Brahmagupta formula

Brahmagupta képlete egy körbe írt négyszög területét azoldalai hosszának függvényében fejezi ki

Ha egy beírt négyszögnek van oldalhossza és fél kerülete , akkor területét a következő képlettel fejezzük ki: $a,b,c,d$ $p={\frac {a+b+c+d}{2))$ $S$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))).

Bizonyíték

A körbe írt négyszög területe egyenlő az és a területek összegével $\triangle ABD$ $\triangle BDC$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C.

Mivel ez egy beírt négyszög, ebből az következik, hogy : $ABCD$ $\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.$ $\sin A=\sin C$

S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A

S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}.

Felírva a koszinusz tételt az oldalra , és a következőt kapjuk: $CB$ $\triangle ACB$ $\triangle BDC,$

a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C.

Használja ( és ellenkezőjét), majd tegye zárójelbe : $\cos C=-\cos A$ $A$ $C$ $2\cos A$

2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.

A kapott eredményt behelyettesítjük az előzőleg kapott területképletbe:

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4))(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^ {2})^{2}

16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

Alkalmazzuk a képletet : $x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)$

(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b ^{2}+c^{2}+d^{2})

=((a+b)^{2}-(cd)^{2})((c+d)^{2}-(ab)^{2})

=(a+b+cd)(a+b+dc)(a+c+db)(b+c+da).

A félperiméter óta $p={\frac {a+b+c+d}{2)),$

16S^{2}=16(pa)(pb)(pc)(pd).

A négyzetgyököt véve a következőt kapjuk:

S = \sqrt{(pa)(pb)(pc)(pd)}.

Változatok és általánosítások

Brahmagupta képlete általánosítja Heron képletét egy háromszög területére : elegendő feltételezni, hogy az egyik oldal hossza nullával egyenlő (például ). $d=0$
Tetszőleges négyszögek esetén Brahmagupta képlete a következőképpen általánosítható: $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$

ahol a négyszög szemközti szögeinek összegének fele. (Nem mindegy, hogy melyik szemközti szögpárt vegyük fel, mert ha az egyik szemközti szög fele összege egyenlő , akkor a másik két szög fele összege , és )

\theta

\theta

180^{\circ }-\theta

\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .

Néha ezt az általánosabb képletet így írják le:

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)))

ahol és a négyszög átlóinak hossza.

u

v

Robbins bebizonyította, hogy minden oldallal rendelkező beírt sokszög eseténaz értéknéhány polinom gyöke, amelynek együtthatói viszont polinomok az oldalak hosszában. Megtalálta ezeket a polinomokat azés. Más szerzők azt találták, hogy a polinommegválasztható úgy, hogy a vezető együtthatója eggyel legyen, a fokapedig egyenlő, haés, ha. Itt $n$ $(4S)^{2}$ $P$ $n=5$ $n=6$ $P$ $N=N(n)$ $\Delta _{k}$ $n=2k+1$ ${\displaystyle 2\Delta _{k))$ $n=2k+2$ $\Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^ {k-1}(kj){\binom {2k+1}{j)),$

ahol a binomiális együtthatók . A kis oldalszámú sokszögeknél van , , , ( A000531 sorozat az OEIS -ben ) és , , , ( A107373 sorozat az OEIS -ben ).

{\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(kj)!}}

\Delta _{1}=1

\Delta _{2}=7

\Delta _{3}=38

\Delta _{4}=187,\pontok

N(4)=2

N(5)=7

N(6)=14

N(7)=38,\pontok

Ha a Brahmagupta képletben a fél kerületet az adott négyszög minden oldalának félösszegén keresztül fejezzük ki, mindkét részt négyzetre tesszük, megszorozzuk -16-tal, nyissuk ki a zárójeleket és hozzuk a hasonlót, akkor ez a következő alakot veszi fel:

-16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{ 2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2 })-8abcd

A jobb oldal megegyezik az alábbi determináns kiterjesztésével, ha -1-gyel megszorozzuk. Ezért azt írhatjuk, hogy [1]

16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))

Létezik a Lobacsevszkij-geometria Brahmagupta-képletének egy módosítása [2]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Starikov, 2014 , p. 37-39.
↑ Mednykh A.D. A Brahmagupta-képletről a Lobacsevszkij-geometriában. Matematikai oktatás , 2012. 16. szám, 172–180. o.// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

Népszerű irodalom

A. Yu. Davidov . Elemi geometria a gimnáziumi tanfolyam kötetében . — 1863.
V. V. Prasolov . Brahmagupta képlete // Matematika az iskolában . - 1991. - 5. sz .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai Kör könyvtára).

Tudományos irodalom

V. V. Varfolomejev. Beírt sokszögek és Heron-polinomok // Math. Gyűjtemény. . - 2003. - T. 194 , 3. sz . - S. 3-24 .
Starikov V. N. Megjegyzések a geometriáról // Tudományos keresés: humanitárius és társadalmi-gazdasági tudományok: tudományos közlemények gyűjteménye / Ch. szerk. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Kiadás. 1 . - S. 37-39 .
M. Fedorchuk, I. Pak Konvex politópok merevsége és polinomiális invariánsai // : en:Duke Mathematical Journal|Duke Math. J .: folyóirat. - 2005. - 20. évf. 129. sz . 2 . - P. 371-404 . - doi : 10.1215/S0012-7094-05-12926-X .