A Conway által kifejlesztett és Hart által népszerűsített Conway - jelölés a politópokra egy magpolitóp (vagyis más létrehozására használt) politóp alapján írható le , amelyet különféle előtag- műveletekkel módosítottak .
Conway és Hart kiterjesztette az ötletet, hogy olyan operátorokat használjanak, mint a Kepler csonkítási operátora , hogy azonos szimmetriájú összekapcsolt poliédereket hozzanak létre. Az alap operátorok minden arkhimédeszi és katalán szilárdtestet generálhatnak a megfelelő magokból. Például t C egy csonka kockát jelent , és taC, amelyet t(aC-ként kapunk), egy csonka oktaéder . A legegyszerűbb kettős operátor csúcsokat és lapokat cserél. Tehát a kocka kettős poliédere egy oktaéder - dC \ u003d O. Szekvenciálisan alkalmazva ezek az operátorok sok magasrendű poliéder létrehozását teszik lehetővé. A kapott poliéderek fix topológiájúak lesznek (csúcsok, élek, lapok), míg a pontos geometria nincs korlátozva.
A szabályos poliéder magpoliédereket (angol) nevük első betűje jelzi ( T etrahedron = tetraéder, O ctahedron = oktaéder, C ube = kocka, I cosahedron = ikozaéder, D odekaéder = dodekaéder). Ezen kívül prizmák ( P n - p rismából n -szögű prizmák esetén), antiprizmák ( A n - A ntiprizmákból), kupolák ( U n - c u polae-ból), antidóm ( V n ) és piramisok ( Y n - p y ramidból). Bármely poliéder magként működhet, ha műveleteket lehet végrehajtani rajta. Például a szabályos fazettált poliédereket J n - ként jelölhetjük (a J ohnson testekből = Johnson testek ) n = 1…92 esetén.
Általános esetben nehéz megjósolni, hogy egy adott magpoliéderen két vagy több művelet egymást követő alkalmazása milyen eredményt ér el. Például a kétszer alkalmazott ambo művelet megegyezik a kiterjesztési művelettel, aa = e , míg az ambo művelet utáni csonkítási művelet ugyanazt adja, mint a ta = b ferde művelet . Nincs olyan általános elmélet, amely leírná, hogy milyen poliédereket kaphatunk bizonyos operátorkészlettel. Éppen ellenkezőleg, minden eredményt empirikusan kaptunk .
A táblázat elemei egy ( v , e , f ) paraméterekkel (csúcsok, élek, lapok) rendelkező magra vannak megadva, amelyek új típusokká alakultak, feltéve, hogy a mag egy konvex poliéder ( 2. Euler-karakterisztikával rendelkező topológiai gömb ). Minden operátorhoz egy kockamagon alapuló példát adunk. Az alapműveletek elegendőek tükörszimmetrikus egyenletes poliéderek és duálisaik előállításához. Néhány alapművelet más műveletek összetételével is kifejezhető .
Különleges típusok
A "kis" műveletnek van egy k n változata , ebben az esetben csak gúlákat adnak az n oldalú lapokhoz . A csonkítási műveletnek van egy t n változata, ebben az esetben csak az n rendű csúcsok csonkolódnak .Az operátorokat a funkciókhoz hasonlóan jobbról balra alkalmazzuk. Például a kuboktaéder egy ambo-kocka (olyan kocka, amelyre az ambo-műveletet alkalmazzuk), azaz t(C) = aC , a csonka kuboktaéder pedig t(a(C)) = t(aC) = taC .
Chiralitás operátor
A táblázatban szereplő műveletek egy példakockán láthatók, és a kocka felületére vannak rajzolva. A kék lapok metszik az eredeti éleket, a rózsaszín lapok az eredeti csúcsoknak felelnek meg.
Operátor | Példa | Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | szempontok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
mag | v | e | f | Kezdeti poliéder | |||
r | tükrözik | v | e | f | Tükörkép királis formákhoz | ||
d | dupla | f | e | v | Kettős mag poliéder – minden csúcs új arcot hoz létre | ||
a | Ambo | dj djd |
e | 2e _ | f + v | Új csúcsok kerülnek hozzáadásra az élek közepére, a régi csúcsok pedig levágásra kerülnek ( rectify ) A művelet 4-es vegyértékkel rendelkező csúcsokat hoz létre. | |
j | csatlakozik | da apa |
v + f | 2e _ | e | A maghoz megfelelő magasságú piramisokat adunk, így két különböző piramishoz tartozó háromszög, amelyeknek közös oldala a magnak, egysíkúak lesznek (ugyanazon a síkon fekszenek), és új lapot képeznek. A művelet négyzet alakú lapokat hoz létre. | |
k k n |
kis | nd = dz dtd |
v + f | 3e _ | 2e _ | Mindegyik lapon egy piramis található. Akizáció vagy kumuláció, [1] növekedés vagy piramis tágulás . | |
t t n |
csonka | nd = dz dkd |
2e _ | 3e _ | v + f | Levágja az összes csúcsot. A művelet a kis szóhoz kapcsolódik | |
n | tű | kd = dt dzd |
v + f | 3e _ | 2e _ | A kettős poliéder egy csonka maghoz. A lapok háromszöggel vannak ellátva minden élhez két háromszöggel. Ez kettévágja a lapokat az összes csúcson és élen keresztül, miközben eltávolítja az eredeti éleket. A művelet az ( a , b ) geodéziai politópot ( a +2 b , a - b ) alakra alakítja át a > b esetén . Ezenkívül ( a ,0) -t ( a , a ), ( a , a )-t (3 a ,0), (2,1)-t (4,1)-re stb. | |
z | postai irányítószám | dk = td dnd |
2e _ | 3e _ | v + f | A kettős politóp a maghoz a kis művelet vagy a kettős politóp csonkolása után. A művelet új éleket hoz létre, amelyek merőlegesek az eredeti élekre. A műveletet bitruncation-nek is nevezik ( deep truncation ). Ez a művelet az G ( a , b ) Goldberg-politópot G ( a + 2b , a - b ) -vé alakítja a > b esetén . A G ( a ,0) -t G ( a , a ), a G ( a , a ) -t G -vé (3 a ,0), a G (2,1) -t G - vé (4,1) alakítja át, és így tovább. | |
e | kiterjeszteni (nyújtani) |
aa dod = csinálni |
2e _ | 4e _ | v + e + f | Minden csúcs egy új lapot hoz létre, és minden él egy új négyzetet. ( kantellát = ferde) | |
o | orto | daa ded = de |
v + e + f | 4e _ | 2e _ | Minden n -szögű lap n négyszögre van felosztva. | |
rg = g _ |
giroszkóp | dsd = ds | v + 2e + f | 5e _ | 2e _ | Minden n -szögű lap n ötszögre van felosztva . | |
s rs = s |
pisze | dgd = dg | 2e _ | 5e _ | v + 2e + f | "tágulás és torzió" - minden csúcs egy új lapot, és minden él két új háromszöget alkot | |
b | ferde | dkda = ta dmd = dm |
4e _ | 6e _ | v + e + f | Élek és csúcsok helyett új lapok kerülnek hozzáadásra. (cantruncation = bevel- truncation ) | |
m | meta mediális |
kda = kj dbd = db |
v + e + f | 6e _ | 4e _ | Háromszögelés csúcsok hozzáadásával a lapok és élek középpontjában. |
Mind az öt szabályos politóp előállítható prizmatikus generátorokból nulla-két operátor használatával:
A helyes euklideszi burkolóanyag magként is használható:
A kocka alkothat minden konvex egyenletes poliédert oktaéderes szimmetriával . Az első sor az arkhimédészi testeket mutatja , a második pedig a katalán testeket . A második sor kettős poliéderként van kialakítva az első sor poliéderéhez. Ha minden új poliédert összehasonlítunk egy kockával, megérthetjük a vizuálisan végrehajtott műveleteket.
Kocka "mag" |
Ambo | csonka | postai irányítószám | kiterjed | ferde | pisze |
---|---|---|---|---|---|---|
CdO_ _ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
aC aO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
tC zO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
zC = dkC tO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
aaC = eCeO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
bC = taC taO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
sC sO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
dupla | csatlakozik | tű | kis | orto | középső | giroszkóp |
dCO_ _ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
jC jO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
dtC = kdC kO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
kC dtO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
oC oO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
dtaC = mC mO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
gC goO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Egy csonka ikozaéder , tI vagy zD, amely egy Goldberg G(2,0) politóp, további politópokat hoz létre, amelyek sem nem csúcs- , sem nem arc-tranzitívak .
Általános esetben a vetőmag a felület burkolásaként fogható fel. Mivel az operátorok topológiai műveleteket képviselnek, a származtatott formák csúcsainak pontos helyzete általában nincs meghatározva. A konvex szabályos politópok, mint magok, egy gömb csempéjének tekinthetők, és ezért a származtatott politópokat úgy tekinthetjük, mint amelyek egy gömbön helyezkednek el. A hagyományos sík burkoláshoz, például a hatszögletű parkettához hasonlóan a gömbön lévő poliéderek a származtatott burkolólapok magjaként működhetnek. A nem domború poliéderek magokká válhatnak, ha a csúcsok helyzetét korlátozó topológiai felületek vannak definiálva. Például a toroid poliéderek más poliédereket is létrehozhatnak, amelyek pontjai ugyanazon a tórikus felületen vannak.
D |
tD |
hirdetés |
zD = dkD |
szerk |
bD = taD |
SD |
dd |
nD = dtD |
jD = daD |
kD = dtdD |
oD = deD |
mD=dtaD |
gD |
H |
th |
aH |
tdH = H |
eH |
bH = taH |
SH |
dH |
nH = dtH |
jH = daH |
dtdH = kH |
oH = deH |
mH = dtaH |
gH = dsH |
Két vagy több alapművelet összekeverése sokféle formát eredményez. Sok más származékos művelet is létezik. Például két ambo, kis vagy expand művelet keverése kettős művelettel. Alternatív operátorok (például join, truncate, ortho, bevel és mediális) használata leegyszerűsítheti a neveket és eltávolíthatja a kettős operátorokat. A derivált műveletek éleinek teljes száma kiszámítható az egyes operátorok szorzóival.
Üzemeltető(k) | d | aj _ |
k , t n , z |
e o |
gs_ _ |
a & k | a & e | k & k | k & e k & a 2 |
e & e |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
él szorzó | egy | 2 | 3 | négy | 5 | 6 | nyolc | 9 | 12 | 16 |
Egyedi származékos operátorok | nyolc | 2 | nyolc | tíz | 2 |
A táblázatban szereplő műveletek egy kockára vonatkoznak (mint egy magra), és a kocka felületére rajzolódnak ki. A kék lapok metszik az eredeti éleket, a rózsaszín lapok pedig az eredeti csúcsoknak felelnek meg.
Operátor | Példa | Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | szempontok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
mag | v | e | f | Kezdeti poliéder | |||
nál nél | akd |
3e _ | 6e _ | v + 2e + f | ambo művelet csonka után | ||
jk | dak | v + 2e + f | 6e _ | 3e _ | kis után csatlakozzon a művelethez. Hasonló az orto -hoz , azzal a különbséggel, hogy az új négyzet alakú lapok az eredeti élek helyére kerülnek beillesztésre | ||
ak | napok | 3e _ | 6e _ | v + 2e + f | Ambó hadművelet kis után. Hasonló a kibontáshoz, azzal a különbséggel, hogy az eredeti élekhez új csúcsok adnak hozzá két háromszöget. | ||
jt | dakd = dat | v + 2e + f | 6e _ | 3e _ | csonkítás után kapcsolja be a műveletet. A kettős poliéder a műveletek után kapotthoz csonkol, majd ambo | ||
tj | dka | 4e _ | 6e _ | v + e + f | csonka csatlakozás | ||
ka | v + e + f | 6e _ | 4e _ | kis ambo | |||
ea vagy ae | aaa | 4e _ | 8e _ | v + 3e + f | kiterjesztett ambo működés, hármas ambo működés | ||
oa vagy je | daaa = jjj | v + 3e + f | 8e _ | 4e _ | Orth műtét ambo után, tripla csatlakozás művelet | ||
x = kt | felemel | kdkd dtkd |
v + e + f | 9e _ | 7e _ | Műveletek kis csonkítás, háromszögelés, élek 3 részre osztása és új csúcsok hozzáadása az eredeti lapok közepéhez. A művelet az ( a , b ) geodéziai politópot (3 a ,3 b ) alakítja át . | |
y = tk | ránt | dkdk dktd |
v + e + f | 9e _ | 7e _ | Műveletek kis csonkolása, hatszögekkel történő bővítés minden él körül A művelet a Goldberg-poliédert G ( a , b ) G -vé alakítja (3 a ,3 b ). | |
nk | kdk = dtk = ktd | 7e _ | 9e _ | v + e + f | tűcsók | ||
tn | dkdkd = dkt = tkd | 7e _ | 9e _ | v + e + f | csonka tű | ||
tt | dkkd | 7e _ | 9e _ | v + e + f | kettős csonka művelet | ||
kk | dttd | v + 2e + f | 9e _ | 6e _ | kettős művelet kis | ||
nt | kkd = dtt | v + e + f | 9e _ | 7e _ | tű csonka | ||
tz | dkk = ttd | 6e _ | 9e _ | v + 2e + f | csonka cipzár | ||
ke | kaa | v+3e+f | 12e | 8e | Kis terjeszkedik | ||
nak nek | dkaa | 8e | 12e | v+3e+f | csonka orto | ||
ek | aak | 6e | 12e | v+5e+f | bővíteni kis | ||
rendben | daak = dek | v+5e+f | 12e | 6e | orthokis | ||
et | aadkd | 6e | 12e | v+5e+f | kiterjesztett csonka művelet | ||
ot | daadkd = det | v+5e+f | 12e | 6e | orto csonka | ||
te vagy ba | dkdaa | 8e | 12e | v+3e+f | csonka kiterjeszti | ||
ko vagy ma | kdaa = dte ma = mj |
v+3e+f | 12e | 8e | kis ortho | ||
ab vagy am | aka = ata | 6e _ | 12e _ | v + 5e + f | ambo ferde | ||
jb vagy jm | daka = adat | v + 5e + f | 12e _ | 6e _ | csatlakozott ferde | ||
ee | aaaa | v+7e+f | 16e | 8e | duplán bővíteni | ||
oo | daaaa = dee | 8e | 16e | v+7e+f | kettős orto |
Vannak más származtatott műveletek is, ha a giroszkópot az ambo, kis vagy expand műveletekkel és legfeljebb három kettős művelettel használják.
Üzemeltető(k) | d | a | k | e | g | a&g | k&g | például | g&g |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
él szorzó | egy | 2 | 3 | négy | 5 | tíz | tizenöt | húsz | 25 |
Egyedi származékos operátorok | négy | nyolc | négy | 2 |
Operátor | Példa | Név | Épület | csúcsok | borda | arcok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
mag | v | e | f | Kezdeti poliéder | |||
ag | mint djsd = djs |
v + 4e + f | 10e _ | 5e _ | Ambo giroszkóp | ||
jg | dag = js dasd = das |
5e _ | 10e _ | v + 4e + f | csatlakozott a giroszkóphoz | ||
ga | gj dsjd = dsj |
v + 5e + f | 10e _ | 4e _ | gyro ambo | ||
sa | dga = sj dgjd = dgj |
4e _ | 10e _ | v + 5e + f | snub ambo | ||
kg | dtsd = dts | v + 4e + f | 15 e | 10e _ | kis gyro | ||
ts | dkgd = dkg | 10e _ | 15 e | v + 4e + f | csonka pofa | ||
gk | dstd | v + 8e + f | 15 e | 6e _ | gyrokis | ||
utca | dgkd | 6e _ | 15 e | v + 8e + f | csonka csonkítás | ||
sk | dgtd | v + 8e + f | 15 e | 6e _ | snubkis | ||
gt | dskd | 6e _ | 15 e | v + 8e + f | giroszkóp csonkítás | ||
ks | kdg dtgd = dtg |
v + 4e + f | 15 e | 10e _ | csók csók | ||
tg | dkdg dksd |
10e _ | 15 e | v + 4e + f | csonka giroszkóp | ||
például | es aag |
v + 9e + f | 20e _ | 10e _ | kiterjesztett giroszkóp | ||
og | os daagd = daag |
10e _ | 20e _ | v + 9e + f | kitágult pofa | ||
ge | menj gaa |
v + 11e + f | 20e _ | 8e _ | gyro bővíteni | ||
se | tehát dgaad = dgaa |
8e _ | 20e _ | v + 11e + f | pofátlanul terjeszkedik | ||
gg | gs dssd = dss |
v + 14e + f | 25e _ | 10e _ | dupla giroszkóp | ||
ss | vmi dggd = dgg |
10e _ | 25e _ | v + 14e + f | kettős pofa |
Ezeket a kiterjesztett utasításokat nem lehet általánosan létrehozni a fenti alapműveletek segítségével. Egyes operátorok speciális esetként is létrehozhatók k és t operátorokkal, de alkalmazhatók bizonyos lapokra és csúcsokra. Például egy cC lesarkított kocka megszerkeszthető t4daC - ként heexekontaéderalakúdelta,csúcsokkalcsonkavegyértékű4ként-jCvagyként-daC,dodekaéderkéntrombikus, pedig deD - ként vagy oD -ként 5-ös vegyértékcsonkítással.
Egyes kiterjesztett operátorok sorozatot alkotnak, amelyeket egy szám követ. Például az orto egy négyzetlapot 4 négyzetre, míg az o3 9 négyzetre oszthat. Az o3 egy egyedi konstrukció, míg az o4 -t oo -ként kaphatjuk meg , az orto operátort kétszer alkalmazzuk. A padláskezelő tartalmazhat egy indexet, mint a kis operátor , hogy az alkalmazást meghatározott számú oldallal rendelkező arcra korlátozza.
A letörés művelet egy Goldberg G(2,0) poliédert hoz létre új hatszögekkel az eredeti lapok között . Az egymást követő letörési műveletek létrehozzák a G(2 n ,0).
Operátor | Példa | Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | arcok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
mag | v | e | f | Kezdeti poliéder | |||
c (a c kalapácsból) | letörés | dud | v + 2e | 4e _ | f + e | A bordák csonkítása. Élek helyett új hatszögletű lapok kerülnek beillesztésre. Goldberg poliéder (0,2) | |
- | - | dc | f + e | 4e _ | v + 2e | művelet kettős letörés után | |
u | s u bdivid | dcd | v+e | 4e | f+2e | Ambo művelet az eredeti csúcsok megőrzése mellett A művelet hasonló a Felületi felosztási hurokhoz háromszöglapok esetén | |
- | CD | f+2e | 4e | v+e | Kettős művelet a felosztás után | ||
lln _ _ |
tetőtér _ | v + 2e | 5e _ | f + 2e | Az egyes oldalak meghosszabbítása egy prizmával , és az egyes lapok egy kisebb példányának hozzáadása a belső és a külső felület közé trapézokkal. | ||
dl dln _ |
f + 2e | 5e _ | v + 2e | A padlás után kettős működés | |||
ld l n d |
f + 2e | 5e _ | v + 2e | Működési padlás dual után | |||
dld dl n d |
v + 2e | 5e _ | f + 2e | Tetőtérrel kapcsolatos művelet | |||
dL0 | f +3 e | 6e _ | v + 2e | Működés kettős csipke után | |||
L0d | f + 2e | 6e _ | v +3 e | illesztett-csipke művelet duál után | |||
dL0d | v +3 e | 6e _ | f + 2e | Összefűzött csipkével kapcsolatos művelet | |||
q | q uinto | v+3e | 6e | f+2e | Az orto művelet, majd az eredeti lapok közepén található csúcsok csonkítása. A művelet 2 új ötszöget hoz létre minden eredeti élhez. | ||
- | dq | f+2e | 6e | v+3e | A kettős művelet a kvinto után | ||
qd | v+2e | 6e | f+3e | A quinto művelet a duál után | |||
- | dqd | f+3e | 6e | v+2e | A quintohoz kapcsolódó művelet | ||
L0 | összefűzött-csipke | v + 2e | 6e _ | f +3 e | Hasonló a csipkeművelethez, de az eredeti élek helyén új négylappal | ||
L L n |
L ász | v + 2e | 7e _ | f +4 e | Minden lap meghosszabbítása egy antiprizmával , és mindegyik lap elforgatott, kisebb másolatának hozzáadása a régi és az új lapok közé háromszögekkel. Egy index hozzáadásával korlátozható a művelet egy adott számú oldallal rendelkező arcra. | ||
dL dLn _ |
f +4 e | 7e _ | v + 2e | dupla kezelő a fűzés után | |||
Ld Ld n |
f + 2e | 7e _ | v + 4e | csipke operátor duál után | |||
dLd dL n d |
v + 4e | 7e _ | f + 2e | Műveletek sorrendje duál, csipke, duál | |||
K K n |
sta K e | v+2e+f | 7e | 4e | Arcfelosztás középső négyszögekkel és háromszögekkel. Egy index hozzáadásával korlátozható a művelet egy bizonyos számú oldallal rendelkező arcra. | ||
d K dK n |
4e | 7e | v+2e+f | Művelet kettős tét után | |||
kd | v+2e+f | 7e | 4e | tét művelet duál után | |||
d K d | 4e | 7e | v+2e+f | A téthez kapcsolódó művelet | |||
M3 | él-mediális-3 | v+2e+f | 7e | 4e | Működése hasonló az m3-hoz, de nem adnak hozzá átlós éleket | ||
dM3 | 4e | 7e | v+2e+f | Kettős működés az él-mediális-3 után | |||
M3d | v+2e+f | 7e | 4e | él-mediális-3 művelet kettős után | |||
dM3d | 4e | 7e | v+2e+f | Az él-mediális-3- hoz kapcsolódó művelet | |||
M0 | mediálishoz csatlakozott | v+2e+f | 8e | 5e | A művelet hasonló a mediálishoz, de az eredeti élek helyett rombusz alakú lapokat adunk hozzá. | ||
d M0 | v+2e+f | 8e | 5e | Kettős működés csatlakoztatott-mediális után | |||
M0 d | v+2e+f | 8e | 5e | összekapcsolt-mediális művelet duális után | |||
d M0 d | 5e | 8e | v+2e+f | Az egyesített-mediálishoz kapcsolódó művelet | |||
m3 | mediális-3 | v+2e+f | 9e | 7e | Háromszögelés élenként két csúcs hozzáadásával és egy csúcs minden lap közepén. | ||
b3 | ferde-3 | dm3 | 7e | 9e | v+2e+f | A mediális-3 után kettős művelet | |
m3d | 7e | 9e | v+2e+f | Művelet mediális-3 duál után | |||
dm3d | v+2e+f | 9e | 7e | A mediális-3-mal kapcsolatos művelet | |||
o3 | orto-3 | de 3 | v + 4e | 9e _ | f +4 e | Orth operátor élosztással 3-mal | |
e3 | bővíteni-3 | csináld 3 | f +4 e | 9e _ | v + 4e | operátor bővítése az élek 3-mal való osztásával | |
x | kereszt | v + f + 3 e | 10e _ | 6e _ | A kis és a subdivide műveletek kombinációja . A kezdeti éleket kettéosztjuk, és három- és négyszöglapokat alakítunk ki. | ||
dX | 6e _ | 10e _ | v + f + 3 e | Művelet kettős kereszt után | |||
xd | 6e _ | 10e _ | v + f + 3 e | keresztművelet dual után | |||
dXd | v + f + 3 e | 10e _ | 6e _ | A kereszthez kapcsolódó művelet | |||
m4 | mediális-4 | v+3e+f | 12e | 8e | Háromszögelés 3 csúcs hozzáadásával minden élhez és csúcsok mindegyik lap közepéhez. | ||
u5 | felosztás-5 | v + 8e | 25e _ | f + 16e | 5 részre osztott élek Ez a művelet az éleket és a lapokat úgy osztja fel, hogy minden új csúcs körül 6 háromszög alakul ki. |
Ezeket az operátorokat nem lehet általánosan előállítani a fent felsorolt alapműveletekből. A geometrikus művész, Hart létrehozott egy műveletet, amelyet propellernek nevezett .
