Napóleon rámutat

A Napóleon-pontok a geometriában egy speciális pontpár egy háromszög síkján . A legenda e pontok felfedezését I. Napóleon francia császárnak tulajdonítja , de szerzősége kétséges [1] . A Napóleon-pontok a háromszög figyelemreméltó pontjai közé tartoznak, és a háromszögközéppontok enciklopédiájában X(17) és X(18) pontként szerepelnek.

A Napóleon pontok elnevezést a háromszög középpontjainak különböző párjaira is alkalmazzák, ismertebb nevén izodinamikai pontokra [2] .

Pontok meghatározása

Napóleon első pontja

Legyen ABC tetszőleges háromszög a síkban . A háromszög BC , CA , AB oldalain megszerkesztjük a DBC , ECA és FAB külső szabályos háromszögeket . Legyen ezeknek a háromszögeknek a súlypontja X , Y és Z. Ekkor az AX , BY és CZ egyenesek egy pontban metszik egymást, és ez az N1 pont az ABC háromszög első (vagy külső) Napóleon-pontja .

Az XYZ háromszöget az ABC háromszög külső Napóleon-háromszögének nevezzük . Napóleon tétele kimondja, hogy ez a háromszög szabályos .

A háromszögközéppontok enciklopédiájában Napóleon első pontja X(17)-ként van jelölve. [3]

Az N1 pont háromvonalas koordinátái :

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6} }\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{) 3}}\jobbra),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right) \jobbra)\end{igazított}}

Az N1 pont baricentrikus koordinátái :

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right), c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Napóleon második pontja

Legyen ABC tetszőleges háromszög a síkban . A háromszög BC , CA , AB oldalaira DBC , ECA és FAB belső egyenlő oldalú háromszögeket építünk . Legyen X , Y és Z ezeknek a háromszögeknek a súlypontja . Ekkor az AX , BY és CZ egyenesek egy pontban metszik egymást, és ez az N2 pont az ABC háromszög második (vagy belső) Napóleon-pontja .

Az XYZ háromszöget az ABC háromszög belső Napóleon-háromszögének nevezzük . Napóleon tétele kimondja, hogy ez a háromszög szabályos .

A Triangle Centers Encyclopedia-ban Napóleon második pontja X(18)-ként van jelölve. [3]

Az N2 pont háromvonalas koordinátái:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6))\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{ 6}}\jobbra),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi) }{3}}\jobbra),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right) \jobbra)\end{igazított}}

Az N2 pont baricentrikus koordinátái:

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right ),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Két pont, amely szorosan kapcsolódik Napóleon pontjaihoz, Fermat pontjai (X13 és X14 a Pontok enciklopédiájában). Ha az egyenlő oldalú háromszögek súlypontjait a megfelelő csúcsokkal összekötő vonalak helyett egyenlő oldalú háromszögek csúcsait az eredeti háromszög megfelelő csúcsaival összekötő vonalakat húzunk, akkor az így megszerkesztett három egyenes egy pontban metszi egymást. A metszéspontokat Fermat-pontoknak nevezzük, és F1-nek és F2-nek jelöljük. A Fermat-egyenes (azaz a két Fermat-pontot összekötő egyenes) és a Napóleon-egyenes (vagyis a két Napóleon-pontot összekötő egyenes) metszéspontja a háromszög szimmediánja (X6 pont a Központok Enciklopédiájában).

Tulajdonságok

A Kiepert hiperbola egy körülírt hiperbola, amely egy centroidon és egy ortocentrumon halad át . Ha egy háromszög oldalaira (kifelé vagy befelé) hasonló egyenlő szárú háromszögeket építünk, majd ezek csúcsait összekötjük az eredeti háromszög szemközti csúcsaival, akkor három ilyen egyenes metszi egymást egy pontban, a Kiepert-hiperbolán fekve. Ezen a hiperbolán különösen a Torricelli-pontok és a Napóleon-pontok (Cevian metszéspontok, amelyek a csúcsokat az ellentétes oldalakra épült szabályos háromszögek középpontjaival kötik össze) fekszenek [4] .

Általánosítások

A Napóleon-pontok létezésére vonatkozó eredmény többféleképpen általánosítható . A Napóleon-pontok meghatározásánál az ABC háromszög oldalaira épített egyenlő oldalú háromszögeket használtuk, majd ezeknek a háromszögeknek az X, Y és Z középpontját választottuk. Ezeket a középpontokat az ABC háromszög π/6 (30 fokos) alapszögű oldalaira épített egyenlő szárú háromszögek csúcsainak tekinthetjük . Az általánosítások más háromszögeket is figyelembe vesznek, amelyek az ABC háromszög oldalaira szerkesztve hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek, vagyis a megszerkesztett háromszögek csúcsait az eredeti háromszög megfelelő csúcsaival összekötő egyenesek egy pontban metszik egymást.

Egyenlőszárú háromszögek

Ez az általánosítás kimondja: [5]

Ha három XBC, YCA és ZAB háromszög az ABC háromszög oldalaira épül, hasonlóak , egyenlő szárúak , az eredeti háromszög oldalain lévő alapokkal, és egyenlően helyezkednek el (vagyis mindegyik kívülről épül fel, vagy mindegyik belülről építve), akkor az AX, BY és CZ egyenesek egy N pontban metszik egymást.

Ha az alapnál a közös szög , akkor a három háromszög csúcsai a következő trilineáris koordinátákkal rendelkeznek. $\theta$

$X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Az N pont háromvonalas koordinátái

(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))

Több speciális eset.

Jelentése $\theta$	Pont $N$
0	G, az ABC háromszög súlypontja (X2)
π /2 (vagy - π /2)	O, az ABC háromszög ortocentruma (X4)
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$ [6]	Spieker Center (X10)
π /4	Vecten pontok (X485)
— π/4	Vecten pontok (X486)
π /6	N1, Napóleon első pontja (X17)
- π /6	N2, második Napóleon-pont (X18)
π /3	F1, 1. Farm Point (X13)
- π /3	F2, második Fermat-pont (X14)
- A (ha A < π /2) π - A (ha A > π /2)	Vertex A
- B (ha B < π /2) π - B (ha B > π /2)	Pinnacle B
- C (ha C < π /2) π - C (ha C > π /2)	C csúcs

Ezen túlmenően, az N pontok lokusza, amikor a -π/2 és π/2 közötti háromszögek alapjában lévő szöget változtatjuk , egy hiperbola. $\theta$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0,

hol vannak a háromszög N pontjának trilineáris koordinátái . $x,y,z$

Történelem

Ezt a hiperbolát Kiepert-hiperbolának nevezik (a német matematikus , Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934 [5] tiszteletére, aki felfedezte ). Ez a hiperbola az egyetlen kúpszelet, amely áthalad az A, B, C, G és O pontokon.

Megjegyzés

A Spieker Center nagyon hasonló tulajdonsággal rendelkezik . Spieker S-középpontja az AX , BY és CZ egyenesek metszéspontja , ahol az XBC , YCA és ZAB háromszögek hasonlóak, egyenlő szárúak és egyenlő elhelyezkedésűek, kívülről az ABC háromszög oldalaira épülnek, és az alapnál azonos szöget zárnak be [ 6] . $\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$

Hasonló háromszögek

Ahhoz, hogy a három AX, BY és CZ egyenes egy pontban metszi egymást, az ABC háromszög oldalaira épített XBC, YCA és ZAB háromszögeknek nem kell egyenlő szárúaknak lenniük [7] .

Ha az XBC, AYC és ABZ hasonló háromszögeket kívülről építjük fel egy tetszőleges ABC háromszög oldalaira, akkor az AX, BY és CZ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Önkényes háromszögek

Az AX, BY és CZ egyenesek gyengébb körülmények között is egy pontban metszik egymást. A következő feltétel az egyik legáltalánosabb feltétele annak, hogy az AX, BY és CZ egyenesek egy pontban metsszék egymást [7] .

Ha az XBC, YCA és ZAB háromszögeket kívülről építjük fel az ABC háromszög oldalaira úgy, hogy ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY, akkor az AX, BY és CZ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Napóleon pontjainak felfedezéséről

Coxeter és Greitzer a következőképpen fogalmazza meg Napóleon tételét: Ha bármely háromszög oldalaira kívülről egyenlő oldalú háromszögeket építünk, akkor ezek középpontja egyenlő oldalú háromszöget alkot . Észreveszik, hogy Bonaparte Napóleon kissé matematikus volt, és nagy érdeklődést mutatott a geometria iránt, de kételkednek abban, hogy eléggé képzett volt a geometriában ahhoz, hogy felfedezze a neki tulajdonított tételt [1] .

A legkorábbi fennmaradt, pöttyös kiadvány egy cikk az éves "A hölgyek naplójában" (Nők naplója, 1704-1841) az 1825-ös számban. A tétel egy W. Resenford által küldött kérdésre adott válasz része volt, de ez a kiadvány nem említi Napóleont.

Christoph J. Scriba német matematikatörténész 1981-ben a Historia Mathematica folyóiratban [8] tette közzé kutatását a Napóleon pontozásának kérdéséről .

Lásd még

Van Obel tétele
Point Farm
A Vecten-pontok egy háromszög-középpont-pár, amely a Napóleon-pontokhoz hasonlóan épül fel, egyenlő oldalú háromszögek helyett négyzetekkel.

Jegyzetek

↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , p. 61–64.
↑ Rigby, 1988 , p. 129–146.
↑ 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers . Letöltve: 2012. május 2. (határozatlan)
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Eddy, Fritsch, 1994 , p. 188–205.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ 1 2 de Villiers, 2009 , p. 138–140.
↑ Scriba, 1981 , p. 458–459.

Irodalom

JF Rigby . Napóleon újralátogatta // Journal of Geometry. - 1988. - T. 33 , sz. 1-2 . - S. 129-146 . - doi : 10.1007/BF01230612 .
Ludwig Kiepert kúpjai: Átfogó lecke a háromszög geometriájából // Mathematics Magazine. - 1994. - T. 67. június , sz. 3 . - doi : 10.2307/2690610 .
Michael de Villiers. Néhány kaland az euklideszi geometriában. - Dinamikus matematika tanulás, 2009. - ISBN 9780557102952 .
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Geometry Revisited. - Mathematical Association of America, 1967. Fordította : G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Új találkozások a geometriával. - Moszkva: "Nauka", 1978. - (Matematikai Kör könyvtára).
Christoph J Scriba. Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? // Historia Mathematica. - 1981. - T. 8 , sz. 4 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
Stachel, Hellmuth. Napóleon tétele és általánosításai lineáris térképekkel // Contributions to Algebra and Geometry : Journal. - 2002. - 20. évf. 43 , sz. 2 . - P. 433-444 .
Grünbaum, Branko . A "Napóleon-tétel" rokona (neopr.) // Geombinatorika . - 2001. - T. 10 . - S. 116-121 .
Katrien Vandermeulen és mtsai. Napóleon, matematikus? (nem elérhető link) . Matek Európának. Letöltve: 2012. április 25. Az eredetiből archiválva : 2012. augusztus 30.. (határozatlan)
Bogomolnij, Sándor Napóleon tétele . Vágd le a csomót! Interaktív oszlop Java kisalkalmazásokat használva. Hozzáférés időpontja: 2012. április 25. (határozatlan)
Napóleon Thm és a Napóleon-pontok (elérhetetlen link) . Letöltve: 2012. április 24. Az eredetiből archiválva : 2012. január 21.. (határozatlan)
Weisstein, Eric W. Napoleon Points . A MathWorldből – egy Wolfram webes forrásból. Letöltve: 2012. április 24. (határozatlan)
Philip LaFleur Napóleon tétele . Letöltve: 2012. április 24. Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 7.. (határozatlan)
Wetzel, John E. Converses of Napoleon's Theorem (1992. április). Letöltve: 2012. április 24. Az eredetiből archiválva : 2014. április 29.. (határozatlan)