Középső háromszög

A medián háromszög (középháromszög vagy komplementer háromszög is ) egy adott háromszög oldalainak felezőpontjaira épülő háromszög, a mediánsokszög speciális esete .

Tulajdonságok

A középső háromszög tekinthető az eredeti háromszög képének, homotitás mellett , középpontjában a −1 tényezővel. Így a középső háromszög hasonló az eredetihez, és ugyanaz a súlypontja és mediánja , mint az eredeti háromszögnek . Ebből az is következik, hogy a középső háromszög kerülete egyenlő a háromszög fél kerületével , területe pedig egyenlő a háromszög területének negyedével . Ezenkívül a négy háromszög, amelyekre az eredeti háromszöget a középső háromszög osztja , három oldala egyenlő , tehát területük egyenlő, és az eredeti háromszög területének negyedét teszik ki [1] . Ebben a tekintetben néha mind a négy egyenlő belső háromszöget, amelyet egy adott háromszögből három középvonal rajzolásával kapunk, néha "középsőnek" nevezik (a leghagyományosabb terminológiában csak az egyiket nevezik középsőnek - a központinak). $\háromszög ABC$ $\háromszög ABC$ $\háromszög ABC$ $\háromszög ABC$

A középső háromszög ortocentruma egybeesik az adott háromszög körülírt körének középpontjával , ez a tény biztosítja annak bizonyítását, hogy a körülírt kör középpontja, a súlypont és az ortocentrum ugyanazon az egyenesen - az Euler-vonalon - fekszik . $\háromszög ABC$

A középső háromszög a körülírt kör középpontjának részháromszöge. A kilenc pontból álló kör a középső háromszögre van leírva, ezért kilenc pont középpontja a középső háromszög körüli körülírt kör középpontja A középső háromszög Nagel -pontja az eredeti háromszög beírt körének középpontja [ 2] .

A középső háromszög egyenlő egy háromszöggel, amelynek csúcsai az ortocentrumot és annak csúcsait összekötő szakaszok felezőpontjai ( Euler-háromszög ) [3] .

A háromszög beírt körének középpontja a középső háromszögben található [4] . A háromszögön belüli pont akkor és csak akkor a háromszögbe írt ellipszis középpontja , ha ez a pont a középső háromszögen belül van [5] . A középső háromszög az egyetlen olyan beírt háromszög, amelyre a másik három háromszög egyikének területe sem kisebb, mint ennek a háromszögnek a területe [6] . Egy adott háromszög középső háromszögébe írt kör középpontja a háromszög kerületének tömegközéppontja ( Spieker 's center ), ez a középpont a háromszögnek megfelelő egységes huzalfigura súlypontja. $\háromszög ABC$

A háromszög ℓ egyenesének P ortopólusa három olyan kör gyökközéppontja , amelyek érintik az ℓ egyenest, és középpontjuk az adott háromszöghez képest az antikomplementer háromszög csúcsaiban van . [7]

Egy adott háromszög középpontja annak a háromszögnek a Nagel-pontja, amelyet a három középpontja alkot ( háromszög középpontja ). [nyolc]

Koordináták

Legyen a háromszög oldalainak hossza . A középső háromszög csúcsainak trilineáris koordinátáit a következő képletek adják meg: $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\háromszög ABC$

$X=0:1/b:1/c$
$Y=1/a:0:1/c$
$Z=1/a:1/b:0$

Antimediánus háromszög

Ha egy mediális háromszög , akkor egy anti- medián háromszög ( antikomplementer ) esetén . A for antikomplementer háromszöget három, az oldalakkal párhuzamos egyenes alkotja - párhuzamosan a ponton , párhuzamosan a ponttal és párhuzamosan a ponttal . $\triangle XYZ$ $\háromszög ABC$ $\háromszög ABC$ $\triangle XYZ$ $\háromszög ABC$ $\háromszög ABC$ $AB$ $C$ $AC$ $B$ $időszámításunk előtt$ $A$

Az antiközép háromszög csúcsainak trilineáris koordinátáit a következő képletek adják meg: $\triangle X'Y'Z'$

$X'=-1/a:1/b:1/c$
$Y'=1/a:-1/b:1/c$
$Z'=1/a:1/b:-1/c$

Jegyzetek

↑ Posamentier, Lehmann, 2012 , p. 177.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 161, 337. tétel.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 103,#206;108,#1.
↑ Franzsen, 2011 , p. 233, 1. lemma.
↑ Chakerian, 1979 , p. 139. 7. fejezet.
↑ Torrejon, 2005 , p. 137.
↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. (Paragrafus: G. Az ortopólus. Gyakorlatok. 6. tétel 291. o.). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Honsberger, R. . Epizódok a tizenkilencedik és huszadik századi euklideszi geometriában. Washington, DC: Matek. Assoc. amer. 1995. 51. o., b. pont// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303

Irodalom

Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. A háromszögek titkai. – Prometheus Books, 2012.
William N. Franzsen. A távolság a központtól az Euler-vonalig // Forum Geometricorum. - 2011. - Kiadás. 11 .
Nathan Altshiller-Court. Főiskolai geometria. – Dover Publications, 2007.
GD Chakerian. Matematikai szilva / R. Honsberger. – Washington, DC: Amerikai Matematikai Szövetség, 1979.
Ricardo M. Torrejon. Erdos feliratú háromszög egyenlőtlenségen // Forum Geometricorum. - 2005. - Kiadás. 5 .
Zetel S.I. Új háromszöggeometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 p.

Linkek

Weisstein , Eric W. Mediális háromszög a Wolfram MathWorldnél .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .