A kombinatorika története

A kombinatorika története rávilágít a kombinatorika fejlődésére , a véges matematikának egy olyan ágára, amely főként egy adott véges halmazból adott m számú elem kiválasztásának különféle módjait kutatja : elhelyezés , kombináció , permutáció , valamint felsorolás és kapcsolódó problémák. Kezdve a rejtvények és a szerencsejátékok elemzésével, a kombinatorika rendkívül hasznosnak bizonyult gyakorlati feladatok megoldásában a matematika szinte minden ágában. Ezenkívül a kombinatorikus módszerek hasznosnak bizonyultak a statisztikában , a genetikában , a nyelvészetben és sok más tudományban.

Ókori időszak

Kombinatorikus motívumok láthatók a kínai „Változások könyve” (Kr. e. V. század) szimbolikájában. Szerzői szerint a világon minden a férfi és női princípiumok különféle kombinációiból , valamint nyolc elemből áll: föld, hegyek, víz, szél, zivatar, tűz, felhők és ég [1] . A történészek kombinatorikus problémákat is észleltek a Go és más játékok kézikönyveiben. A matematikusok nagy érdeklődése sok országban az ősidők óta változatlanul felkeltette a varázslatos négyzeteket .

A kombinatorika klasszikus feladatát: „hányféleképpen lehet N -ből kivonni m elemet ” az ókori India szútráiban (Kr. e. 4. századtól kezdődően) szerepel [2] . Úgy tűnik, az indiai matematikusok voltak az elsők, akik felfedezték a binomiális együtthatókat és azok kapcsolatát a Newton-binomiálissal [2] . A Kr.e. II. században. e. az indiánok tudták, hogy az összes n fokú binomiális együttható összege .

Az ókori görögök különálló kombinatorikai problémákat is fontolgattak, bár ezeknek a kérdéseknek a szisztematikus bemutatása, ha létezett, nem jutott el hozzánk. Chrysippus ( Kr. e. III. század ) és Hipparkhosz ( Kr. e. II. század ) kiszámította, hogy 10 axiómából hány következmény vonható le ; a számítási módszer számunkra ismeretlen, de Chrysippus több mint egymilliót, Hipparkhosz pedig több mint 100 000-et kapott [3] . Arisztotelész logikájának bemutatásakor félreérthetetlenül felsorolta a háromtagú szillogizmusok összes lehetséges típusát . Arisztoxenosz a hosszú és rövid szótagok különböző váltakozásait méterben vette figyelembe . [3] A püthagoreusok valószínűleg használtak néhány kombinatorikus szabályt számelméletük és numerológiájuk felépítése során ( tökéletes számok , figuratív számok , pitagoraszi hármasok stb.).

Középkor

A 12. században az indiai matematikus , Bhaskara Lilavati fő művében részletesen tanulmányozta a permutációkkal és kombinációkkal kapcsolatos problémákat, beleértve az ismétlődésekkel történő permutációkat is.

Nyugat-Európában két zsidó kutató, Ábrahám ibn Ezra ( XII. század ) és Levi ben Gershom (más néven Gersonides , XIV. század ) számos mélyreható felfedezést tett a kombinatorika területén . Ibn Ezra megszámolta az Isten nevének magánhangzóiban szereplő permutációkkal rendelkező elhelyezések számát [4] , és felfedezte a binomiális együtthatók szimmetriáját, Gersonidész pedig kifejezett képleteket adott kiszámításukra és alkalmazásukra az elhelyezések és kombinációk számának számítási problémáiban .

Az " Abakusz könyve " ( Fibonacci , XIII. század ) számos kombinatorikus problémát tartalmaz . Például azt a feladatot tűzte ki, hogy megtalálja a legkisebb súlyszámot, amely elegendő bármely 1-40 font súlyú termék leméréséhez.

Új idő

Gerolamo Cardano írt egy matematikai tanulmányt a kockajátékról , amelyet posztumusz publikáltak. Ennek a játéknak az elméletét Tartaglia és Galileo is tanulmányozta . A kialakulóban lévő valószínűségelmélet története magában foglalta a lelkes játékos, Chevalier de Méray levelezését Pierre Fermat - tal és Blaise Pascallal , ahol több finom kombinatorikus kérdés is felmerült. A szerencsejátékon kívül a kriptográfiában is alkalmaztak (és továbbra is alkalmaznak) kombinatorikus módszereket , mind a rejtjelek  fejlesztésére, mind azok feltörésére.

