Ortopólus

Az ABC háromszögből és a ℓ egyenesből álló rendszer ortopólusa (a jobb oldali ábrán ez az ℓ egyenes az A  ′ C  ′ egyenesnek felel meg ) az adott síkban az alábbiak szerint meghatározott pont. [1] . Legyen A  ′, B  ′, C  ′ az A , B , C háromszög csúcsaiból induló ℓ egyenesre húzott merőlegesek alapjai . Legyen A  ′′, B  ′′, C  ′′ a megadott háromszög megfelelő szemközti A , B , C oldalaira vagy ezen oldalak kiterjesztésére húzott merőlegesek alapjai. Ezután három egyenes A  ′  A  ′′, B  ′  B  ′′, C  ′  C  ′′ metszi egymást egy pontban – a H ortopólusban . [2] Számos tulajdonságuk miatt [3] az ortopólusok komoly kutatások tárgyává váltak [4] . Tanulmányoztam néhány kulcsfogalmat - az adott ortopólusú vonalak [5] és az ortopólus körök meghatározását. [6]

Tulajdonságok

Megjegyzés

Az alábbi szövegben mindenhol a P ortopólus felel meg a 1. ábrán látható H ortopólusnak . a jobb oldalon, és a P ortopólus ℓ egyenese ugyanabban az ábrán. az A  ′ C  ′ egyenesnek felel meg .

Ortopólus és ortocentrum

• Ha áthalad a háromszög Q ortocentrumán , akkor az ortopólust az ortocentrummal összekötő PQ szakasz folytatásán, a másik oldalon PQ -val egyenlő távolságban található pont ennek a háromszögnek az Euler-körén fekszik . [7]
• A háromszög Q ortocentruma az oldalainak a háromszöghöz viszonyított ortopólusa. [nyolc]

Az ortopólus mint radikális központ

• A háromszög ℓ egyenesének P ortopólusa három olyan kör gyökközéppontja, amelyek érintik az ℓ egyenest, és középpontjuk az adott háromszöghez képest az antikomplementer háromszög csúcsaiban van . [9]

Ortopólus és körülírt kör

• Ha az ortopólus ℓ egyenese átmegy a háromszög körülírt körének középpontján , akkor maga az ortopólus a háromszög Euler-körén fekszik . [3] [10]
• Az utolsó tulajdonságból következik, hogy egy adott háromszögre a pontok lokusza - a háromszög körülírt körének középpontján átmenő összes ℓ egyenes P ortopólusa ennek a háromszögnek az Euler-köre .
• Ha az ortopólus ℓ egyenese két P és Q pontban metszi a háromszög körülírt körvonalát, akkor maga az ortopólus az utolsó két P és Q pont két Simson-egyenesének metszéspontjában van. [tizenegy]
• Egy adott háromszög esetében a pontok lokusza - a háromszög körülírt körén fekvő fix ponton átmenő összes ℓ egyenes P ortopólusa egy egyenes (szakasz).

Orthopole és Simson vonala

• Ha az ortopólus Simson egyenesén fekszik , akkor a ℓ egyenese merőleges rá. [3]
• Ha az ortopólus ℓ egyenese a P pont Simson-vonala , akkor a P pontot a Simson-egyenes ℓ pólusának nevezzük [3]

Párhuzamos egyenesek ortopólusai

• Ha az ortopólus ℓ egyenese önmagával párhuzamosan mozog, akkor az ortopólusa az ℓ -re merőleges egyenes mentén az elmozdulással megegyező távolságra mozog. [3]
• Két párhuzamos egyenes ortopólusai a két egyenesre közös merőlegesen helyezkednek el, az egyenesek közötti távolsággal egyenlő távolságra. [12]

Négyszög csúcsainak hármasainak ortopólusai

Ha adott egy rögzített egyenes ℓ , és a négyszög három csúcsa közül bármelyiket választjuk, akkor az adott ℓ egyenes összes ortopólusa az összes ilyen háromszöghez képest ugyanazon az egyenesen fekszik. Ezt az egyenest az adott ℓ egyenes ortopoláris egyenesének nevezzük a négyszöghez képest. [13]

