Helly tétele

Helly tétele a kombinatorikus geometria és a konvex analízis klasszikus eredménye . A tétel feltételt ad egy konvex halmazcsaládra, amely garantálja, hogy ennek a családnak van egy nem üres metszéspontja.

Formulációk

Véges családok

Tegyünk úgy, mintha

X_{1},X_{2},\pontok ,X_{n}

Az euklideszi tér konvex részhalmazainak véges családja úgy, hogy bármelyik metszéspontja nem üres. $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$

Ekkor az ebből a családból származó összes részhalmaz metszéspontja nem üres, azaz

\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset

. [egy]

Végtelen családok

A végtelen családok esetében a tömörséget is meg kell követelnünk:

Legyen tetszőleges konvex kompakt részhalmazok családja úgy, hogy bármelyik metszéspontja nem üres. Ekkor a család összes részhalmazának metszéspontja nem üres. $\{X_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $d+1$

Következmények

Young tétele: Legyen olyan véges ponthalmaz a -dimenziós euklideszi térben , amelyből bármely pont lefedhető az egységgolyóval. Ezután az egész készletet lefedheti az egységgolyó. $S$ $d$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$ $S$ $S$
Young sugara: Legyen pontok halmaza a -dimenziós euklideszi térben , átmérőjű . Ekkor létezik egy -dimenziós zárt sugarú gömb , amelyre . Ha a halmaz nem tartozik kisebb labdákhoz, akkor csúcsokat tartalmaz - egy szimplexet minden élhosszúsággal . [2] $x$ $d$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $\mathrm {diam} \,X\leqslant 2$ $d$ $B^{d}(r)$ $r={\sqrt {2d/(d+1)))$ $X\subset B^{d}(r)$ $x$ $x$ $d$ $2$
Kirschbrown tétele

Változatok és általánosítások

Legyen Hilbert - tér (nem feltétlenül szeparálható ), és zárt korlátos konvex részhalmazainak családja . Ha egy tetszőleges véges alcsalád metszéspontja nem üres, akkor az is nem üres. $H$ $X_{\alpha }$ $H$ $X_{\alpha }$ ${\displaystyle \cap _{\alpha }X_{\alpha ))$

Történelem

A tételt Eduard Helly igazolta 1913-ban, amiről elmondta Radonnak , csak 1923-ban [3] adta ki, Radon [4] és König [5] publikációi után .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Shikin E. V. Lineáris terek és leképezések. - M., Moszkvai Állami Egyetem , 1987. - p. 177
↑ Shikin E. V. Lineáris terek és leképezések. - M., Moszkvai Állami Egyetem , 1987. - p. 293
↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (hozzáférhetetlen link) , - Jber. Deutsch. Math. Verinig. 32 (1923), 175-176.
↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (elérhetetlen link) , - Math. Ann. 83 (1921), 113-115.
↑ D. König Über konvexe Körper, - Math. Z. 14 (1922), 208-220.

Irodalom

Danzer L., Grünbaum B. , Klee W. Helly tétele és alkalmazásai. - M . : Mir, 1968. - 159 p.