Két kör gyöktengelye

Két kör gyöktengelye azoknak a pontoknak a helye, amelyek foka két adott körhöz képest egyenlő. Más szóval, egy adott ponthely bármely M pontjából két adott körre húzott négy érintő hossza egyenlő.

Két kör gyöktengelye akkor és csak akkor létezik, ha a körök nem koncentrikusak, és mind körökre, mind pontokra (nulla sugarú körök) és képzeletbeli körökre (képzetes sugár) definiálható.

A gyöktengely tulajdonságai

A gyöktengely egyenes. Mivel a pont körhöz viszonyított foka az, ahol az A, B és C együtthatókat a kör középpontjának és sugarának koordinátái alapján határozzuk meg, akkor a pont fokát két körhöz viszonyítva egyenlővé téve. köröket kapunk, és ez egy egyenes egyenlete. Ezt a tényt csak geometriai módszerekkel is igazolják. $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\balra nyíl (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
A gyöktengely merőleges a középpontok egyenesére, ami a két kör középpontvonala körüli szimmetriájából következik.
Ha P egy pont a gyöktengelyen, akkor a P pont és mindkét kör érintőinek hossza egyenlő - ez abból következik, hogy a pont foka megegyezik az érintőszakasz hosszának négyzetével. Konkrétan a gyöktengely kettévágja a közös érintők szakaszait.

Ha a körök két pontban metszik egymást, akkor a gyöktengelyük egy ezeken a pontokon áthaladó egyenes lesz, ha kívülről érintik, akkor a közös belső érintő a gyöktengely, ha belső, akkor a közös érintő (az egyetlen) .

Ha az akkordokat , illetve az első és második kört tartalmazó egyenesek a gyöktengelyen metszik egymást, akkor a négyszöget . Ezt könnyű bizonyítani: legyen a metszéspont. Egy pont fokának tulajdonsága alapján egyenlő és mivel P a gyöktengelyen fekszik, akkor egyenlő és Mivel a és a pontok ugyanazon a körön helyezkednek el. Ez fordítva is igaz: ha két kört metsz a harmadikkal úgy, hogy ez az első és a harmadik közös húrja, valamint a második és a harmadik közös húrja, akkor az AB és CD egyenesek a kör tengelyén metszik egymást. az első két kör ráadásul a három kör úgynevezett gyökközéppontjában (lásd . lent). Ezen a tulajdonságon alapul a gyöktengely felépítése iránytűvel és vonalzóval: megszerkesztünk egy kört, amely két adott adatot négy pontban metszi, majd ezek gyökközéppontjából merőlegest vetünk a középpontok egyenesére. $AB$ $CD$ $ABCD$ $P$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $ABC$ $D$ $AB$ $CD$

Három, nem kollineáris középpontú kör gyöktengelyei egy pontban metszik egymást, amelyet gyökközéppontnak nevezünk . Legyen körök és legyen a körök radikális tengelyének metszéspontja és a körök radikális tengelyével és . Ha egy pont fokszáma a körhöz képest , akkor a gyöktengely definíciója szerint és a pont a körök gyöktengelyén fekszik és ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3))$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{3))$ ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ $A$ $\omega,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3},P),$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\Omega _{3}.$
Két adott adatra merőleges körök középpontjának helye a gyöktengelyük, a közös húr kizárásával (ha van). Lásd az ábrát.

Antihomológ akkordok[ pontosítás ] két kör metszi egymást a gyöktengelyükön (nyilván két kör két pár antihomotetikus pontján áthaladó két akkordot értünk, lásd az alábbi ábrát).
Hagy egy négyszög, vonalak és metszi a , és - a . Ekkor a , és szakaszokra épített köröknek , mint az átmérőkre, van egy közös gyöktengelyük, amelyen a , , és ( Auber-Steiner-vonal ) háromszögek magasságainak metszéspontjai fekszenek . $ABCD$ $AB$ $CD$ $F$ $időszámításunk előtt$ $HIRDETÉS$ $E$ $AC$ $BD$ $EF$ $ABE$ $CDE$ $BCF$ $ADF$

Ortogonalitás

Két, derékszögben metsző kört merőlegesnek nevezünk . A körök akkor tekinthetők merőlegesnek , ha egymással derékszöget zárnak be.
Két, az A és B pontban O és O' középponttal metsző kört merőlegesnek nevezünk , ha OAO' és OBO' derékszögek . Ez a feltétel garantálja a körök közötti derékszöget . Ebben az esetben a metszéspontjukig húzott két kör sugara (normálértéke) merőleges. Ezért a metszéspontjukhoz húzott két kör érintői is merőlegesek. A kör érintője merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra (normál). Általában a görbék közötti szög a metszéspontjukban megrajzolt érintőik közötti szög.
Lehetséges még egy további feltétel. Legyen két, A és B pontban metsző körnek a C és D pontokban metsző íveinek felezőpontja , azaz az AC ív egyenlő a CB ívvel , az AD ív egyenlő a DB ívvel . Ekkor ezeket a köröket ortogonálisnak nevezzük, ha СAD és СBD derékszögek .

Következmények a gyöktengely tulajdonságaiból

Egy olyan háromszög két körének érintési pontjain átmenő egyenesen, amelynek két oldala van, ezek a körök egyenlő szakaszokat vágnak le.
Ez utóbbi a következőképpen fogalmazható meg. Ha egy háromszög 2 köre 4 érintőpontban érinti annak 2 oldalát és 2 kiterjesztését, akkor az utolsó 4 pontból mint csúcsból alkotott négyszög egyenlő szárú trapéz, amelynek két oldala egyenlő, és 2 átlója is 2 kör).
A szemközti csúcsokat összekötő körre körülírt hatszög átlói egy pontban metszik egymást ( Brianchon tétele a körre).

Linkek

A Wikimedia Commons két kör radikális tengelyéhez kapcsolódó médiát tartalmaz

Lásd még

radikális központ