Barycenter

A matematikában egy kétdimenziós ábra barycenterje vagy geometriai középpontja az adott ábra összes pontjának számtani középpontja. A definíció kiterjed az n - dimenziós tér bármely objektumára . A baricentrum sugárvektorát háromdimenziós esetben a következőképpen számítjuk ki

{\vec {r}}_{b}=V^{-1}\int _{V}{\vec {r}}dV

ahol az integráció a test térfogata felett történik. A barycenter másik neve ebben az értelemben a centroid.

Informálisan a geometriai baricentrum egy kartonból kivágott alak egyensúlyi pontja , feltételezve, hogy a kartonnak állandó a sűrűsége és a külső gravitációs tér egyenletes.

A fizikában a "barycenter" kifejezés a " tömegközéppont " fogalmának szinonimája , amelyet főként az űrmechanikai problémákban használnak. Egy objektum tömegközéppontja az összes pontjának számtani átlaga, figyelembe véve a helyi tömegsűrűséget . Állandó sűrűségű fizikai tárgyaknál a tömegközéppont egybeesik egy azonos alakú alak baricentrumával.

Az alábbiakban a baricentrumot matematikai (geometriai) értelemben tekintjük; a fizikában a baricentrumról lásd a Tömegközéppont című cikket .

Tulajdonságok

A konvex objektum geometriai baricentruma mindig az objektumon belül van. Egy nem konvex objektumnak lehet baricentruma az ábrán kívül. Például egy gyűrű vagy tál baricentruma az ábrán kívül van.

Ha a baricentrum ismert, akkor ez az ábra izometria szimmetriacsoportjának fix pontja . Egy objektum baricentruma az összes szimmetriasíkjának metszéspontjában található . Számos alakzat baricentruma ( szabályos sokszög , szabályos poliéder , henger , téglalap , rombusz , kör , gömb , ellipszis , ellipszoid , szuperellipszis , szuperellipszoid stb.) kizárólag ezen elv alapján található meg.

Konkrétan egy háromszög baricentruma a mediánjainak metszéspontja (lásd az ábrát ). A paralelogramma baricentruma az átlóinak metszéspontja , de ez más négyszögekre nem igaz .

Egy transzlációs szimmetriájú objektum baricentruma nincs definiálva (vagy kívül esik az ábra terén), mivel az eltolódásnak nincs fix pontja.

Háromszög Centroid

A háromszög baricentrumát centroidnak nevezik, és három medián metszéspontjában fekszik, és az Euler -egyenesen is fekszik (más kulcspontokon áthaladva, beleértve az ortocentrumot és a körülírt kör középpontját ) [1] [2] .

Ha egyenlő tömegeket helyezünk el a háromszög csúcsaiban, akkor a kapott rendszer tömegközéppontja (baricentruma) egybeesik a súlyponttal. Sőt, az egyenletesen elosztott tömegű háromszög tömegközéppontja is a súlypontban található.
- Különösen, ha egy háromszög súlypontja, akkor bármelyik pontra igaz, hogy $M$ $ABC$ $O$ ${\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})$ .

Legyen tetszőleges pontja a síkon, amely egy csúcsú háromszöget tartalmaz , és ; és legyen ennek a háromszögnek a súlypontja, akkor a háromszög három csúcsától mért távolságok összege egyenlő a súlypont és a háromszög csúcsai közötti távolság négyzetének összegével plusz a távolság négyzetének háromszorosával és között : $M$ $A$ $B$ $C$ $G$ $M$ $G$ $M$ $G$

MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3MG^{2}

[3] .

A háromszög oldalai négyzetösszege egyenlő a súlyponttól a háromszög csúcsaitól mért távolság négyzetösszegének háromszorosával:

AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})

[3] .

A háromszög oldalainak tömegközéppontja egybeesik a további háromszög beírt körének középpontjával (egy olyan háromszög, amelynek csúcsai ennek a háromszögnek a felezőpontjaiban helyezkednek el). Ezt a pontot Spieker középpontjának nevezik . Ha a háromszög oldalai azonos keresztmetszetű vékony huzalból készülnek, akkor a kapott rendszer tömegközéppontja (baricentruma) egybeesik a további háromszög középpontjával vagy a Spiker középpontjával .
Lásd alább a háromszög súlypontjának egyéb tulajdonságait .

Egy háromszög súlypontjának minimummax tulajdonságai

A háromszög középpontjainak súlypontja vagy metszéspontja a háromszög egyetlen olyan pontja, ahol a rajta áthúzott három cevian hat részre osztja a háromszög oldalait a végeikkel együtt. Ebben az esetben e hat szegmens közül három, amelyeknek nincs közös vége, hosszának szorzata maximum [4] .
Három medián súlypontja vagy metszéspontja az a pont, amelyre a háromszög csúcsaihoz mért távolságok négyzetének összege a legkisebb értéket kapja ( Leibniz-tétel ).

Négy pont középpontja (négyszög csúcsa)

Egy tetszőleges négyszög csúcsainak súlypontja ( barycenter vagy tömegközéppont ) 3 szegmens metszéspontjában fekszik: az 1. szegmens az átlók felezőpontjait köti össze, a másik kettő pedig az ellenkező oldalak felezőpontjait. A metszéspont mindhárom szakaszt felezi.

Négy szegmens, amelyek mindegyike összeköti a négyszög csúcsát a háromszög fennmaradó három csúcsa által alkotott súlypontjával, egy pontban metszi egymást (a négyszög csúcsainak súlypontja), és 3:1 arányban osztja el, a csúcstól számítva.

A négyszög csúcsainak tömegközéppontja nem kell, hogy egybeessen magának a négyszögnek, mint lapos alaknak a tömegközéppontjával.

A barycenter helyének meghatározása

Homogén lapos alak baricentruma helyének meghatározása függővonal módszerrel

Egy homogén sík alakzat baricentruma, mint például az ábra (a) ábrája , kísérleti úton megkereshető függővel és tűvel úgy, hogy megtaláljuk egy azonos alakú, egyenletes sűrűségű vékony lemez tömegközéppontját. A lemezt a kerületéhez közel behelyezett csap tartja, hogy a lemez szabadon foroghasson. A lemezen egy egyenest jelölünk, amelyet egy csaphoz (b) rögzített függővonal alkot. Tegye ugyanezt a csap másik helyzetével. Két egyenes metszéspontja adja a baricentrumot (c).

Ez a módszer (elméletileg) kiterjeszthető homorú alakzatokra, amikor a baricentrum rajtuk kívül van, valamint (állandó sűrűségű) testekre, de a függővonal helyzetét más módon kell megjelölni.

Konvex kétdimenziós ábra baricentruma helyének meghatározása kiegyenlítő módszerrel

Egy konvex 2D-s ábra baricentruma egy kisebb figurán, például egy keskeny henger tetején egyensúlyozva található meg. A baricentrum valahol ezen alakok érintkezési területén belül lesz. Elvileg a henger átmérőjének egymás utáni csökkentésével tetszőleges pontossággal meghatározható a baricentrum helye. A gyakorlatban a légáramok ezt lehetetlenné teszik, de a kiegyenlítő területek átfedésével és az átlagolással elérheti a kívánt pontosságot.

A barycenter helyének meghatározása véges ponthalmazhoz

Egy véges ponthalmaz baricentrumát a képlet határozza meg ${k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k))$ $\mathbb {R} ^{n}$

\mathbf {G} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}

[5] .

A kapott pont olyan, hogy a közte és a halmaz pontjai közötti távolság négyzetének összege minimális. ${\mathbf {G}}$

A barycenter helyének meghatározása geometriai kiterjesztéssel

Egy lapos alakzat baricentruma kiszámítható úgy, hogy véges számú egyszerűbb alakra osztjuk , megkeressük az egyes részek baricentrumainak és területeinek helyzetét , majd kiszámítjuk $x$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))$ $GI}$ $A_{i}$

G_{x}={\frac {\sum G_{i_{x}}A_{i}}{\sum A_{i}}},G_{y}={\frac {\sum G_{i_ {y}}A_{i}}{\sum A_{i}}}.

Az ábrán lévő lyukak, az átfedő részek vagy az ábrán túlnyúló részek negatív területfiguráknak tekinthetők . Ugyanis a terület jelét úgy kell megválasztani, hogy az összes pontot tartalmazó rész előjeleinek összege egyenlő legyen 1-gyel, ha a területhez tartozik , és 0-val. $x$ $A_{i}$ $A_{i}$ $A_{i}$ $p$ $p$ $x$

Például az ábra (a) ábrája könnyen osztható pozitív előjelű négyzetre és háromszögre, negatív előjelű kerek lyukra (b).

Az egyes részek baricentruma könnyen megtalálható az egyszerű figurák baricentrumainak bármely listájában (c). Ezután az ábra baricentrumát három pont súlyozott átlagaként számítjuk ki. A barycenter vízszintes helyzete az ábra bal szélétől számítva a

x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2))10^{2}-3\times \pi 2,5^{2)){10 ^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2,5^{2}}}\kb. 8,5.

A függőleges helyzet kiszámítása hasonló módon történik.

Ugyanez a képlet minden háromdimenziós objektumra alkalmazható, csak a testrészek térfogata van már feltüntetve , a területek nem. A képlet tetszőleges méretű térre is igaz, ha a területet az alkatrészek -dimenziós mértékei helyettesítik . $A_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d$ $d$

A barycenter helyének meghatározása integrációval

Az X tér részhalmazának baricentruma kiszámítható az integrál segítségével $\mathbb {R} ^{n}$

G={\frac {\int xg(x)\;dx}{\int g(x)\;dx)),

ahol az integrációt a teljes téren végrehajtjuk , és g a részhalmaz jellemző függvénye , X -en belül 1 -et és azon kívül 0-t véve [6] . Figyeljük meg, hogy a nevező egyenlő az X halmaz mértékével . A képlet nem alkalmazható nulla mértékek halmazára, valamint olyan halmazokra, amelyeknél az integrál eltér . $\mathbb {R} ^{n}$

Egy másik képlet a baricentrum koordináták kiszámításához:

G_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\;dz}{\int S_{k}(z)\;dz)),

ahol G k a G k- adik koordinátája , és S k ( z ) az X és az x k = z egyenlet által meghatározott hipersík metszéspontja . A nevező ismét az X halmaz mértéke .

Lapos alaknál a baricentrum koordinátái a következők lesznek

G_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\;dx}{A));

G_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\;dy}{A)),

ahol A az X ábra területe , S y ( x ) az [ ismeretlen kifejezés ] X metszéspontja az x abszcissza függőleges vonallal , S x ( y ) ugyanaz az érték , amikor a tengelyek kicserélődnek.

A baricentrum helyének meghatározása folytonos függvények grafikonjai által határolt régióhoz

A folytonos függvények grafikonjai által határolt tartomány bariközéppontjának koordinátáit a , intervallumon a kifejezések adják meg $({\bar {x)),\;{\bar {y)))$ $f$ $g$ $f(x)\geq g(x)$ $[a,b]$ $a\leq x\leq b$

{\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x\left[f(x)-g(x)\right]\;dx

[6] .

{\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)+g(x)}{2 }}\jobbra]\balra[f(x)-g(x)\jobbra]\;dx,

[7]

ahol a régió területe (a képlettel számítva ) [8] [9] . $A$ $\int _{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\;dx$

Egy L alakú objektum barycenterének megkeresése

Módszer egy L betű alakú alak baricentrumának megtalálására.

Az ábra két téglalapra van osztva (lásd a (2) ábrát az ábrán ). Keresse meg ennek a két téglalapnak az A és B baricentrumát az átlók metszéspontjaként. Rajzolja meg a baricentrumokat összekötő AB szakaszt. Az ábra baricentrumának ezen az AB szakaszon kell feküdnie.
Oszd fel az ábrát két téglalapra eltérő módon (lásd a (3) ábrát az ábrán ). Keresse meg ennek a két téglalapnak a C és D baricentrumát! A barycentereket összekötő CD szegmens rajzolódik ki. Az ábra baricentrumának a CD szegmensen kell lennie.
Mivel a baricentrumnak mind az AB szakaszon, mind a CD szakaszon kell feküdnie, nyilvánvaló, hogy ez a két szakasz metszéspontja - az O pont. Az O pontnak nem kell az ábrán belül lennie.

A háromszög és a tetraéder baricentrumai

A háromszög baricentruma egybeesik a mediánok metszéspontjával . A baricentrum az egyes mediánokat 2:1 arányban osztja fel , vagyis a baricentrum ⅓ távolságra van az oldaltól a szemközti csúcsig (lásd az ábrát ). Descartes - koordinátái a három csúcs koordinátáinak átlagai . Vagyis ha a háromszög csúcsai , és , akkor a baricentrum koordinátáit a képlet számítja ki $a=(x_{a},y_{a})$ $b=(x_{b},y_{b})$ $c=(x_{c},y_{c})$

G={\frac {1}{3}}(a+b+c)=\left({\frac {1}{3}}(x_{a}+x_{b}+x_{c }),{\frac {1}{3}}(y_{a}+y_{b}+y_{c})\right)

Így a baricentrumnak baricentrikus koordinátái vannak . ${\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}$

Trilineáris koordinátákban a baricentrum az ekvivalens módok egyikével kapható meg [10] :

G={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C

=\cos A+\cos B\cdot \cos C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B

=\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.

A baricentrum fizikailag is egy homogén lemezanyagból készült háromszög tömegközéppontja, és akkor is, ha az összes tömeg a csúcsokra koncentrálódik és egyenlően oszlik el közöttük. Ha a tömeg egyenletesen oszlik el a kerület mentén, akkor a tömegközéppont a Spieker- pontban ( a középső háromszög középpontjában ) található, ami (általános esetben) nem esik egybe a teljes háromszög súlypontjával.

Egy háromszög területe bármely oldal hosszának 3/2-e, megszorozva a súlypont és az oldal közötti távolsággal [11] .

Egy háromszög súlypontja az Euler-vonalon fekszik az ortocentruma és a körülírt kör középpontja között , pontosan kétszer olyan közel a másodikhoz, mint az elsőhöz: $H$ $O$

GH=2GO

A kilenc pont közepére és középpontjára vonatkozóan is megvan $én$ $N$

GH=4GN

GO=2GN

IG<HG

IH<HG

IG<IO

A tetraéder hasonló tulajdonságokkal rendelkezik - baricentruma a csúcsokat összekötő szegmensek metszéspontja az ellentétes oldalak baricentrumaival. Ezeket a szegmenseket a baricentrum 3:1 arányban osztja el. Az eredmény bármely dimenziós szimplexre általánosítható . Ha a szimplex csúcsait jelöljük , és a csúcsokat vektoroknak tekintjük , akkor a súlypont egyenlő $n$ $v_{0},\ldots ,v_{n}$

G={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}

A geometriai baricentrum egybeesik a tömegközépponttal, ha a tömeg egyenletesen oszlik el a szimplexben, vagy a csúcsokban egyenlő tömegként koncentrálódik. $n$

Egy háromszög súlypontjának izogonális konjugációja a szimmediánjainak metszéspontja .

A tetraéder baricentruma

A tetraéder olyan szilárd test a 3D térben , amelynek négy háromszög lapja van. A tetraéder csúcsát a szemközti lap baricentrumával összekötő szakaszt mediánnak , a két szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt pedig bimediánnak nevezzük . Így négy medián és két bimedián van. Ez a hat szakasz a tetraéder baricentrumában metszi egymást [12] . A tetraéder baricentruma félúton van a Monge-pont és a körülírt gömb közepe között . Ezek a pontok határozzák meg a tetraéder Euler-vonalát , amely analóg a háromszög Euler-vonalával.

Egy sokszög baricentruma

A , , , csúcsok által meghatározott öndiszjunkt zárt sokszög baricentruma az a pont , ahol $n$ $(x_{0},y_{0})$ $(x_{1},y_{1})$ $\ldots$ $(x_{n-1},y_{n-1})$ $(G_{x},G_{y})$

G_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

;

G_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

és hol van az (előjeles) sokszög területe: $A$

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i })

[13] .

Ez a képlet feltételezi, hogy a csúcsok a sokszög kerülete mentén vannak számozva. Ezenkívül a csúcsot azonosnak tekintjük a . Figyeljük meg, hogy ha a pontokat az óramutató járásával megegyező irányban számozzuk, akkor a fent kiszámított terület negatív lesz, de a baricentrum koordináták ezt korrigálni fogják. $(x_{n},y_{n})$ $(x_{0},y_{0})$ $A$

Egy kúp és egy piramis baricentrumai

A kúp vagy gúla baricentruma azon a szakaszon található, amely összeköti a test tetejét az alap baricentrumával. Egy egész kúp vagy piramis esetében a barycenter az alaptól a tetejéig 1/4. A kúp vagy gúla felületén (belső és alap nélküli oldalfelület) a súlypont az alaptól a csúcsig terjedő távolság 1/3-a.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Altshiller-Court, 1925 , p. 101.
↑ Kay, 1969 , p. 18.189.225–226.
↑ 1 2 Altshiller-Court, 1925 , p. 70–71.
↑ Zetel, 1962 .
↑ Protter, Morrey, 1970 , p. 520.
↑ 1 2 Protter, Morrey, 1970 , p. 526.
↑ Protter, Morrey, 1970 , p. 527.
↑ Protter, Morrey, 1970 .
↑ Larson, Hostetler, Edwards, 1998 , p. 458–460.
↑ Encyclopedia of Triangle Centers archiválva : 2012. április 19., a Wayback Machine , Clark Kimberling. A súlypont X(2)-ként van indexelve.
↑ Johnson, 2007 , p. 173.
↑ Kam-tim, Suk-nam, 1994 , p. 53–54.
↑ Bourke, 1997 .

Irodalom

Zetel, S. I. Új háromszöggeometria. Útmutató tanároknak. - 2. kiadás /. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12.
Leung Kam-tim, Suen Suk-nam. Vektorok, mátrixok és geometria. – Hong Kong University Press, 1994.

Nathan Altshiller-Court. Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. — 2. – New York: Barnes & Noble , 1925.
Paul Burke. Sokszög területének és súlypontjának kiszámítása. – 1997.
Roger A. Johnson. Fejlett euklideszi geometria. – Dover , 2007.
David C Kay. Főiskolai geometria . – New York: Holt, Rinehart és Winston , 1969.
Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. Egyváltozós számítás . — 6. - Houghton Mifflin Company , 1998.
Murray H. Protter, Charles B. Morrey Jr. College Calculus analitikus geometriával. — 2. — Olvasmány: Addison-Wesley , 1970.

Linkek

A Centroid jellemző tulajdonsága a csomópontnál
Baricentrikus koordináták a csomópontnál
Interaktív animációk, amelyek a háromszög középpontját és a Centroid szerkezetet mutatják iránytűvel és egyenes éllel
Egy háromszög mediánjának és súlypontjának kísérleti megkeresése a Dynamic Geometry Sketches segítségével, egy interaktív dinamikus geometriai vázlaton a Hamupipőke gravitációs szimulátorával.

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai