélet tanfolyam. - M .: Nauka, 1982.
Shiryaev A. N. Valószínűség. - M .: Nauka, 1989.
Paskhaver IS A nagy számok és a statisztikai törvényszerűségek törvénye. — M .: Statisztika, 1974.
Bernoulli tétele / V. I. Bityutskov // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11978788d GND : 4157077-7 J9U : 987007558155705171 LCCN : sh85075318 SUDOC : 027830632