Szuperellipsoid

A szuperellipszoid olyan geometriai test, amelynek keresztmetszete azonos r kitevőjű szuperellipszisek (Lame-görbék), a függőleges metszetek pedig azonos t kitevőjű szuperellipszisek [1] [2] . Egyes szuperellipszoidok szuperkvadrikumok , azonban e családok egyike sem a másik részhalmaza.

A szuperellipsoid speciális esete a Pete Hein által népszerűsített szupertojás .

Matematikai leírás

Alapforma

Az alap szuperellipsoidot az egyenlet határozza meg

\left(\left|x\right|^{{r}}+\left|y\right|^{{r}}\right)^{{t/r}}+\left|z\right|^ {{t}}\leq 1.

Az r és t paraméterek pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ábra alakját, különösen a pólusok és az egyenlítő síkságának mértékét. Ha t = r , a szuperellipszis a szupernégyzet speciális esetévé válik.

A szuperellipsoid bármely párhuzamos (vízszintes metszete) a z = b sík mentén , ahol -1 < b < +1, egy Lame-görbe r kitevővel és léptéktényezővel

a=(1-\left|z\jobb|^{{t}})^{{1/t}};

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{{r}}+\left|{\frac {y}{a}}\right|^{{r}}\leq 1.

Bármely meridián (a szimmetriatengelyen áthaladó sík metszete) egyben t kitevővel rendelkező, vízszintes irányban megnyújtott, w együtthatóval a vágósík helyzetétől függő Lame-görbe is. Ha ugyanis x = u cos θ és y = u sin θ egy rögzített θ esetén, akkor

\left|{\frac {u}{w}}\right|^{t}+\left|z\right|^{t}\leq 1,

ahol

w=(\left|\cos \theta \right|^{r}+\left|\sin \theta \right|^{r})^{{-1/r}}.

Különösen, ha r = 2, a vízszintes szakaszok körök, és w = 1 minden vágási síkra. Ebben az esetben a szuperellipsoid egy olyan forgástest, amelyet a Lame-görbe t kitevővel a függőleges tengely körüli elforgatásával kapunk.

Az alap szuperellipszoid a kocka belsejében található térben található, ahol a három koordináta mindegyikének értéke –1 és +1 között van. Általános szuperellipszoidot kapunk, ha az alap-szuperellipsoidot a koordinátatengelyek mentén skálázzuk az A , B , C együtthatókkal , amelyek a kapott szuperellipsoid féltengelyei. Általános szuperellipszoid egyenlet

\left(\left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{r}\right)^{{ t/r}}+\left|{\frac {z}{C}}\right|^{{t}}\leq 1.

Ha r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4, megkapjuk Pete Hein szupertojását.

Egy általános szuperellipszoidot paraméteres formában ábrázolunk az u és v paramétereken keresztül (hosszúság és szélesség) [2] :

{\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ac\left(v,{\frac {2}{t}}\right)c\left(u,{\frac {2}{r} }\right);\\y(u,v)&{}=Bc\left(v,{\frac {2}{t))\right)s\left(u,{\frac {2}{r }}\right);\\z(u,v)&{}=Cs\left(v,{\frac {2}{t}}\right);\\&-\pi /2\leq v\ leq \pi /2,\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{igazított}}

ahol

{\begin{aligned}c(\omega ,m)&{}=\operátornév{sgn}(\cos \omega )|\cos \omega |^{m};\\s(\omega ,m)&{ }=\operátornév{sgn}(\sin \omega )|\sin \omega |^{m};\end{aligned}}

\operatorname{sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}

A szuperellipsoid térfogatát a képlet fejezi ki

V={\frac 23}ABC{\frac {4}{rt}}\beta \left({\frac {1}{r)),{\frac {1}{r}}\right)\beta \ balra({\frac {2}{t)),{\frac {1}{t}}\jobbra).

Jegyzetek

↑ Barr, AH (1981. január), Superquadrics and Angle-Preserving Transformations . IEEE_CGA vol. 1 sz. 1, pp. 11–23
↑ 1 2 Barr, AH (1992), Rigid Physical Based Superquadrics . A Graphics Gems III III.8. fejezete , szerkesztette D. Kirk, pp. 137–159

Lásd még

Linkek

Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F., Segmentation and Recovery of Superquadrics . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
Irodalomjegyzék: Super Quadric Representations
Szuperquadric Tensor Glyphs archiválva 2012. február 4. a Wayback Machine -nél
SuperQuadric ellipszoidok és toroidok, OpenGL világítás és időzítés
Szuperquadratics – Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.