Az ortopólusok által generált kúp (ellipszis)

• Ismeretes (lásd [14] [15] ), hogy egy adott fix ponton átmenő összes egyenes összes ortopólusának megállapítása egy kúpot generál, amely az adott háromszög Steiner - deltoidjának 3 pontjában mindig ellipszis érintője. . A kúp egyenessé (szakaszsá) degenerálódik, ha a pont a háromszög körülírt körén van . Ez a kúp általánosítja a [16] -ban tárgyalt tulajdonságot , miszerint a háromszög körülírt körének középpontjával egybeeső pont esetén a kúpból lesz Euler-kör [17].
• Megjegyzés . Ebben a cikkben az "Ortopólus és a körülírt kör " bekezdésben a fent említett tulajdonság így hangzik:

Feuerbach ortopólusként mutat

Az angol szakirodalomban 4 kör 4 középpontját: 1 beírt és 3 középpontos excirclet, amelyek a háromszög 3 különböző oldalát érintik, vagy azok kiterjesztését, a háromszög 4 háromszögközéppontjának ( a tritangens középpontoknak ) nevezik [19] . Ez a megjegyzés fontos a következő állítás szempontjából.

Egy háromszög Feuerbach-pontjai ennek a háromszögnek az ortopólusai, ha a megfelelő három érintő középpontokon átmenő körülírt kör átmérőit vesszük az ortopólusok ℓ egyeneseinek [20] . Az utolsó állítás az alább jelzett állítás következménye.

Egy adott beírt vagy körbeírt Feuerbach-pont (három érintő kör - angolul "a tritangens kör") 2 Simson -egyenes metszéspontja, amelyek a körülírt kör átmérőjének a beírt megfelelő középpontján átmenő végeire épülnek. vagy körbeírja. Így a Feuerbach-pontok megszerkeszthetők anélkül, hogy használnánk a megfelelő be- vagy kikört és az ehhez tartozó Euler-kört [21] .

Általánosítás

Az ortopólus létezése egy általánosabb tételből, az ortológiai háromszögekre vonatkozó úgynevezett Steiner -tételből következik [22] .

Steiner ortológ háromszög tétele kimondja (lásd Steiner ortológ háromszög tételét ), hogy ha ΔABC ortológ ΔA'B'C' -re , akkor ekvivalens azzal, hogy ΔA'B'C' ortológ ΔABC -re . Egy ortopólus esetén az ABC háromszög ℓ egyenesre eső csúcsainak vetületei - az A' , B' , C' pontok - egy degenerált háromszög csúcsainak tekinthetők, és a párhuzamos merőlegesek metszik egymást egy végtelenül távoli pont.

• Az ortológiai  háromszögek az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek, amelyeknél az A, B és C pontokból a B 1 C 1 , C 1 A 1 és A 1 B 1 egyenesekre ejtett merőlegesek egy pontban metszik egymást. Ebben az esetben az A 1 , B 1 és C 1 pontokból a BC, CA és AB egyenesekre ejtett merőlegesek is egy pontban metszik egymást.

Történelem

Az ortopólust M. Soons matematikus fedezte fel 1886-ban egy cikkében, amely az 1. o. 57 az elemi matematikával foglalkozó belga tudományos folyóiratban, a Mathesis (folyóirat), amelyet 1881-ben Paul Mansion ( Paul Mansion ) és Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ) alapított, az orthopole (orthopole) kifejezést pedig az említett Neuberg javasolta a "Mathesis" folyóiratban 1911-re, o. 244 források szerint [23] , [24]

Lásd még

Pólus és sarki

Linkek

1. ↑ MathWorld: Orthopole . Letöltve: 2020. június 20. Az eredetiből archiválva : 2019. december 31. (határozatlan)
2. ↑ Archivált másolat . Letöltve: 2020. június 20. Az eredetiből archiválva : 2017. február 25. (határozatlan)
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 Az ortopólus (2017. január 21.). Letöltve: 2020. június 20. Az eredetiből archiválva : 2020. június 22. (határozatlan)
4. ↑ "Néhány egyparaméteres vonalrendszer ortopólusai fix háromszögre vonatkoztatva" Szerző(k): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , Vol. 37. sz. 3. (1930. márc.), pp. 130–136 Kiadta: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Archivált 2020. június 27-én a Wayback Machine -nél
5. ↑ "Az ortopólusok projektív elmélete", Mary Cordia Karl nővér, The American Mathematical Monthly , 1. évf. 39. sz. 6 (1932. június-július), pp. 327–338 Kiadta: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Archivált 2020. június 24-én a Wayback Machine -nél
6. ↑ Goormaghtigh, R. (1946. december 1.). „1936. Az ortopólus” . A Matematikai Közlöny . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR 3610737 . Archiválva az eredetiből, ekkor: 2017-02-25 . Letöltve: 2020-06-20 a Cambridge Core-on keresztül.  Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
7. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. Az ortopólus. 699. §. Tétel. Ábra. 156. P. 290-291.
8. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. Az ortopólus. §Feladatok. §egy. 291. o.
9. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. Az ortopólus. §Feladatok. 6. §. 291. o.
10. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. The Orthopole, §694, Fig. 155. o. 288.
11. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. Az ortopólus, 697. §. Tétel, ábra. 155. o. 289-290.
12. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. The Orthopole, §693, Fig. 154. o. 287-288
13. ↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Archiválva 2020. június 22-én a Wayback Machine -nél
14. ↑ Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington D.C., matek. Assoc. Ammer., 1995, pp. 106-110.
15. ↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 17.
16. ↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Archiválva : 2020. augusztus 5. a Wayback Machine -nél
17. ↑ "5. Ortopólusok által generált kúp" In: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Archivált : 2020. július 8. a Wayback Machine -nél
18. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. Az ortopólus, 694. §. Ábra. 155. o. 288.
19. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. A tritangens központok. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
20. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – 698. §. következmény. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
21. ↑ Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – 648. §. Megjegyzés. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archiválva : 2020. június 30. a Wayback Machine -nél
22. ↑ Myakishev A. Körben járni: Eulertől Taylorig // Matematika. Mindent a tanárért! 6. szám (6). Június. 2011. p. 6, Az ortopólus definíciója, ábra. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
23. ↑ Ion Pătrașcu. AZ ORTOPÓL-TEOREM KETTŐSE// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Archiválva : 2020. július 28. a Wayback Machine -nél
24. ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. második kiadás. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. 306. o., 692. §, 694. §

Irodalom

• Atul Dixit, Darij Grinberg. Az ortopólusok és a Pappus-tétel// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
• Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - G §. Az ortopólus. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ #v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
• Bogomolnij, A. "Ortopólus". https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml .
• Goormaghtigh R. Néhány ortopól-tétel analitikus kezelése// Amer. Math. Havi 46. 1939. P. 265-269,
• Gallatly W. A háromszög modern geometriája, 2. kiadás. London: Hodgson, 1913. - 6. fejezet. Az ortopólus. P. 46-54.
• Honsberger , R. Epizódok a tizenkilencedik és huszadik századi euklideszi geometriában. Washington, DC: Matek. Assoc. Amer., 1995. - 11. fejezet Az ortopólus. P. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
• Johnson RA Modern Geometry: Egy elemi értekezés a háromszög és a kör geometriájáról. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
• Ramler OJ Néhány egyparaméteres vonalrendszer orthopole lokuszai rögzített háromszögre hivatkozva// Amer. Math. Havilap 37, 1930, 130-136.
• Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Párizs: Jacques Gabay, 1987, p. 17.
• Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html
• Egy akkord ortopólusa// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
• Junko HIRAKAWA. Néhány tétel az ortopólusról. Tohoku Mathematical Journal, első sorozat. 1933. évf. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
• Myakishev A. Körben járni: Eulertől Taylorig // Matematika. Mindent a tanárért! 6. szám (6). Június. 2011. p. 6, Az ortopólus definíciója, ábra. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf