Laplace operátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Laplace operátor ( Laplacian , delta operátor) a sima függvények lineáris terében működő differenciáloperátor, amelyet a szimbólum jelöl . Egy funkciót egy funkcióhoz társít $\ \ Delta$ $F\$

\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2))+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2)) +\lpontok +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2))

n- dimenziós térben .

A Laplace-operátor ekvivalens a gradiens és divergencia műveletek egymás utáni felvételével : , így a Laplace-operátor értéke egy pontban értelmezhető a potenciálvektormező adott pontban lévő forrásainak (nyelőinek) sűrűségeként. A derékszögű koordinátarendszerben a Laplace-operátort gyakran a következőképpen jelölik [1] , vagyis a nabla operátor és önmaga skaláris szorzataként. A Laplace-operátor szimmetrikus . $\Delta=\operátornév{div}\,\operátornév{grad}$ $\ \operátornév{grad}F$ $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$

Laplace-operátor a vektorhoz : $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$ [2]

Egy vektor laplaciája is vektor.

A Laplace operátor másik definíciója

A Laplace-operátor egy természetes általánosítás egy változó függvényének szokásos második deriváltjának több változó függvényére . Valóban, ha egy függvénynek van egy folytonos második deriváltja a pont szomszédságában , akkor a Taylor-képletből következően $\f(x)$ $\ x_0$ $\f''(x)$

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

, _

r\ to 0,

\f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

nál nél

r\ to 0,

a második derivált a határérték

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{ 2}-f(x_0)\jobbra\}.

Ha a változók függvényére áttérve ugyanúgy járunk el, azaz egy adott pontra vesszük figyelembe annak -dimenziós gömbszomszédságát a sugár és a számtani átlag különbségét $\F$ $\ k$ $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ $\ k$ $\ Q_r$ $\r$

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

függvény egy ilyen szomszédság határán a határ területével és ennek a szomszédságnak az értékével , akkor a függvény második parciális deriváltjainak folytonossága esetén a pont szomszédságában az értéke a laplacia ezen a ponton a határ $\F$ $\ S_r$ $\ \sigma(S_r)$ $\F(M_0)$ $\M_0$ $\F$ $\M_0$ $\ \ Delta F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r }F(M)d\sigma -F(M_0) \jobbra\}.

Az előző ábrázolással egyidejűleg a folyamatos második deriváltokkal rendelkező függvény Laplace-operátorára a képlet $\F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\ int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},

hol van a környék térfogata

\\omega(Q_r)

\ Q_r.

Ez a képlet kifejezi a közvetlen kapcsolatot egy függvény laplaciája és térfogatátlaga között egy adott pont közelében.

Ezeknek a képleteknek a bizonyítása megtalálható például a [3] -ban .

A fenti határértékek minden esetben, ahol léteznek, egy függvény Laplace-operátorának definíciójaként szolgálhatnak, ez a definíció előnyösebb, mint a laplaci szokásos definíciója, amely feltételezi a vizsgált függvények második deriváltjának létezését. és egybeesik e származékok folytonossága esetén szokásos definícióval. $\F.$

A Laplace-operátor kifejezései különböző görbe vonalú koordinátarendszerekben

Tetszőleges merőleges görbe vonalú koordinátákban háromdimenziós térben : $q_1,\ q_2,\ q_3$

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operátornév{div}\,\operátornév{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\ left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

hol vannak a Sánta együtthatók .

Szia\

Hengeres koordináták

A vonalon kívüli hengeres koordinátákban : $\r=0$

\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Gömbkoordináták

Az origón kívüli gömbkoordinátákban (háromdimenziós térben):

\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} { \partial^2 f \over \partial \varphi^2}

vagy

\Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \ varphi^2}.

Ha n- dimenziós térben: $\f=f(r)$

\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Parabolikus koordináták

Parabola koordinátákban (háromdimenziós térben) az origón kívül:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left ( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\ részleges f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Hengeres parabola koordináták

Az origón kívüli parabola henger koordinátáiban:

\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2 }F}{\partial u^{2))}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2))}\right]+{\frac {\partial ^{2} F}{\részleges z^{2}}}.

Általános görbe koordináták és Riemann-terek

Legyen egy lokális koordináta-rendszer adott egy sima sokaságon , és legyen Riemann -féle metrikus tenzor -on , azaz a metrika alakja $x$ $g_{ij}$ $x$

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Jelölje a mátrix elemeivel és $g^{ij}$ $(g_{ij})^{-1}$

g = \operátornév{det} g_{ij} = (\operátornév{det} g^{ij})^{-1}

A koordinátákkal adott (és egy elsőrendű differenciáloperátort reprezentáló) vektormező divergenciáját az X sokaságon a képlet számítja ki $F$ $F^i$ $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i )

és az f függvény gradiensének összetevőit a képlet szerint

(\nabla f)^{j}=\sum _{{i=1}}^{n}g^{{ij}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.

A Laplace - Beltrami operátor a következőn: $x$

\Delta f=\operátornév {div}(\nabla f)={\frac {1}({\sqrt {g))))\sum _{{i=1))^{n}{\frac {\ részleges }{\partial x^{i))}{\Big (}{\sqrt {g))\sum _{{k=1))^{n}g^{{ik)){\frac {\ részleges f}{\részleges x^{k))}{\Big )}.

Az érték skalár, vagyis a koordináták transzformációja során nem változik. $\Delta f$

Alkalmazás

Ezzel az operátorral kényelmesen felírható a Laplace , Poisson egyenlet és a hullámegyenlet . A fizikában a Laplace-operátor alkalmazható az elektrosztatikában és az elektrodinamikában, a kvantummechanikában , a kontinuumfizika számos egyenletében , valamint a membránok, filmek vagy felületi feszültséggel fennálló határfelületek egyensúlyának tanulmányozásában (lásd Laplace-nyomás ), a stacionárius problémákban. diffúzió és hővezetés, amelyek a folytonos határban a szokásos Laplace- vagy Poisson-egyenletekre vagy azok egyes általánosításaira redukálnak.

Változatok

A D'Alembert-operátor a Laplace-operátor általánosítása hiperbolikus egyenletekhez . Tartalmazza a második derivált az idő függvényében.
A vektor Laplace operátor a Laplace operátor általánosítása vektor argumentum esetére.

Lásd még

Nabla operátor
D'Alembert operátor
Laplace-egyenlet
harmonikus funkció
Kirchhoff mátrix
V.G.Vodnev, A.F.Naumovics, N.F.Naumovics "Felsőoktatási matematikai szótár". MPI Kiadó 1984.

Jegyzetek

↑ A Laplace-operátor jelölését a nabla operátor négyzetének alakjában kerülni kell , mivel az ilyen jelölésekből nem derül ki, hogy a skalár- vagy vektorszorzatot értjük a négyzetesítés alatt.
↑ V. G. Vodnev, A. F. Naumovics, N. F. Naumovics "Matematikai szótár a felsőoktatásban". MPI Publishing House 1984. "Laplace-operátor" és "Vector field rotor" cikk.
↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Bevezetés a harmonikus függvények elméletébe. M. Science. 1968. 208. sz.

Linkek

A Laplacian MathWorld leírása archiválva 2020. június 17-én a Wayback Machine -nél

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák