Geometriai súlyozott átlag

A mértani súlyozott átlag egyfajta átlag , a geometriai átlag általánosítása . Valós súllyal rendelkező nemnegatív valós számok halmaza esetén , a következőképpen definiálható: [1] $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0$

{\bar {x}}=\left(\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}}\right)^{{1/\sum _{ {i=1}}^{n}w_{i}}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}} }\;\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}\ln x_{i}\jobbra)

A fenti képletek a súlyok bármely értékére értelmezhetők, kivéve, ha egyes és a megfelelő súlyok . Ezért általában azt feltételezzük, hogy minden szám . Általában figyelembe veszik a nem negatív súlyokat is. $x_{i}=0$ $w_{i}\leq 0$ $x_{i}>0$

Ha a súlyokat egyre normalizáljuk (azaz összegük eggyel egyenlő), akkor a geometriai súlyozott átlag egyszerűbb formát ölt: $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_ {i}\ln x_{i}

Tulajdonságok

Egyes számok logaritmusainak számtani súlyozott átlaga megegyezik ezen számok geometriai súlyozott átlagának logaritmusával azonos súlyokkal.
Ha minden súly ( ) egyenlő, akkor a súlyozott geometriai átlag a szokásos mértani átlag lesz . $w_{i}$ $i=1,2,...,n$

Használati példa

Adjunk meg egy diszkrét valószínűségi eloszlást . Jelölje az értékek geometriai súlyozott átlagával súlyokkal , pl. ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\))$ ${\overline {N))$ ${\displaystyle 1/p_{i))$ $p_{i}$

{\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}

Ekkor az eloszlás Shannon-entrópiája így írható fel $P$

H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}

Az értéket a rendszer a rendszerállapotok tényleges számaként értelmezi. ${\overline {N))$

Jegyzetek

↑ Repova M. L., Sazanova E. V. A statisztika általános elmélete sémákban, képletekben, táblázatokban . - Arhangelszk: AGTU, 2007. - 24 p. Archiválva : 2017. október 13. a Wayback Machine -nél

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai