Beírt kör tétel

A beírt kör tétel a japán sangakuból származik, és a következő konstrukcióra vonatkozik: egy pontból egy adott egyenesre sugarak sorozatát húzzuk úgy, hogy a szomszédos sugarak által alkotott háromszögekbe írt körök és az egyenes megegyezzenek. Az ábrán ugyanazok a kék körök határozzák meg a sugarak közötti szöget a fent leírtak szerint.

tétel állítása

A tétel kimondja, hogy a fent leírt konstrukcióval az egyen átmenő (vagyis két szomszédos háromszög egyesülésével kapott), kettőn át stb. sugarak által alkotott háromszögekbe írt körök is egyenlőek. A szomszédos háromszögek esete az ábrán zöld körökkel látható: mindegyiknek azonos a mérete.

Abból, hogy a tétel állítása nem függ a kezdeti sugár és az adott egyenes közötti szögtől, arra a következtetésre juthatunk, hogy a tétel inkább a számításról, mint a geometriáról szól, és egy folytonos léptékfüggvényhez kell kapcsolni, amely meghatározza a távolság a sugarak között. Valójában ez a függvény a hiperbolikus szinusz .

Lemma

A tétel egyenes következménye a következő lemmának .

Tegyük fel, hogy az n- edik sugárnak van egy szöge az alapvonal normáljával. Ha az egyenlőség szerint paraméterezzük , akkor azok az értékek , ahol és valós állandók , egy olyan sugársorozatot határoznak meg, amely kielégíti a bekeretezési feltételeket (lásd fent), ráadásul bármely olyan sugársorozat, amely kielégíti ezeket a feltételeket, megkapható egy a paraméterek megfelelő megválasztása és . $\gamma_n$ $\gamma_n$ ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n))$ $\theta _{n}=a+nb$ $a$ $b$ $a$ $b$

A lemma bizonyítása

Az ábrán a PS és PT vonalak szomszédos sugarak, amelyek szögei és PR egyenese merőleges az RT alapvonalra. $\gamma_n$ $\gamma _{n+1}$

Rajzolj egy QY egyenest az alapvonallal párhuzamosan a PST háromszögbe írt kör O középpontján keresztül. Ez a kör érinti a sugarakat a W és Z pontokban. A PQ szakasz hossza , a QR szakasz pedig hossza , amely megegyezik a beírt kör sugarával. $\háromszög$ $hr$ $r$

Ekkor az OWX hasonló a PQX-hez, az OZY a PQY-hoz, és az XY = XO + OY-ből kapjuk $\háromszög$ $\háromszög$ $\háromszög$ $\háromszög$

(hr)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\ sec\gamma _{n+1}).

Ez az arány a szöghalmazon kifejezi a beírt körök egyenlőségének feltételét. ${\displaystyle \{\gamma _{m}\))$

A lemma bizonyítására beállítjuk . Ez a kifejezés átalakítható -ra . $\mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)$ $\sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)$

Az egyenlőség használatával további szabályokat alkalmazunk és ellenőrizzük, hogy a körök egyenlőségének összefüggését kielégíti-e a kifejezés $a+(n+1)b=(a+nb)+b$ $\mathrm {sh} \,$ $\mathrm {ch} \,$

{\frac {r}{hr}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.

Kaptunk egy kifejezést a paraméterre a geometriai mennyiségek és . Továbbá, definiálásával megkapjuk a beírt körök sugarának kifejezését, amelyet úgy alkotunk, hogy minden egyes N -edik sugarat a háromszög oldalaiként választunk: $b$ $h$ $r$ $b$ $r_{N}$

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.

Lásd még

Irodalom

Tabov J. Megjegyzés az ötkör-tételhez // Mathematics Magazine. - 1989. - T. 63. - 2. sz. - S. 92-94.