Blaise Pascal sokat dolgozott a binomiális együtthatókon , és felfedezett egy egyszerű módszert ezek kiszámítására: " Pascal háromszöge ". Bár ez a módszer már keleten is ismert volt (körülbelül a 10. századtól), Pascal – elődeitől eltérően – szigorúan megállapította és bizonyította ennek a háromszögnek a tulajdonságait. Leibniz mellett a modern kombinatorika megalapítójának tartják. Magát a „kombinatorika” kifejezést Leibniz alkotta meg, aki 1666 -ban (akkor 20 éves volt) kiadta a „Discourses on Combinatorial Art” című könyvet. Igaz, Leibniz túl tágan értette a "kombinatorika" kifejezést, beleértve az összes véges matematikát, sőt a logikát is [5] . Leibniz tanítványa , Jacob Bernoulli , a valószínűségelmélet egyik megalapítója A feltételezések művészete ( 1713 ) című könyvében sok információt mutatott be a kombinatorikáról.

Ugyanebben az időszakban alakult ki az új tudomány terminológiája. A " kombináció " ( kombináció ) kifejezés először Pascalban fordul elő ( 1653 , 1665 -ben jelent meg ). A „ permutáció ” ( permutáció ) kifejezést Jacob Bernoulli használta a megadott könyvben (bár időnként találkozott korábban). Bernoulli is használta az " elrendezés " kifejezést .

A matematikai elemzés megjelenése után szoros kapcsolatot találtak a kombinatorikus és számos analitikai probléma között. Abraham de Moivre és James Stirling képleteket talált a faktoriális közelítésére . [6]

Végül a kombinatorika mint a matematika önálló ága Euler munkáiban öltött testet . Részletesen megvizsgálta például a következő kérdéseket:

• a lovagmozdulat problémája ;
• a hét híd probléma , amely elindította a gráfelméletet ;
• görög-latin terek építése ;
• általánosított permutációk .

A permutációk és kombinációk mellett Euler partíciókat , valamint feltételekkel rendelkező kombinációkat és elhelyezéseket tanulmányozott.

Modern fejlődés

A 20. század elején kezdett kialakulni a kombinatorikus geometria : Radon , Helly , Young , Blaschke tételeit, és az izoperimetriás tételt is szigorúan bebizonyították . A Borsuk-Ulam és a Lyusternik-Shnirelman tételeket a topológia, az elemzés és a kombinatorika metszéspontjában igazolták . A 20. század második negyedében felmerült a Borsuk probléma és a Nelson-Erdős-Hadwiger probléma . Az 1940-es években a Ramsey-elmélet formát öltött . A modern kombinatorika atyjának Erdős Pált tartják , aki a valószínűségi elemzést bevezette a kombinatorikába. A véges matematika és különösen a kombinatorika iránti figyelem jelentősen megnőtt a 20. század második fele óta, amikor a számítógépek megjelentek . Ma ez a matematika rendkívül gazdag és gyorsan fejlődő területe.

Lásd még

• gráfelmélet
• Játékelmélet

Jegyzetek

1. ↑ Vilenkin N. Ya., 1975 , p. 7.
2. ↑ 1 2 Amulya Kumar táska . Binomiális tétel az ókori Indiában. Archivált : 2021. augusztus 3., a Wayback Machine Indian J. History Sci., 1:68-74, 1966.
3. ↑ 1 2 Vilenkin N. Ya., 1975 , p. 9.
4. ↑ Rövid kommentár a 2Mózes 3:13-hoz.
5. ↑ Vilenkin N. Ya., 1975 , p. 19.
6. ↑ O'Connor, John; Edmund Robertson. Abraham de Moivre . A MacTutor matematikatörténeti archívuma (2004. 06.). Hozzáférés dátuma: 2010. május 31. Az eredetiből archiválva : 2012. április 27.  (határozatlan)

Irodalom

• Vilenkin N. Ya. Népszerű kombinatorika . - M. : Nauka, 1975. - 208 p.
• A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
• A 17. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
• A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
• Rybnikov K. A. Kombinatorikus elemzés. Történeti esszék. - M . : Szerk. Mekhmat, Moszkvai Állami Egyetem, 1996. - 124 p.
• Rybnikov K. A. A matematika története két kötetben. - M . : A Moszkvai Állami Egyetem kiadója, 1960-1963.