Piramis (geometria)
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .A piramis ( más görög πυραμίς szóból , nemzetség p. πυραμίδος ) egy poliéder , amelynek egyik lapja ( alapnak nevezett ) tetszőleges sokszög , a fennmaradó lapok (úgynevezett oldallapok ) pedig olyan háromszögek , amelyekben közös . ] . Az alapszögek száma szerint a piramisok háromszög alakúak ( tetraéder ), négyszögletesek stb. A gúla a kúp speciális esete [2] .
A piramis fejlődésének története a geometriában
A piramis geometriájának kezdetét az ókori Egyiptomban és Babilonban fektették le , de az ókori Görögországban aktívan fejlesztették . A piramis térfogatát az ókori egyiptomiak ismerték. Az első görög matematikus, aki meghatározta a piramis térfogatát, Démokritosz [3] volt, és ezt Cnidus Eudoxus is bebizonyította . Az ókori görög matematikus , Eukleidész a "Kezdetek" XII. kötetében rendszerezte a piramisról szóló ismereteket , és kihozta a piramis első meghatározását is: egy szilárd alakot, amelyet síkok határolnak, amelyek egy ponton egy síkból konvergálnak (XI. könyv, meghatározás 12 [4] ).
A piramis elemei
- a piramis teteje az oldallapok közös pontja, amely nem esik az alap síkjában;
- alap - olyan arc, amely nem tartozik a piramis tetejéhez;
- oldallapok - háromszög alakú lapok, amelyek a tetején összefolynak;
- oldalsó élek - olyan élek, amelyek két oldallap oldalai (és ennek megfelelően nem az alap oldalai);
- a piramis magassága a gúla tetejétől az aljáig tartó merőleges;
- apothem - egy szabályos piramis oldallapjának magassága, atetejétől húzva;
- piramis átlós metszete - a piramis azon része, amely áthalad a tetején és az alap átlójában.
Kibontakozó piramis
A kidolgozás egy sík alakzat, amelyet egy geometriai test felületének egy síkkal való kombinálásával kapunk (lapok vagy más felületi elemek egymásra helyezése nélkül). A felületfejlődés vizsgálatát megkezdve ez utóbbit célszerű rugalmas, nyújthatatlan filmnek tekinteni. Az így bemutatott felületek egy része hajlítással síkkal kombinálható. Sőt, ha egy felületi rekesz törés és ragasztás nélkül kombinálható egy síkkal, akkor az ilyen felületet kibontásnak, az így létrejövő lapos alakot pedig kibontásnak nevezzük.
Tulajdonságok
Ha minden oldalél egyenlő , akkor:
- egy kör írható le a piramis alapja körül, és a piramis csúcsa a középpontjába vetül;
- oldalsó bordák egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal;
- ennek az ellenkezője is igaz, vagyis ha az oldalélek egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha egy kör írható le a gúla alapjához közel, és a gúla teteje a középpontjába vetül, akkor az összes a piramis oldalélei egyenlők.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz , akkor:
- a piramis aljába kör írható, és a piramis csúcsa a középpontjába vetül;
- az oldallapok magassága egyenlő;
- az oldalsó felület területe egyenlő az alap kerülete és az oldalfelület magasságának szorzatának felével.
A piramist más geometriai testekkel kapcsolatos tételek
Gömb
- egy gömb írható le a piramis közelében , ha a piramis alján egy sokszög található, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel) [5] . A gömb középpontja a gúla rájuk merőleges éleinek felezőpontjain átmenő síkok metszéspontja lesz. Ebből a tételből az következik, hogy egy gömb leírható bármely háromszögről és bármely szabályos piramisról;
- A gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást ( szükséges és elégséges feltétel ). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
Kúp
- A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsai egybeesnek, és az alapja a piramis alapjába van írva. Sőt, csak akkor lehet kúpot beleírni a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek egymással (szükséges és elégséges feltétel); [6]
- A kúpot a piramis közelébe írtnak nevezzük, ha a csúcsuk egybeesik, az alapja pedig a piramis alapjához közel van felírva. Ezenkívül a gúla közelében lévő kúpot csak akkor lehet leírni, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással (szükséges és elégséges feltétel);
- Az ilyen kúpok és piramisok magassága megegyezik egymással.
Henger
- A hengert gúlába írtnak nevezzük, ha az egyik alapja egybeesik a gúla alapjával párhuzamos metszetébe írt sík kerületével, a másik alapja pedig a gúla alapjához tartozik.
- Egy hengert a gúla közelében írottnak nevezünk, ha a piramis teteje az egyik alapjához tartozik, a másik alapja pedig a piramis alapjához közel van írva. Ezenkívül csak akkor lehetséges egy hengert a piramis közelében leírni, ha a piramis alján van egy beírt sokszög (szükséges és elégséges feltétel).
Piramisképletek
- A piramis térfogata a következő képlettel számítható ki:
- Ezenkívül egy háromszög alakú piramis (tetraéder) térfogata kiszámítható a [8] képlettel :
- Az oldalfelület az oldallapok területének összege:
- A teljes felület az oldalfelület és az alapterület összege:
- Egy szabályos piramis oldalsó felületének meghatározásához a következő képleteket használhatja:
A piramis speciális esetei
Helyes piramis
A piramist szabályosnak nevezzük, ha az alapja szabályos sokszög , és a csúcsa az alap közepébe van vetítve. Ezután a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- szabályos gúla oldalélei egyenlőek;
- szabályos piramisban minden oldallap egybevágó egyenlő szárú háromszög;
- bármely szabályos piramisba beírhat és leírhat egy gömböt köré;
- ha a beírt és a körülírt gömb középpontja egybeesik, akkor a gúla tetején a síkszögek összege , és mindegyik , , ahol n az alapsokszög oldalainak száma [9] ;
- egy szabályos gúla oldalfelületének területe egyenlő az alap és az apotém kerülete szorzatának felével.
Téglalap alakú piramis
Egy gúlát téglalap alakúnak nevezünk, ha a piramis egyik oldaléle merőleges az alapra. Ebben az esetben ez az él a piramis magassága.
Tetraéder
A háromszög alakú piramist tetraédernek nevezzük. Egy tetraéderben bármelyik lap a piramis alapjaként tekinthető. Ezenkívül nagy különbség van a "szabályos háromszög piramis" és a " szabályos tetraéder " fogalma között. A szabályos háromszög alakú piramis olyan gúla, amelynek alapja szabályos háromszög (a lapjainak egyenlő szárú háromszögeknek kell lenniük). A szabályos tetraéder olyan tetraéder, amelynek minden lapja egyenlő oldalú háromszög.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Aleksandrov A. D., Werner A. L. Geometria. Tankönyv az oktatási intézmények 10-11. évfolyama számára. - 2. kiadás - M . : Oktatás, 2003. - 271 p. — ISBN 5-09-010773-4 .
- ↑ Matematika fogalmakban, definíciókban és kifejezésekben. 1. rész. Útmutató tanároknak. Szerk. L. V. Sabinina. M., Oktatás, 1978. 320 p. S. 253.
- ↑ B. L. van der Waerden. Az ébredő tudomány. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája. - 3. kiadás - M . : KomKniga, 2007. - 456 p. - ISBN 978-5-484-00848-3 .
- ↑ M.E. Vascsenko-Zakharcsenko . Euklidész kezdetei, magyarázó bevezetővel és kommentárral . - Kijev, 1880. - S. 473. - 749 p.
- ↑ Saakyan S. M., Butuzov V. F. Geometria tanulása 10-11 osztályban: könyv a tanárnak. - 4. kiadás, átdolgozott .. - M . : Oktatás, 2010. - 248 p. — (Matematika és számítástechnika). - ISBN 978-5-09-016554-9 .
- ↑ Pogorelov A. V. Geometria: Tankönyv az oktatási intézmények 10-11. osztályai számára. - 8. kiadás - M . : Oktatás, 2008. - 175 p. — 60.000 példány. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
- ↑ Geometria Kiszeljov szerint Archiválva : 2021. március 1., a Wayback Machine , §357 .
- ↑ Kushnir I. A. Az iskolai geometria diadala. - K . : A mi óránk, 2005. - 432 p. - ISBN 966-8174-01-1 .
- ↑ Gotman E. Egy gömbbe írt szabályos piramis tulajdonságai Archiválva : 2012. január 22., a Wayback Machine // Kvant. - 1998. - 4. sz.
Irodalom
- Alexandrov A. D., Werner A. L. Geometria. Tankönyv az oktatási intézmények 10-11. évfolyama számára. - 2. kiadás - M . : Oktatás, 2003. - 271 p. — ISBN 5-09-010773-4 .
- Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Sztereometria . 11. évfolyam. - 2. kiadás - M . : Fizmatkniga, 2005. - 332 p. — ISBN 5-89155-134-9 .
- A. P. Kiselev, Geometry by Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
- Pogorelov A. V. Geometria: Tankönyv az oktatási intézmények 10-11. osztályai számára. - 8. kiadás - M . : Oktatás, 2008. - 175 p. — 60.000 példány. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
Linkek
- A piramisok papírmodellei archiválva 2010. január 4-én a Wayback Machine -nél
- Eukleidész "kezdetei" .
 Szótárak és enciklopédiák |
|
|---|---|
| Bibliográfiai katalógusokban |