Euler-tétel poliéderekre

Az Euler-tétel poliéderekre  egy olyan tétel, amely kapcsolatot létesít azon poliéderek csúcsai, élei és lapjai között , amelyek topológiailag egyenértékűek egy gömbbel .

Megfogalmazás

Legyen  egy konvex poliéder csúcsainak  száma, éleinek  száma és lapjainak száma. Aztán az egyenlőség

Példák szabályos poliéderekre :

Történelem

1620- ban René Descartes kimutatta, hogy a poliéder összes lapja szögeinek összege egyenlő és ugyanakkora . Ez közvetlenül magában foglalja a tétel érvényesítését.

1750-ben Leonhard Euler bebizonyította a konvex poliéderek azonosságát. Euler tétele megalapozta a matematika egy új ágát – a topológiát . Szigorúbb bizonyítékot adott Cauchy 1811-ben.

Sokáig azt hitték, hogy az Euler-reláció bármely poliéderre érvényes. Az első ellenpéldát Simon Lhuillier hozta 1812-ben; ásványgyűjtemény vizsgálatakor felhívta a figyelmet egy átlátszó földpát kristályra , amelynek belsejében egy fekete köbös ólom-szulfid kristály volt . Luillier rájött, hogy egy kocka, amelynek belsejében köbös üreg van, nem engedelmeskedik Euler képletének. Később további ellenpéldákat fedeztek fel (például két él mentén ragasztott vagy közös csúcsú tetraédert ), és finomították a tétel megfogalmazását: igaz a gömbnek topológiailag ekvivalens poliéderekre [1] .

Általánosítások

• Az Euler-karakterisztika általánosítja az Euler-képletet tetszőleges számú lyukú poliéderekre, sőt összetettebb formában topológiai terekre is .
• Az Euler-képlet egy összefüggő síkgráfhoz ugyanaz, de minden síkgráfra vonatkozik, nem csak azokra, amelyek poliéderes keretek lehetnek a 3D térben.

Lásd még

• Leonhard Eulerről elnevezett objektumok listája

Jegyzetek

1. ↑ Lakatos I. Bizonyíték és cáfolat. Hogyan bizonyíthatóak a tételek? - M . : Nauka, 1967.