Operátor | Példa | Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | szempontok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
"Mag" | v | e | f | Kezdeti poliéder | |||
rp = p _ |
propeller | v + 2e | 5e _ | f + 2e | giroszkóp művelet, amit ambo követ az eredeti lapok középpontjában lévő csúcsokon | ||
- | - | dp=pd | f + 2e | 5e _ | v + 2e | Ugyanazok a csúcsok, mint a giroszkópban, de az eredeti csúcsok helyén élek vannak kialakítva | |
- | 4e _ | 7e _ | v + 2e + f | A művelet hasonló a snub -hoz , de az eredeti lapokon ötszögek vannak a kerületükön háromszögek helyett. | |||
- | - | - | v + 2e + f | 7e _ | 4e _ | ||
w = w2 = w2,1 rw = w |
örvény | v+4 e | 7e _ | f+ 2e | A giroszkóp művelet, amelyet az eredeti lapok közepén lévő csúcsok csonkolása követ. A művelet 2 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (2,1) A wrw derivált operátor G(a,b)-t G(7a,7b)-vé alakítja. | ||
rv = v _ |
hangerő | dwd | f+ 2e | 7e _ | v+4 e | dupla operátor örvény után, vagy snub, majd kis az eredeti arcokon. A kapott vrv operátor az (a,b) geodéziai poliédert (7a,7b) alakítja át. | |
g3 rg3 = g3 |
giroszkóp-3 | v + 6e | 11 e | f +4 e | A giroszkóp művelet 3 ötszöget hoz létre minden forrásél mentén | ||
s3 rs3 = s3 |
snub-3 | dg 3 d = dg 3 | f +4 e | 11 e | v + 6e | A gyro-3 utáni kettős művelet, az éleket 4 középső háromszögre osztó snub művelet, az eredeti csúcsok helyén háromszögekkel | |
w3.1 rw3.1 = w3.1 |
örvény-3.1 | v+ 8e | 13e _ | f+4 e | A művelet 4 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (3,1) | ||
w3 = w3,2 rw3 = w3 |
örvény-3,2 | v+ 12e | 19e _ | f+ 6e | A művelet 12 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (3,2) |
Ezek a bővítési műveletek elhagyják az eredeti éleket, és lehetővé teszik az operátor alkalmazását az oldalak bármely független részhalmazára. A Conway-féle jelölés egy további indexet tart fenn ezekhez a műveletekhez, amely jelzi a műveletben érintett lapok oldalainak számát.
Operátor | kis | csésze | egy csésze | padlástér | csipke | tét | kis-kis |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Példa | kC | UC | VC | lC | LC | KC | kkC |
borda | 3e _ | 4 e - f 4 | 5 e - f 4 | 5e _ | 6e _ | 7e _ | 9e _ |
Kép a kockán |
|||||||
Kiterjesztés | Piramis | kupola | antidóm | Prizma | antiprizma |
A Coxeter / Johnson operátorok néha hasznosak Conway operátorokkal keverve. Az érthetőség kedvéért Conway jelölésében ezeket a műveleteket nagybetűkkel adjuk meg. A Coxeter t-jelölése a forró köröket Coxeter-Dynkin diagram indexeiként határozza meg . Így a táblázatban a nagy T 0,1,2 indexekkel a megfelelő magból homogén operátorokat határoz meg. A nulla index a csúcsokat, az 1 az éleket, a 2 pedig az oldalakat jelöli. T = T 0.1 esetén ez egy normál csonkítás, az R = T 1 pedig egy teljes csonkítás vagy egyengető művelet , ugyanaz, mint a Conway ambo operátora . Például r{4,3} vagy t 1 {4,3} a cuboctahedron Coxeter-neve , a csonka kocka pedig RC , ami megegyezik Conway ambo kockájával , aC .
Operátor | Példa | Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | szempontok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
T0_ _ | , t 0 {4,3} | "Mag" | v | e | f | mag formája | |
R = T1_ _ | , t 1 {4,3} | helyesbíteni | a | e | 2e _ | f + v | Ugyanúgy, mint az ambo , új csúcsok kerülnek az élek közepére, és új lapok váltják fel az eredeti csúcsokat. Minden csúcsnak van 4-es vegyértéke. |
T2_ _ | , t 2 {4,3} | kettős birectify |
d | f | e | v | A magpoliéder kettős működése – minden csúcs új arcot hoz létre |
T = T0,1 _ | , t 0,1 {4,3} | csonka | t | 2e _ | 3e _ | v + f | Minden csúcs le van vágva. |
T 1.2 | , t 1,2 {4,3} | bitruncate | z = td | 2e _ | 3e _ | v + f | Ugyanaz, mint a zip |
RR = T 0,2 | , t 0,2 {4,3} | kantella | aa = e | 2e _ | 4e _ | v + e + f | Ugyanaz, mint a bővítés |
TR = T 0,1,2 | , t 0.1.2 {4.3} | nem tudok futni | ta | 4e _ | 6e _ | v + e + f | Ugyanaz, mint a ferde |
Coxeter félig vagy félig operátora , H ( félből ) felére csökkenti az egyes lapok oldalainak számát, és négylapokká alakítja digonokat , amelyeknek két éle köti össze a két csúcsot, és ez a két él helyettesíthető egyetlen éllel. . Például a félkocka, h{4,3}, félkocka HC, amely a két tetraéder egyikét képviseli. A Ho az ortho szót ambo / Rectify -ra rövidíti .
Más féloperátorok (féloperátorok) a H operátorral definiálhatók . Conway meghívja a Coxeter 's Snub operátort S , a félig Ht definíció szerint . A Conway snub s operátora SR . Például az SRC egy snub-kocka , sr{4,3}. A snub Coxeter oktaéder , s{3,4} SO - ként definiálható , a pirit-éder szimmetria konstrukciója szabályos ikozaéderre . Ez összhangban van a szabályos , négyszögletes antiprizma SA 4 -kénti meghatározásával is .
A félgiroszkóp operátor , G , a dHt . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a Conway forgatási operátort g (giroszkóp) GR -ként határozzuk meg . Például a GRC egy giroszkóp, gC vagy egy ötszögletű ikozitetraéder . A GO egy piriteéder szimmetriájú piritoédert definiál , míg a gT ( girotetraéder ) ugyanazt a topológiai poliédert definiálja tetraéderes szimmetriával .
Mindkét S és G operátor megköveteli, hogy a csupasz politópnak páros vegyértékű csúcsai legyenek. Ezekben a féloperátorokban két lehetőség van a fél operátor csúcsváltására . Ez a két konstrukció általában topológiailag nem azonos. Például a HjC vagy egy kockát vagy egy oktaédert határoz meg, attól függően, hogy melyik csúcskészletet választottuk.
A többi operátor csak a páros számú éllel rendelkező politópokra vonatkozik. A legegyszerűbb operátor a semi-join , amely a fél operátor , dHd konjugáltja .
Az F félorto operátor a félig snubhoz van konjugálva. Csúcsot ad a lap közepéhez, és felosztja az összes élt, de a középpontot csak az élek felével köti össze új élekkel, így új hatszögletű lapokat hoz létre. Az eredeti négyzet alakú lapok nem igényelnek központi csúcsot, hanem csak egy élt kell átmenni, ami egy ötszögpárt hoz létre. Például a dodekaéder tetartoid FC -ként szerkeszthető .
Az E félig kiterjesztett operátor Htd vagy Hz . A kezelő háromszög alakú lapokat hoz létre. Például az EC létrehozza a pszeudoikozaéder piroéder szimmetriájú konstrukcióját .
Operátor | Példa (mag – kocka) |
Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | arcok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
H = H1 H2 |
félig ambo H alf 1 és 2 |
v /2 | e - f 4 | f - f 4 + v /2 | Váltakozó , a csúcsok felének törlése. A négylapok ( f 4 ) egyetlen élre redukálódnak. | ||
I = I1 I2 |
félig csonka 1 és 2 |
v /2+ e | 2e _ | f + v /2 | Minden második csúcsot levág | ||
féltű 1 és 2 |
dI | v /2+ f | 2e _ | e + v /2 | Minden második csúcs tűművelete | ||
F = F1 F2 |
félorto Flex 1 és 2 |
dHtd = dHz dSd |
v + e + f - f 4 | 3 e - f 4 | e | Dual művelet félig kibontás után - új csúcsok jönnek létre az éleken és a lapok középpontjában, 2 n -szöget n hatszögre osztanak , a négyszöglapok ( f 4 ) nem tartalmaznak majd központi csúcsot, így két ötszögű lap keletkezik. | |
E = E1 E2 |
félig kibontott Eco 1 és 2 |
Htd = Hz dF = Sd dGd |
e | 3 e - f 4 | v + e + f - f 4 | A kettős művelet félorto után – új háromszöglapok jönnek létre. Az eredeti lapokat fele oldalú sokszögekre cseréljük, a négyszögeket ( f 4 ) egyszeres élekre redukáljuk. | |
U = U 1 U 2 |
félcsipke C U p 1 és 2 |
v + e | 4 e - f 4 | 2 e + f - f 4 | Élhosszabbítás kupolákkal . | ||
V = V 1 V 2 |
félig csipke Anticup 3 és 4 |
v + e | 5 e - f 4 | 3 e + f - f 4 | Élnagyobbítás antidómmal | ||
félmediális 1. és 2 |
XdH = XJd | v + e + f | 5e _ | 3e _ | Alternatív mediális művelet az átlókhoz képest | ||
félmediális 3. és 4 |
v + e + f | 5e _ | 3e _ | Alternatív művelet mediálisan a mediánokhoz képest (összekapcsolja a szemközti oldalak felezőpontjait) | |||
félferde 1 és 2 |
dXdH = dXJd | 3e _ | 5e _ | v + e + f | Alternatív ferde működés az átlókhoz képest | ||
félferde 3. és 4 |
3e _ | 5e _ | v + e + f | Alternatív ferde művelet a mediánokhoz képest |
Operátor | Példa (mag – oktaéder) |
Név | Alternatív konstrukció |
csúcsok | borda | arcok | Leírás |
---|---|---|---|---|---|---|---|
J = J1 J2 |
félig csatlakoztassa az 1-et és a 2 -t |
dhd | v - v 4 + f /2 | e - v 4 | f /2 | A kezelő konjugált fele, csatlakoztassa a kezelőt a váltakozó felületeken. A 4-értékû csúcsok ( v 4 ) 2-értékûekké redukálódnak, és egyetlen éllel helyettesítik. | |
félkis 1 és 2 |
dId | v + f /2 | 2e _ | f /2+ e | Művelet kis fél (felváltva, él mentén nem érintve) arcokra | ||
félcipzár 1 és 2 |
ID | f /2+ e | 2e _ | v + f /2 | Féloldalon cipzárral működik | ||
S = S1 S2 |
félig snub 1 és 2 |
Ht dFd |
v - v 4 + e | 3 e - v 4 | f + e | A félgiroszkóp utáni kettős művelet egy sima művelet , amely elforgatja az eredeti lapokat, miközben új háromszög alakú lapokat ad a keletkező hézagokhoz. | |
G = G1 G2 |
félgiro 1 és 2 |
dHt dS = Fd dEd |
f + e | 3 e - v 4 | v - v 4 + e | A félig snub utáni kettős művelet öt- és hatszögletű felületeket hoz létre az eredeti élek mentén. | |
félmediális 1. és 2 |
XdHd = XJ | 3e _ | 5e _ | v + e + f | Művelet mediális fél (szél nem érintkező) arcokon | ||
félferde 1 és 2 |
dXdHd = dXJ | v + e + f | 5e _ | 3e _ | Ferde művelet a fél (nem élt érintő) felületeken |
A felosztási művelet az eredeti éleket n új élre osztja, és a lapok belsejét háromszögekkel vagy más sokszögekkel töltik ki.
Négyzetes felosztásAz orto-operátor két négyszög alfelosztás hatványsorozatára alkalmazható. A faktorizált felosztás eredményeként további felosztások is elérhetők. A szekvenciálisan alkalmazott propeller kezelő 5 orth felosztást eredményez. Ha a magnak nem négyes felülete van, akkor azok kicsinyített másolatok maradnak a páratlan orto-operátorok számára.
Orto | o 2 = o | o 3 | o 4 = o 2 | o 5 = prp |
o 6 = oo 3 | o 7 | o 8 = o 3 | o 9 \ u003d o 3 2 | o 10 = oo 5 = oprp | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Példa | ||||||||||
Csúcsok | v | v + e + f | v + 4e | v + 7e + f | v +12 e | v + 17e + f | v + 24e | v + 31e + f | v + 40e | v + 63e + f |
borda | e | 4e _ | 9e _ | 16e _ | 25e _ | 36e _ | 49e _ | 64e _ | 81 e | 128e _ |
Szempontok | f | 2e _ | f +4 e | 8e _ | f + 12e | 18e _ | f + 24e | 32e _ | f + 40e | 64e _ |
Kibontás (kettős) |
e 2 = e | e 3 | e4 = e2 _ _ | e 5 = dprp |
e 6 = ee 3 | e 7 | e8 = e3 _ _ | e 9 \ u003d e 3 2 | e 10 = ee 5 = doprp | |
Példa |
Az örvény operátor létrehoz egy Goldberg G(2,1) poliédert új hatszögletű lapokkal minden eredeti csúcs körül. Két egymást követő whirl művelet G(3,5) hoz létre. Általánosságban elmondható, hogy az örvényművelet G( a , b )-t G( a +3 b ,2 a - b ) -vé alakíthatja a > b esetén és ugyanabban a királis irányban. Ha a királis irányok megfordulnak, akkor G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) lesz, ha a >=2 b , és G(3 a + b ,2 b - a ) ha a < 2 b .
A whirl- n operátorok Goldberg-politópokat alkotnak ( n , n -1), és úgy határozhatók meg, hogy a csupasz politóp éleit 2 n -1 részélre osztjuk.
A whirl- n művelet eredménye és inverze egy (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg poliédert alkot . wrw (7,0), w 3 rw 3 (19,0), w 4 rw 4 (37,0), w 5 rw 5 (61,0) és w 6 rw 6 (91, 0). Két örvény- n művelet eredménye (( n -1)(3 n -1),2 n -1) vagy (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). w a szorzata w b -vel (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), w a pedig w b inverzével (3ab-a-2b+1,ab) ad. ≥b.
Két azonos operátor örvény szorzata alkotja a Goldberg-politópot (( n -1)(3 n -1),2 n -1 ). A k-örvény és a zip szorzata (3k-2,1).
Név | mag | örvény | Örvény-3 | Örvény-4 | Örvény-5 | Örvény-6 | Örvény-7 | Örvény-8 | Örvény-9 | Örvény-10 | Örvény-11 | Örvény-12 | Örvény-13 | Örvény-14 | Örvény-15 | Örvény-16 | Örvény-17 | Örvény-18 | Örvény-19 | Örvény-20 | Örvény- n |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kezelő (összetevő) |
- | w=w2 | w3 | w4 | w5 | w6 wrw 3.1 |
w7 | w8 w3,1w3,1 |
w9 ww5,1 |
w10 | w11 | w12 | w13 ww7.2 |
w14 | w15 | w16 ww9.2 |
w17 w3w6,1 |
w18 | w19 w3,1w7,3 |
w20 ww11.3 |
w n |
Goldberg poliéder | (1,0) | (2.1) | (3.2) | (4.3) | (5.4) | (6.5) | (7.6) | (8.7) | (9,8) | (10,9) | (11.10) | (12.11) | (13.12) | (14.13) | (15.14) | (16.15) | (17.16) | (18.17) | (19.18) | (20.19) | ( n , n - 1) |
T bővítés |
egy | 7 | 19 | 37 | 61 | 91 7×13 |
127 | 169 13×13 |
217 7×31 |
271 | 331 | 397 | 469 7×67 |
547 | 631 | 721 7×103 |
817 19×43 |
919 | 1027 13×79 |
1141 7×163 |
3n ( n -1 ) +1 |
Példa | |||||||||||||||||||||
Csúcs | v | v + 4e | v +12 e | v + 24e | v + 40e | v + 60e | v +84 e | v +112 e | v +144 e | v +180 e | v + 220e | v +264 e | v +312 e | v +364 e | v +420 e | v +480 e | v +544 e | v +612 e | v +684 e | v +760 e | v + 2n ( n -1) e |
borda | e | 7e _ | 19e _ | 37e _ | 61e _ | 91 e | 127e _ | 169e _ | 217e _ | 271e _ | 331e _ | 397 e | 469 e | 547 e | 631 e | 721e _ | 817e_ _ | 919e_ _ | 1027 e | 1141 e | e + 3n ( n -1) e |
Szempontok | f | f + 2e | f + 6e | f + 12e | f + 20e | f + 30e | f + 42e | f + 56e | f + 72e | f + 90e | f + 110e | f + 132e | f +156 e | f + 182e | f + 210e | f + 240e | f +272 e | f +306 e | f + 342e | f +380 e | f + n ( n - 1) e |
w n w n | (1,0) | (5.3) | (16,5) | (33,7) | (56,9) | (85,11) | (120,13) | (161,15) | (208.17) | (261,19) | (320,21) | (385,23) | (456,25) | (533,27) | (616,29) | (705,31) | (800,33) | (901.35) | (1008.37) | (1121,39) | (( n - 1) ( 3n -1), 2n - 1) |
w n r w n | (1,0) | (7.0) | (19,0) | (37,0) | (61,0) | (91,0) | (127,0) | (169,0) | (217,0) | (271,0) | (331,0) | (397,0) | (469,0) | (547,0) | (631,0) | (721,0) | (817,0) | (919,0) | (1027,0) | (1141,0) | (1+ 3n ( n -1),0) |
w n z | (1.1) | (4.1) | (7.1) | (10.1) | (13.1) | (16.1) | (19,1) | (22.1) | (25.1) | (28.1) | (31,1) | (34,1) | (37,1) | (40,1) | (43,1) | (46,1) | (49,1) | (52,1) | (55,1) | (58,1) | ( 3n -2,1) |
Az u n művelet a lapokat háromszögekre osztja úgy, hogy minden élt n részre oszt, ezt Buckminster Fuller geodéziai poliéderének n - frekvenciás felosztásának nevezzük 2] .
A poliéderek Conway-operátorai sok ilyen alfelosztást képesek létrehozni.
Ha az összes eredeti lap háromszög, az új poliéderek mindegyik lapja háromszögként fog szerepelni, és az eredeti lapok helyén háromszög alakú tesszellációk jönnek létre . Ha az eredeti poliédernek több oldalú lapja van, az új lapok nem feltétlenül háromszögek. Ilyen esetekben a poliéder először kis műveletnek vethető alá, minden lap közepén új csúcsokkal.
Operátor | u 1 | u 2 =u |
u3 = x |
u 4 =uu |
u 5 | u 6 =ux |
u 7 \u003d vrv |
u 8 =uuu |
u9 =
xx |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Példa | |||||||||
Conway jelölés |
C Archiválva : 2017. február 2. a Wayback Machine -nál | uC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél | xC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nél | uuC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél | u 5 C | uxC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél | vrvC archiválva : 2017. március 15. a Wayback Machine -nál | uuuC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél | xxC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél |
Csúcsok | v | v+e | v+e+f | v+4e | v+8e | v+11e+f | v+16e | v+21e | v+26e+f |
borda | e | 4e | 9e | 16e | 25e | 36e | 49e | 64e | 81e |
Szempontok | f | f+2e | 7e | f+8e | f+16e | 24e | f+32e | f+42e | 54e |
Teljes háromszögelés | |||||||||
Operátor | u 1 k | u 2 k =uk |
u 3 k =xk |
u 4 k =uuk |
u 5 k | u 6 k =uxk |
u 7 k \u003d vrvk |
u 8 k =uuuk |
u 9 k =xxk |
Példa | |||||||||
Conway | kC Archivált : 2017. február 5. a Wayback Machine -nél | ukC Archivált : 2017. március 15., a Wayback Machine -nél | xkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nál | uukC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nál | u 5 kC | uxkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél | vrvkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél | uuukC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nál | xxkC Archiválva : 2017. március 15., a Wayback Machine -nél |
Dual Goldberg |
{3,n+} 1,1 | {3,n+} 2,2 | {3,n+} 3,3 | {3,n+} 4.4 | {3,n+} 5.5 | {3,n+} 6.6 | {3,n+} 7.7 | {3,n+} 8.8 | {3,n+} 9.9 |
Conway műveletei megduplázhatják a Goldberg-poliéderek egy részét, valamint a kettős-geodéziai poliédereket. A Goldberg-poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak száma G ( m , n ) kiszámítható m -ből és n -ből , és az új háromszögek száma minden eredeti háromszögben a következő képlettel számítható ki: T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 − mn . Az ( m ,0) és ( m , m ) konstrukciók a Conway-műveletek jelölése alatt találhatók.
I. osztályKettős Goldberg-politópok esetén az u k operátort itt úgy definiáljuk, mint a lapok felosztását az élek k részre való felosztásával. Ebben az esetben a Conway operátor u = u 2 , és a hozzá tartozó dud operátor a letörés , c . Ezt az operátort a számítógépes grafikában használják , a hurok felosztási sémában . Az u 3 operátort a kt = x Conway operátor adja meg, a hozzá tartozó y = dxd = tk operátort . Két örvényoperátor szorzata kiralitásfordítással, wrw vagy w w 7-es felosztást ad Goldberg-politóp G(7,0) formájában, tehát u 7 = vrv . Kisebb felosztások és királis párokon végzett örvényműveletek további I. osztályú formákat hozhatnak létre.A w(3,1)rw(3,1) művelet a G(13,0) Goldberg-politópot eredményezi. A w(3,2)rw(3,2) művelet eredménye G(19,0).
( m ,0) | (1,0) | (2.0) | (3.0) | (4.0) | (5.0) | (6.0) | (7.0) | (8.0) | (9,0) | (10.0) | (11,0) | (12,0) | (13,0) | (14,0) | (15,0) | (16,0) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | egy | négy | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 |
Operation Composite |
u 1 | u 2 = u = dcd |
u 3 \ u003d x \ u003d kt |
u 4 = u 2 2 = dccd |
u 5 | u 6 = u 2 u 3 = dctkd |
u 7 = v v = dwrwd |
u 8 = u 2 3 = dcccd |
u 9 = u 3 2 = ktkt |
u 10 = u 2 u 5 | u 11 | u 12 = u 2 2 u 3 = dccdkt |
u 13 v 3.1 v 3.1 |
u 14 = u 2 u 7 = uv v = dcwrwd |
u 15 = u 3 u 5 = u 5 x |
u 16 = u 2 4 = dccccd |
háromszög alakú arc |
||||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
Archiváltam : 2016. december 30. a Wayback Machine { 3.5+ } 1.0 -nál |
uI = k5aI Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine {3.5+} 2.0 |
xI = ktI Archiválva : 2016. december 30., a Wayback Machine {3.5+} 3.0 |
u 2 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 4.0 |
{3.5+} 5.0 |
uxI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 6.0 -nál |
vrvI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 7.0 -nál |
u 3 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 8.0 |
x 2 I Archiválva : 2018. január 8., a Wayback Machine { 3.5+ } 9.0 |
{3.5+} 10.0 |
{3.5+} 11.0 |
u 2 x I Archiválva : 2017. január 10., a Wayback Machine { 3.5+ } 12.0 |
{3.5+} 13.0 |
uvrvI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 14.0 -s verziójában |
{3.5+} 15.0 |
u 4 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 16.0 |
Kettős operátor | c | y = tk |
cc | 5 -től | cy = ctk |
ww = wrw _ |
ccc | y 2 = tktk |
cc5_ _ | 11 -től | ccy = cctk |
w 3,1 w 3,1 | cw w = cwrw |
c 5 év | cccc | |
Dodekaéder Conway Goldberg |
D Archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine {5+,3} 1.0 -nál |
cD archiválva : 2016. október 21., a Wayback Machine {5+,3} 2.0 |
yD archiválva : 2016. október 21., a Wayback Machine {5+,3} 3.0 |
ccD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 4.0 -s verziójában |
c 3 D {5+,3} 5.0 |
cyD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 6.0 -nál |
wrwD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 7.0 -nál |
cccD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 8.0 -nál |
y 2 D archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine -nél {5+,3} 9.0 |
cc 5 D {5+,3} 10.0 |
c 11 D {5+,3} 11,0 |
ccyD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {5+,3} 12.0 -nál |
w3,1rw3,1D {5+,3} 13.0 |
cwrwD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {5+,3} 14.0 -nál |
c 5 yD {5+,3} 15.0 |
ccccD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine G{5+,3} 16.0 -nál |
Egy ortogonális osztás az n = kd operátor segítségével is meghatározható . Az operátor az ( a , b ) geodéziai politópot ( a +2 b , a - b ) alakra alakítja át a > b esetén . Az ( a ,0) -t ( a , a )-ra és ( a , a )-t (3 a ,0) -ra alakítja . A z = dk operátor ugyanezt teszi Goldberg poliéder esetén.
( m , m ) | (1.1) | (2.2) | (3.3) | (4.4) | (5.5) | (6.6) | (7.7) | (8.8) | (9,9) | (10.10) | (11.11) | (12.12) | (13.13) | (14.14) | (15.15) | (16.16) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T = m 2 × 3 |
3 1×3 |
12 4×3 |
27 3×3 |
48 24×3 |
75 25×3 |
108 36×3 |
147 49×3 |
192 64×3 |
243 81×3 |
300 100×3 |
363 121×3 |
432 144×3 |
507 169×3 |
588 196×3 |
675 225×3 |
768 256×3 |
Művelet | u 1 n n = kd |
u 2 n = un = dct |
u 3 n = xn = ktkd |
u 4 n = u 2 2 n = dcct |
u 5 n | u 6 n = u 2 = u 3 n = dctkt |
u 7 n = v v n = dwrwt |
u 8 n = u 2 3 n = dccct |
u 9 n = u 3 2 n = ktktkd |
u 10 n = u 2 u 5 n |
u 11 n | u 12 n = u 2 2 u 3 n = dcctkt |
u 13 n | u 14 n = u 2 u 7 n = dcwrwt |
u 15 n = u 3 u 5 n |
u 16 n = u 2 4 n = dcccct |
háromszög alakú arc |
||||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
nI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 1.1 -nél |
unI archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine {3.5+} 2.2 -nél |
xnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 3.3 -nál |
u 2 nI Archiválva : 2016. december 30., a Wayback Machine {3.5+} 4.4 |
{3.5+} 5.5 |
uxnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 6.6 -nál |
vrvnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 7.7 -nél |
u 3 nI Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {3.5+} 8.8 |
x 2 nI Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 9.9 -nél |
{3.5+} 10.10 |
{3,5+} 11.11 |
u 2 xnI Archivált : 2017. január 10., a Wayback Machine {3.5+} 12.12 . |
{3.5+} 13.13 |
dcwrwdnI archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine {3.5+} 14.14 . |
{3,5+} 15,15 |
u 4 nI {3,5+} 16.16 |
Kettős operátor | z = dk |
cz = cdk |
yz = tkdk |
c 2 z = ccdk |
c5z | cyz = ctkdk |
w w z = wrwdk |
c 3 z = cccdk |
y 2 z = tktkdk |
cc5z | c11z | c 2 yz = c 2 tkdk |
c13z | cwwz = cwrwdk _ _ |
c3c5z | c 4 z = ccccdk |
Dodekaéder Conway Goldberg |
zD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 1.1 -ben |
czD archiválva : 2016. április 7. a Wayback Machine -nél {5+,3} 2.2 |
yzD Archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine -nél {5+,3} 3.3 |
cczD archiválva : 2016. április 7. a Wayback Machine -nél {5+,3} 4.4 |
{5+,3} 5.5 |
cyzD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 6.6 |
wrwzD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 7.7 |
c 3 zD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 8.8 |
y 2 zD Archivált : 2017. január 9., a Wayback Machine {5+,3} 9.9 |
{5+,3} 10.10 |
G{5+,3} 11.11 |
ccyzD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nál {5+,3} 12.12 . |
{5+,3} 13.13 |
cwrwzD Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine G{5+,3} 14.14 . |
{5+,3} 15.15 |
cccczD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 16.16 |
A legtöbb geodéziai politóp és a Goldberg-poliéder G(n,m) duálisa nem konstruálható meg Conway-operátorokból származó operátorokkal. Az örvényművelet létrehoz egy Goldberg-poliédert G(2,1), új hatszögletű lapokkal minden eredeti csúcs körül, és n -örvény G( n , n -1) hoz létre. Az ikozaéder szimmetriájú formákon a t5g ebben az esetben egyenértékű az örvényléssel. A v művelet (= v olute = turn) a dual to whirl háromszög felosztást jelenti . Az ikozaéderes formákon a művelet a k5s , pentakis snub derivált operátorral végezhető el .
Két egymást követő örvényművelet létrehozza G(3,5). Általánosságban elmondható, hogy az örvényművelet G( a , b )-t G( a +3 b ,2 a - b ) -vé alakíthatja a > b esetén azonos királis irány mellett. Ha a királis irányt megfordítjuk, akkor G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) lesz, ha a >=2 b , és G(3 a + b ,2 b - a ) ha a < 2 b .
Operation Composite |
v 2,1 = v |
v 3.1 | v 3,2 = v 3 | v4,1 = vn _ |
v 4,2 = vu |
v 5.1 | v 4,3 = v 4 | v 5.2 = v 3 n |
v 6.1 | v 6.2 = v 3.1 u |
v 5,3 = vv |
v 7.1 = v 3 n |
v 5,4 = v 5 | v 6.3 = vx |
v 7.2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 7 | 13 | 19 | 21 7×3 |
28 7×4 |
31 | 37 | 39 13×3 |
43 | 52 13×4 |
49 7×7 |
57 19×3 |
61 | 63 9×7 |
67 |
háromszög alakú arc |
|||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
vI {3.5+} 2.1 |
v 3.1 I {3.5+} 3.1 |
v 3 I {3.5+} 3.2 |
vnI archiválva : 2017. február 3. a Wayback Machine {3.5+} 4.1 -nél |
vui {3.5+} 4.2 |
{3.5+} 5.1 |
v 4 I {3.5+} 4.3 |
v 3 nI {3.5+} 5.2 |
{3.5+} 6.1 |
v 3.1uI { 3.5+ } 6.2 |
vvl {3.5+} 5.3 |
v 3 nI {3.5+} 7.1 |
v 5 I {3.5+} 5.4 |
vxI archiválva : 2018. január 8. a Wayback Machine {3.5+} 6.3 -nál |
v 7.2 I {3.5+} 7.2 |
Operátor | w | w 3.1 | w 3 | wz | WC | w 5.1 | w 4 | w 3,1 z | w 6.1 | w 3,1 s | www | w 3 z | w 5 | wy | w 7.2 |
Conway dodekaéder |
wD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 2.1 -ben |
w 3,1 D {5+,3} 3.1 |
w 3 D {5+,3} 3,2 |
wzD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 4.1 -nél |
wcD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 4.2 -nél |
w 5,1 D {5+,3} 5,1 |
w 4 D {5+,3} 4.3 |
w 3 zD {5+,3} 5.2 |
{5+,3} 6.1 |
w 3,1 cD {5+,3} 6.2 |
wwD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 5.3 -nál |
w 3 zD {5+,3} 7.1 |
w 5 D {5+,3} 5.4 |
wyD archiválva : 2018. január 8. a Wayback Machine -nél {5+,3} 6.3 |
w 7,2 D {5+,3} 7,2 |
Operation Composite |
v 8.1 | v 6.4 = v 3 u |
v 7.3 | v 8.2 = wcz |
v 6.5 = v 6 = vrv 3.1 |
vv 9,1 = vv 3,1 |
v 7.4 | v 8.3 | v 9.2 | v 7.5 | v 10.1 = v 4 n |
v 8,4 = vuu |
v 9.3 = v 3.1 x |
v 7.6 = v 7 | v 8.6 v 4 u |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 73 | 76 19×4 |
79 | 84 7×4×3 |
91 13×7 |
93 | 97 | 103 | 109 | 111 37×3 |
112 7×4×4 |
117 13×9 |
127 | 148 37×4 | |
háromszög alakú arc |
|||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
v 8.1 I {3.5+} 8.1 |
v 3 ui { 3.5+ } 6.4 |
v 7.3 I {3.5+} 7.3 |
vunI {3.5+} 8.2 |
vv3.1I {3.5+} 6.5 |
vrv3.1I {3.5+} 9.1 |
v 7.4 I {3.5+} 7.4 |
v 8.3 I {3.5+} 8.3 |
v 9.2 I {3.5+} 9.2 |
v 7.5 I {3.5+} 7.5 |
v 4 nI {3.5+} 10.1 |
vuui {3.5+} 8.4 |
v 3.1xI { 3.5+ } 9.3 |
v 7 I {3.5+} 7.6 |
v 4 ui { 3.5+ } 8.6 |
Operátor | w 8.1 | wrw 3.1 | w 7.3 | w3,1c | wcz | w 3,1 w | w 7.4 | w 8.3 | w 9.2 | w 7,5 | w 4 z | wcc | w 3,1 év | w 7 | w 4 c |
Conway dodekaéder |
w 8,1 D {5+,3} 8,1 |
w 3 cD {5+,3} 6.4 |
w 7,3 D {5+,3} 7,3 |
wczD {5+,3} 8.2 |
ww3,1D {5+,3} 6.5 |
wrw3,1D {5+,3} 9,1 |
w 7,4 D {5+,3} 7,4 |
w 8,3 D {5+,3} 8,3 |
w 9,2 D {5+,3} 9,2 |
w 7,5 D {5+,3} 7,5 |
w4zD { 5 +,3} 10.1 |
wccD {5+,3} 8.4 |
w 3,1 yD {5+,3} 9,3 |
w 7 D {5+,3} 7.6 |
w 4 cD {5+,3} 8.6 |
A műveletek megismétlése, kezdve egy egyszerű formával, nagy számú felülettel rendelkező poliédereket eredményezhet, amelyek megőrzik a mag szimmetriáját.
t6dtT
atT
tatT
stT
XT (10e)
dxt (10e)
m3T
b3T
dHccC
dFtO
Fto
daC Archivált : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (2e)
cC (4e) * Archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél
dcC (4e) * Archivált 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél
cO archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (4e)
akC (6e) * Archivált 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél
dakC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (6e)
m3C (6e)
m3O (6e)
b3C (6e)
b3O(6e)
atC Archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (6e)
qC(6e)
edaC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (8e)
dktO=tkC Archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (9e)
taaC (12e) * Archivált 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél
XO (10e)
XC (10e)
dXO (10e)
dXC (10e)
cdkC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (12e)
ccC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (16e)
tkdkC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (18e)
tatO archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (18e)
tatC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (18e)
l6l8taC archiválva : 2017. március 4., a Wayback Machine -nél (22e)
ccdkC archiválva 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél (48e)
wrwC archiválva : 2017. január 16., a Wayback Machine -nél (49e)
cccC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (64e)
tktkC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (81e)
H1taC
H2taC
dH1taC
dH2taC
wC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (7e)
saC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (10e)
gaC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (10e)
saC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (10e)
stO Archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (15e)
stC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (15e)
kD Archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine = daD (2e)
kD (3e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
dkD=tI (3e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
cI(4e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
t5daD = cD (4e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
dcI (4e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
dakD (6e) * Archivált 2017. március 3-án a Wayback Machine -nél
atD Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (6e)
atI = akD (6e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
qD archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (6e)
m3D (6e)
m3I (6e)
b3D (6e)
b3I (6e)
edaD (8e) * Archivált 2017. március 3-án a Wayback Machine -nél
tkdD (9e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
gaD (10e) * Archivált 2017. március 3-án a Wayback Machine -nél
XI (10e)
XD (10e)
dXI(10e)
dXD (10e)
teD (12e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
cdkD archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (12e)
m3aI (12e)
tatI Archivált : 2017. március 3. itt: Wayback Machine = takD (18e)
tatD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (18e)
atkD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (18e)
m3tD (18e)
qtI archiválva : 2017. március 4., a Wayback Machine = t5t6otI (18e)
dqtI archiválva : 2017. március 4., a Wayback Machine = k5k6etI (18e)
actI Archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (24e)
kdktI archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (27e)
tktI archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (27e)
dctkD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (36e)
ctkD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (36e)
k6k5tI Archivált : 2017. március 3. a Wayback Machine -nál
kt5daD Archivált : 2017. március 3. a Wayback Machine -nál
dHtmD
F1taD
F2taD
dF1taD
dF2taD
dsD (5e)
SD (5e)
wD(7e)
k5sD (7e)
sAD (10e)
sAD (10e)
g3D (11e)
s3D (11e)
g3I (11e)
s3I (11e)
stI (15e)
stD(15e)
wtI(21e)
k5k6stI (21e)
t4daA4=cA4
t4daA4=cA4 (oldal)
t4daA4=cA4 (felül)
tA4
tA5
htA2
htA3=I
htA4
htA5
eP3 = aaP3
eA4 = aaA4
A toroid burkolólapok lapos tóruszon , egy duóhenger felületén léteznek 4D-s térben, de kivetíthetők a 3D-s térbe, mint egy szabályos tórusz . Ezek a burkolólapok topológiailag hasonlóak az euklideszi sík burkolatainak részhalmazaihoz.
1x1 szabályos négyzet alakú tórusz, {4,4} 1.0
Szabályos 4x4 négyzet alakú tórusz, {4,4} 4.0
tQ24×12 vetítés a tóruszra
taQ24×12 tórusz vetület
actQ24×8 vetítés a tóruszra
tH24×12 tórusz vetület
taH24×8 tórusz vetület
kH24×12 tórusz vetület
tQ
cQ
akQ
HDXQ
dHdXQ
tH
cΔ
CH
ctH
dakH
aaaH
aaaH, egyenlő oldalú