A háromszögösszegtétel egy klasszikus tétel az euklideszi geometriában .
Egy háromszög szögeinek összege az euklideszi síkban 180 ° . [egy]
Legyen tetszőleges háromszög. Rajzolj egy egyenest a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC egyenessel . Jelöljünk rá egy D pontot úgy, hogy az A és D pont a BC egyenes ellentétes oldalán legyen . A DBC és ACB szögek egyenlőek a belső keresztben, amelyeket a BC szekáns alkot az AC és BD párhuzamos egyenesekkel . Ezért a háromszög B és C csúcsokban lévő szögeinek összege egyenlő az ABD szöggel . Egy háromszög mindhárom szögének összege egyenlő az ABD és BAC szögek összegével . Mivel ezek a szögek belső egyoldalúak párhuzamos AC és BD esetén az AB szakaszon , összegük 180°. Q.E.D.
Egy tetszőleges szimplex diéderszögei között bonyolultabb összefüggés van . Ugyanis, ha a szimplex i és j lapjai közötti szög be van zárva, akkor a következő mátrix determinánsa (amely egy körgyűrű ) egyenlő 0-val:
.Ez abból adódik, hogy ez a determináns a szimplex lapjaihoz tartozó normálisok Gram -determinánsa, míg a lineárisan függő vektorok Gram-determinánsa 0, a -dimenziós térben lévő vektorok pedig mindig lineárisan függőek.
A cikkben közölt bizonyítás a párhuzamos egyenesek egy bizonyos tulajdonságán alapul, nevezetesen azon az állításon, hogy a párhuzamos egyenesek belső keresztirányú szögei egyenlőek. Ennek az állításnak a bizonyítása pedig az euklideszi geometria párhuzamossági axiómáját használja. Kimutatható, hogy a háromszög szögösszegére vonatkozó tétel bármely bizonyítása a párhuzamosság axiómáját fogja használni, és fordítva - abból az állításból, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°, levezethető az axióma. a párhuzamosság, ha a klasszikus geometria fennmaradó axiómái ( abszolút geometria ) adottak [3] .
Így egy háromszög 180°-os szögösszegének egyenlősége az euklideszi geometria egyik fő jellemzője, amely megkülönbözteti a nem euklideszi geometriáktól, amelyekben a párhuzamosság axiómája nem teljesül:
Háromszög | |
---|---|
A háromszögek típusai | |
Csodálatos vonalak egy háromszögben | |
A háromszög figyelemre méltó pontjai | |
Alaptételek | |
További tételek | |
Általánosítások |