Szögösszeg háromszög tétele

A háromszögösszegtétel egy klasszikus  tétel az euklideszi geometriában .

Megfogalmazás

Egy háromszög szögeinek összege az euklideszi síkban 180 ° . [egy]

Bizonyítás

Legyen  tetszőleges háromszög. Rajzolj egy egyenest a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC egyenessel . Jelöljünk rá egy D pontot úgy, hogy az A és D pont a BC egyenes ellentétes oldalán legyen . A DBC és ACB szögek egyenlőek a belső keresztben, amelyeket a BC szekáns alkot az AC és BD párhuzamos egyenesekkel . Ezért a háromszög B és C csúcsokban lévő szögeinek összege egyenlő az ABD szöggel . Egy háromszög mindhárom szögének összege egyenlő az ABD és BAC szögek összegével . Mivel ezek a szögek belső egyoldalúak párhuzamos AC és BD esetén az AB szakaszon , összegük 180°. Q.E.D.

Következmények

• Egy háromszögnek nem lehet két tompa vagy két derékszöge, mert akkor a szögek összege nagyobb lenne, mint 180°. Ugyanezen okból a háromszög nem tartalmazhat egyszerre tompaszöget és derékszöget.
• Minden háromszögnek van legalább két hegyesszöge. Valójában az az eset, amikor a háromszögnek csak egy hegyesszöge van, vagy egyáltalán nincsenek hegyesszögei, ellentmond az előző következménynek.
• Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz mindkét szöge hegyesszögű.
• Egy egyenlő szárú háromszögben az alapnál lévő szögek egyenlőek, így csak az alappal átellenes szög lehet tompa.
• Egy egyenlő szárú derékszögű háromszögben az alsó szögek (180° - 90°) / 2 = 45°.
• Egy egyenlő oldalú háromszögben mindhárom szög egybeesik, ezért egyenlők 180° / 3 = 60°.
• ( Háromszög külső szög tétel ) Egy háromszög külső szöge egyenlő két vele nem szomszédos belső szög összegével [2] .

Változatok és általánosítások

Sokszögek

Általánosítás az egyszerűségekért

Egy tetszőleges szimplex diéderszögei között bonyolultabb összefüggés van . Ugyanis, ha  a szimplex i és j lapjai közötti szög be van zárva, akkor a következő mátrix determinánsa (amely egy körgyűrű ) egyenlő 0-val:

Ez abból adódik, hogy ez a determináns a szimplex lapjaihoz tartozó normálisok Gram -determinánsa, míg a lineárisan függő vektorok Gram-determinánsa 0, a -dimenziós térben lévő vektorok pedig mindig lineárisan függőek.

Nem euklideszi geometriákban

A cikkben közölt bizonyítás a párhuzamos egyenesek egy bizonyos tulajdonságán alapul, nevezetesen azon az állításon, hogy a párhuzamos egyenesek belső keresztirányú szögei egyenlőek. Ennek az állításnak a bizonyítása pedig az euklideszi geometria párhuzamossági axiómáját használja. Kimutatható, hogy a háromszög szögösszegére vonatkozó tétel bármely bizonyítása a párhuzamosság axiómáját fogja használni, és fordítva - abból az állításból, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°, levezethető az axióma. a párhuzamosság, ha a klasszikus geometria fennmaradó axiómái ( abszolút geometria ) adottak [3] .

Így egy háromszög 180°-os szögösszegének egyenlősége az euklideszi geometria egyik fő jellemzője, amely megkülönbözteti a nem euklideszi geometriáktól, amelyekben a párhuzamosság axiómája nem teljesül:

• Egy gömbön a háromszög szögeinek összege mindig meghaladja a 180°-ot, a különbséget gömbtöbbletnek nevezzük, és arányos a háromszög területével. Egy gömbháromszögnek két vagy akár három derék- vagy tompaszöge lehet.

• A Lobacsevszkij-geometriában a háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180°, és tetszőlegesen kicsi is lehet. A különbség a háromszög területével is arányos.

Jegyzetek

1. ↑ Geometria Kiselev szerint Archiválva : 2021. március 1., a Wayback Machine , § 81.
2. ↑ Elemi matematika, 1976 , p. 421.
3. ↑ Lelon-Ferrand J. A geometria alapjai. - M . : Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 p. — ISBN 5-03-001008-4 .

Irodalom

• Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.