Conway-jelölés a poliéderekhez

A Conway által kifejlesztett és Hart által népszerűsített Conway - jelölés a politópokra egy magpolitóp (vagyis más létrehozására használt) politóp alapján írható le , amelyet különféle előtag- műveletekkel módosítottak .

Conway és Hart kiterjesztette az ötletet, hogy olyan operátorokat használjanak, mint a Kepler csonkítási operátora , hogy azonos szimmetriájú összekapcsolt poliédereket hozzanak létre. Az alap operátorok minden arkhimédeszi és katalán szilárdtestet generálhatnak a megfelelő magokból. Például t C egy csonka kockát jelent , és taC, amelyet t(aC-ként kapunk), egy csonka oktaéder . A legegyszerűbb kettős operátor csúcsokat és lapokat cserél. Tehát a kocka kettős poliédere egy oktaéder - dC \ u003d O. Szekvenciálisan alkalmazva ezek az operátorok sok magasrendű poliéder létrehozását teszik lehetővé. A kapott poliéderek fix topológiájúak lesznek (csúcsok, élek, lapok), míg a pontos geometria nincs korlátozva.

A szabályos poliéder magpoliédereket (angol) nevük első betűje jelzi ( T etrahedron = tetraéder, O ctahedron = oktaéder, C ube = kocka, I cosahedron = ikozaéder, D odekaéder = dodekaéder). Ezen kívül prizmák ( P n - p rismából n -szögű prizmák esetén), antiprizmák ( A n - A ntiprizmákból), kupolák ( U n - c u polae-ból), antidóm ( V n ) és piramisok ( Y n - p y ramidból). Bármely poliéder magként működhet, ha műveleteket lehet végrehajtani rajta. Például a szabályos fazettált poliédereket J n - ként jelölhetjük (a J ohnson testekből = Johnson testek ) n = 1…92 esetén.

Általános esetben nehéz megjósolni, hogy egy adott magpoliéderen két vagy több művelet egymást követő alkalmazása milyen eredményt ér el. Például a kétszer alkalmazott ambo művelet megegyezik a kiterjesztési művelettel, aa = e , míg az ambo művelet utáni csonkítási művelet ugyanazt adja, mint a ta = b ferde művelet . Nincs olyan általános elmélet, amely leírná, hogy milyen poliédereket kaphatunk bizonyos operátorkészlettel. Éppen ellenkezőleg, minden eredményt empirikusan kaptunk .

Műveletek politópokon

A táblázat elemei egy ( v , e , f ) paraméterekkel (csúcsok, élek, lapok) rendelkező magra vannak megadva, amelyek új típusokká alakultak, feltéve, hogy a mag egy konvex poliéder ( 2. Euler-karakterisztikával rendelkező topológiai gömb ). Minden operátorhoz egy kockamagon alapuló példát adunk. Az alapműveletek elegendőek tükörszimmetrikus egyenletes poliéderek és duálisaik előállításához. Néhány alapművelet más műveletek összetételével is kifejezhető .

Különleges típusok

A "kis" műveletnek van egy k n változata , ebben az esetben csak gúlákat adnak az n oldalú lapokhoz . A csonkítási műveletnek van egy t n változata, ebben az esetben csak az n rendű csúcsok csonkolódnak .

Az operátorokat a funkciókhoz hasonlóan jobbról balra alkalmazzuk. Például a kuboktaéder egy ambo-kocka (olyan kocka, amelyre az ambo-műveletet alkalmazzuk), azaz t(C) = aC , a csonka kuboktaéder pedig t(a(C)) = t(aC) = taC .

Chiralitás operátor

A táblázatban szereplő műveletek egy példakockán láthatók, és a kocka felületére vannak rajzolva. A kék lapok metszik az eredeti éleket, a rózsaszín lapok az eredeti csúcsoknak felelnek meg.

Alapműveletek
Operátor Példa Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda szempontok Leírás
mag v e f Kezdeti poliéder
r tükrözik v e f Tükörkép királis formákhoz
d dupla f e v Kettős mag poliéder – minden csúcs új arcot hoz létre
a Ambo dj
djd
e 2e _ f + v Új csúcsok kerülnek hozzáadásra az élek közepére, a régi csúcsok pedig levágásra kerülnek ( rectify )
A művelet 4-es vegyértékkel rendelkező csúcsokat hoz létre.
j csatlakozik da
apa
v + f 2e _ e A maghoz megfelelő magasságú piramisokat adunk, így két különböző piramishoz tartozó háromszög, amelyeknek közös oldala a magnak, egysíkúak lesznek (ugyanazon a síkon fekszenek), és új lapot képeznek.
A művelet négyzet alakú lapokat hoz létre.
k
k n
kis nd = dz
dtd
v + f 3e _ 2e _ Mindegyik lapon egy piramis található.
Akizáció vagy kumuláció, [1] növekedés vagy piramis tágulás .
t
t n
csonka nd = dz
dkd
2e _ 3e _ v + f Levágja az összes csúcsot.
A művelet a kis szóhoz kapcsolódik
n kd = dt
dzd
v + f 3e _ 2e _ A kettős poliéder egy csonka maghoz. A lapok háromszöggel vannak ellátva minden élhez két háromszöggel. Ez kettévágja a lapokat az összes csúcson és élen keresztül, miközben eltávolítja az eredeti éleket.
A művelet az ( a , b ) geodéziai politópot ( a +2 b , a - b ) alakra alakítja át a > b esetén . Ezenkívül ( a ,0) -t ( a , a ), ( a , a )-t (3 a ,0), (2,1)-t (4,1)-re stb.
z postai irányítószám dk = td
dnd
2e _ 3e _ v + f A kettős politóp a maghoz a kis művelet vagy a kettős politóp csonkolása után. A művelet új éleket hoz létre, amelyek merőlegesek az eredeti élekre. A műveletet bitruncation-nek is nevezik ( deep truncation ).
Ez a művelet az G ( a , b ) Goldberg-politópot G ( a + 2b , a - b ) -vé alakítja a > b esetén . A G ( a ,0) -t G ( a , a ), a G ( a , a ) -t G -vé (3 a ,0), a G (2,1) -t G - vé (4,1) alakítja át, és így tovább.
e kiterjeszteni
(nyújtani)
aa
dod = csinálni
2e _ 4e _ v + e + f Minden csúcs egy új lapot hoz létre, és minden él egy új négyzetet. ( kantellát = ferde)
o orto daa
ded = de
v + e + f 4e _ 2e _ Minden n -szögű lap n négyszögre van felosztva.

rg = g _
giroszkóp dsd = ds v + 2e + f 5e _ 2e _ Minden n -szögű lap n ötszögre van felosztva .
s
rs = s
pisze dgd = dg 2e _ 5e _ v + 2e + f "tágulás és torzió" - minden csúcs egy új lapot, és minden él két új háromszöget alkot
b ferde dkda = ta
dmd = dm
4e _ 6e _ v + e + f Élek és csúcsok helyett új lapok kerülnek hozzáadásra. (cantruncation = bevel- truncation )
m meta
mediális
kda = kj
dbd = db
v + e + f 6e _ 4e _ Háromszögelés csúcsok hozzáadásával a lapok és élek középpontjában.

A megfelelő magvak kialakulása

Mind az öt szabályos politóp előállítható prizmatikus generátorokból nulla-két operátor használatával:

A helyes euklideszi burkolóanyag magként is használható:

Példák

A kocka alkothat minden konvex egyenletes poliédert oktaéderes szimmetriával . Az első sor az arkhimédészi testeket mutatja , a második pedig a katalán testeket . A második sor kettős poliéderként van kialakítva az első sor poliéderéhez. Ha minden új poliédert összehasonlítunk egy kockával, megérthetjük a vizuálisan végrehajtott műveleteket.

Kocka
"mag"
Ambo csonka postai irányítószám kiterjed ferde pisze

CdO_
_
CDel csomópont 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

aC
aO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel csomópont 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

tC
zO
CDel csomópont 1.pngCDel 4.pngCDel csomópont 1.pngCDel 3.pngCDel node.png

zC = dkC
tO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel csomópont 1.pngCDel 3.pngCDel csomópont 1.png

aaC =
eCeO
CDel csomópont 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel csomópont 1.png

bC = taC
taO
CDel csomópont 1.pngCDel 4.pngCDel csomópont 1.pngCDel 3.pngCDel csomópont 1.png

sC
sO
CDel csomópont h.pngCDel 4.pngCDel csomópont h.pngCDel 3.pngCDel csomópont h.png
dupla csatlakozik kis orto középső giroszkóp

dCO_
_
CDel csomópont f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

jC
jO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel node.png

dtC =
kdC kO
CDel csomópont f1.pngCDel 4.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel node.png

kC
dtO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.png

oC
oO
CDel csomópont f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.png

dtaC = mC
mO
CDel csomópont f1.pngCDel 4.pngCDel csomópont f1.pngCDel 3.pngCDel csomópont f1.png

gC
goO
CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png

Egy csonka ikozaéder , tI vagy zD, amely egy Goldberg G(2,0) politóp, további politópokat hoz létre, amelyek sem nem csúcs- , sem nem arc-tranzitívak .

Csonka ikozaéder , mint mag
"mag" Ambo csonka postai irányítószám kiterjesztés ferde pisze

zD
tI Archivált 2016. október 21-én a Wayback Machine -nél

azI
atI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

tzD
ttI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

tdzD
tdtI archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine -nél

aazD = ezD
aatI = etI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

bzD
btI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

szD
stI Archivált 2017. február 1. a Wayback Machine -nél
dupla csatlakozik kis orto középső giroszkóp

dzD
dtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nál

jzD
jtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

kdzD
kdtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

kzD
ktI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

ozD
otI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

mzD mtI
Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél

gzD
gtI Archiválva : 2017. február 1., a Wayback Machine -nél

Származtatott formák geometriai koordinátái

Általános esetben a vetőmag a felület burkolásaként fogható fel. Mivel az operátorok topológiai műveleteket képviselnek, a származtatott formák csúcsainak pontos helyzete általában nincs meghatározva. A konvex szabályos politópok, mint magok, egy gömb csempéjének tekinthetők, és ezért a származtatott politópokat úgy tekinthetjük, mint amelyek egy gömbön helyezkednek el. A hagyományos sík burkoláshoz, például a hatszögletű parkettához hasonlóan a gömbön lévő poliéderek a származtatott burkolólapok magjaként működhetnek. A nem domború poliéderek magokká válhatnak, ha a csúcsok helyzetét korlátozó topológiai felületek vannak definiálva. Például a toroid poliéderek más poliédereket is létrehozhatnak, amelyek pontjai ugyanazon a tórikus felületen vannak.

Példa: Dodekaéder mag gömb alakú burkolóanyagként

D

tD

hirdetés

zD = dkD

szerk

bD = taD

SD

dd

nD = dtD

jD = daD

kD = dtdD

oD = deD

mD=dtaD

gD
Példa: Euklideszi hatszögletű burkolómag (H)

H

th

aH

tdH = H

eH

bH = taH

SH

dH

nH = dtH

jH = daH

dtdH = kH

oH = deH

mH = dtaH

gH = dsH

Származékos műveletek

Két vagy több alapművelet összekeverése sokféle formát eredményez. Sok más származékos művelet is létezik. Például két ambo, kis vagy expand művelet keverése kettős művelettel. Alternatív operátorok (például join, truncate, ortho, bevel és mediális) használata leegyszerűsítheti a neveket és eltávolíthatja a kettős operátorokat. A derivált műveletek éleinek teljes száma kiszámítható az egyes operátorok szorzóival.

Üzemeltető(k) d aj
_
k , t
n , z
e
o
gs_
_
a & k a & e k & k k & e
k & a 2
e & e
él szorzó egy 2 3 négy 5 6 nyolc 9 12 16
Egyedi származékos operátorok nyolc 2 nyolc tíz 2

A táblázatban szereplő műveletek egy kockára vonatkoznak (mint egy magra), és a kocka felületére rajzolódnak ki. A kék lapok metszik az eredeti éleket, a rózsaszín lapok pedig az eredeti csúcsoknak felelnek meg.

Származékos műveletek
Operátor Példa Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda szempontok Leírás
mag v e f Kezdeti poliéder
nál nél akd
3e _ 6e _ v + 2e + f ambo művelet csonka után
jk dak v + 2e + f 6e _ 3e _ kis után csatlakozzon a művelethez. Hasonló az orto -hoz , azzal a különbséggel, hogy az új négyzet alakú lapok az eredeti élek helyére kerülnek beillesztésre
ak napok 3e _ 6e _ v + 2e + f Ambó hadművelet kis után. Hasonló a kibontáshoz, azzal a különbséggel, hogy az eredeti élekhez új csúcsok adnak hozzá két háromszöget.
jt dakd = dat v + 2e + f 6e _ 3e _ csonkítás után kapcsolja be a műveletet. A kettős poliéder a műveletek után kapotthoz csonkol, majd ambo
tj dka 4e _ 6e _ v + e + f csonka csatlakozás
ka v + e + f 6e _ 4e _ kis ambo
ea vagy ae aaa 4e _ 8e _ v + 3e + f kiterjesztett ambo működés, hármas ambo működés
oa vagy je daaa = jjj v + 3e + f 8e _ 4e _ Orth műtét ambo után, tripla csatlakozás művelet
x = kt felemel kdkd
dtkd
v + e + f 9e _ 7e _ Műveletek kis csonkítás, háromszögelés, élek 3 részre osztása és új csúcsok hozzáadása az eredeti lapok közepéhez.
A művelet az ( a , b ) geodéziai politópot (3 a ,3 b ) alakítja át .
y = tk ránt dkdk
dktd
v + e + f 9e _ 7e _ Műveletek kis csonkolása, hatszögekkel történő bővítés minden él körül
A művelet a Goldberg-poliédert G ( a , b ) G -vé alakítja (3 a ,3 b ).
nk kdk = dtk = ktd 7e _ 9e _ v + e + f tűcsók
tn dkdkd = dkt = tkd 7e _ 9e _ v + e + f csonka tű
tt dkkd 7e _ 9e _ v + e + f kettős csonka művelet
kk dttd v + 2e + f 9e _ 6e _ kettős művelet kis
nt kkd = dtt v + e + f 9e _ 7e _ tű csonka
tz dkk = ttd 6e _ 9e _ v + 2e + f csonka cipzár
ke kaa v+3e+f 12e 8e Kis terjeszkedik
nak nek dkaa 8e 12e v+3e+f csonka orto
ek aak 6e 12e v+5e+f bővíteni kis
rendben daak = dek v+5e+f 12e 6e orthokis
et aadkd 6e 12e v+5e+f kiterjesztett csonka művelet
ot daadkd = det v+5e+f 12e 6e orto csonka
te vagy ba dkdaa 8e 12e v+3e+f csonka kiterjeszti
ko vagy ma kdaa = dte
ma = mj
v+3e+f 12e 8e kis ortho
ab vagy am aka = ata 6e _ 12e _ v + 5e + f ambo ferde
jb vagy jm daka = adat v + 5e + f 12e _ 6e _ csatlakozott ferde
ee aaaa v+7e+f 16e 8e duplán bővíteni
oo daaaa = dee 8e 16e v+7e+f kettős orto

Királis derivált műveletek

Vannak más származtatott műveletek is, ha a giroszkópot az ambo, kis vagy expand műveletekkel és legfeljebb három kettős művelettel használják.

Üzemeltető(k) d a k e g a&g k&g például g&g
él szorzó egy 2 3 négy 5 tíz tizenöt húsz 25
Egyedi származékos operátorok négy nyolc négy 2
Királis gyermekműtétek
Operátor Példa Név Épület csúcsok borda arcok Leírás
mag v e f Kezdeti poliéder
ag mint
djsd = djs
v + 4e + f 10e _ 5e _ Ambo giroszkóp
jg dag = js
dasd = das
5e _ 10e _ v + 4e + f csatlakozott a giroszkóphoz
ga gj
dsjd = dsj
v + 5e + f 10e _ 4e _ gyro ambo
sa dga = sj
dgjd = dgj
4e _ 10e _ v + 5e + f snub ambo
kg dtsd = dts v + 4e + f 15 e 10e _ kis gyro
ts dkgd = dkg 10e _ 15 e v + 4e + f csonka pofa
gk dstd v + 8e + f 15 e 6e _ gyrokis
utca dgkd 6e _ 15 e v + 8e + f csonka csonkítás
sk dgtd v + 8e + f 15 e 6e _ snubkis
gt dskd 6e _ 15 e v + 8e + f giroszkóp csonkítás
ks kdg
dtgd = dtg
v + 4e + f 15 e 10e _ csók csók
tg dkdg
dksd
10e _ 15 e v + 4e + f csonka giroszkóp
például es
aag
v + 9e + f 20e _ 10e _ kiterjesztett giroszkóp
og os
daagd = daag
10e _ 20e _ v + 9e + f kitágult pofa
ge menj
gaa
v + 11e + f 20e _ 8e _ gyro bővíteni
se tehát
dgaad = dgaa
8e _ 20e _ v + 11e + f pofátlanul terjeszkedik
gg gs
dssd = dss
v + 14e + f 25e _ 10e _ dupla giroszkóp
ss vmi
dggd = dgg
10e _ 25e _ v + 14e + f kettős pofa

Kiterjesztett operátorok

Ezeket a kiterjesztett utasításokat nem lehet általánosan létrehozni a fenti alapműveletek segítségével. Egyes operátorok speciális esetként is létrehozhatók k és t operátorokkal, de alkalmazhatók bizonyos lapokra és csúcsokra. Például egy cC lesarkított kocka megszerkeszthető t4daC - ként heexekontaéderalakúdelta,csúcsokkalcsonkavegyértékű4ként-jCvagyként-daC,dodekaéderkéntrombikus, pedig deD - ként vagy oD -ként 5-ös vegyértékcsonkítással.

Egyes kiterjesztett operátorok sorozatot alkotnak, amelyeket egy szám követ. Például az orto egy négyzetlapot 4 négyzetre, míg az o3 9 négyzetre oszthat. Az o3 egy egyedi konstrukció, míg az o4 -t oo -ként kaphatjuk meg , az orto operátort kétszer alkalmazzuk. A padláskezelő tartalmazhat egy indexet, mint a kis operátor , hogy az alkalmazást meghatározott számú oldallal rendelkező arcra korlátozza.

A letörés művelet egy Goldberg G(2,0) poliédert hoz létre új hatszögekkel az eredeti lapok között . Az egymást követő letörési műveletek létrehozzák a G(2 n ,0).

Speciális műveletek
Operátor Példa Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda arcok Leírás
mag v e f Kezdeti poliéder
c (a c kalapácsból) letörés dud v  + 2e  4e _ f  +  e A bordák csonkítása.
Élek helyett új hatszögletű lapok kerülnek beillesztésre.
Goldberg poliéder (0,2)
- - dc f  +  e 4e _ v  + 2e művelet kettős letörés után
u s u bdivid dcd v+e 4e f+2e Ambo művelet az eredeti csúcsok megőrzése mellett
A művelet hasonló a Felületi felosztási hurokhoz háromszöglapok esetén
- CD f+2e 4e v+e Kettős művelet a felosztás után
lln
_ _
tetőtér _ v + 2e  5e _ f + 2e Az egyes oldalak meghosszabbítása egy prizmával , és az egyes lapok egy kisebb példányának hozzáadása a belső és a külső felület közé trapézokkal.
dl
dln _
f + 2e  5e _ v + 2e A padlás után kettős működés
ld
l n d
f + 2e  5e _ v + 2e Működési padlás dual után
dld
dl n d
v + 2e  5e _ f + 2e Tetőtérrel kapcsolatos művelet
dL0 f +3 e 6e _ v + 2e Működés kettős csipke után
L0d f + 2e 6e _ v +3 e illesztett-csipke művelet duál után
dL0d v +3 e 6e _ f + 2e Összefűzött csipkével kapcsolatos művelet
q q uinto v+3e 6e f+2e Az orto művelet, majd az eredeti lapok közepén található csúcsok csonkítása.
A művelet 2 új ötszöget hoz létre minden eredeti élhez.
- dq f+2e 6e v+3e A kettős művelet a kvinto után
qd v+2e 6e f+3e A quinto művelet a duál után
- dqd f+3e 6e v+2e A quintohoz kapcsolódó művelet
L0 összefűzött-csipke v + 2e 6e _ f +3 e Hasonló a csipkeművelethez, de az eredeti élek helyén új négylappal
L
L n
L ász v + 2e 7e _ f +4 e Minden lap meghosszabbítása egy antiprizmával , és mindegyik lap elforgatott, kisebb másolatának hozzáadása a régi és az új lapok közé háromszögekkel.
Egy index hozzáadásával korlátozható a művelet egy adott számú oldallal rendelkező arcra.
dL
dLn _
f +4 e 7e _ v + 2e dupla kezelő a fűzés után
Ld
Ld n
f + 2e 7e _ v + 4e csipke operátor duál után
dLd
dL n d
v + 4e 7e _ f + 2e Műveletek sorrendje duál, csipke, duál
K
K n
sta K e v+2e+f 7e 4e Arcfelosztás középső négyszögekkel és háromszögekkel.
Egy index hozzáadásával korlátozható a művelet egy bizonyos számú oldallal rendelkező arcra.
d K
dK n
4e 7e v+2e+f Művelet kettős tét után
kd v+2e+f 7e 4e tét művelet duál után
d K d 4e 7e v+2e+f A téthez kapcsolódó művelet
M3 él-mediális-3 v+2e+f 7e 4e Működése hasonló az m3-hoz, de nem adnak hozzá átlós éleket
dM3 4e 7e v+2e+f Kettős működés az él-mediális-3 után
M3d v+2e+f 7e 4e él-mediális-3 művelet kettős után
dM3d 4e 7e v+2e+f Az él-mediális-3- hoz kapcsolódó művelet
M0 mediálishoz csatlakozott v+2e+f 8e 5e A művelet hasonló a mediálishoz, de az eredeti élek helyett rombusz alakú lapokat adunk hozzá.
d M0 v+2e+f 8e 5e Kettős működés csatlakoztatott-mediális után
M0 d v+2e+f 8e 5e összekapcsolt-mediális művelet duális után
d M0 d 5e 8e v+2e+f Az egyesített-mediálishoz kapcsolódó művelet
m3 mediális-3 v+2e+f 9e 7e Háromszögelés élenként két csúcs hozzáadásával és egy csúcs minden lap közepén.
b3 ferde-3 dm3 7e 9e v+2e+f A mediális-3 után kettős művelet
m3d 7e 9e v+2e+f Művelet mediális-3 duál után
dm3d v+2e+f 9e 7e A mediális-3-mal kapcsolatos művelet
o3 orto-3 de 3 v + 4e 9e _ f +4 e Orth operátor élosztással 3-mal
e3 bővíteni-3 csináld 3 f +4 e 9e _ v + 4e operátor bővítése az élek 3-mal való osztásával
x kereszt v + f + 3 e 10e _ 6e _ A kis és a subdivide műveletek kombinációja . A kezdeti éleket kettéosztjuk, és három- és négyszöglapokat alakítunk ki.
dX 6e _ 10e _ v + f + 3 e Művelet kettős kereszt után
xd 6e _ 10e _ v + f + 3 e keresztművelet dual után
dXd v + f + 3 e 10e _ 6e _ A kereszthez kapcsolódó művelet
m4 mediális-4 v+3e+f 12e 8e Háromszögelés 3 csúcs hozzáadásával minden élhez és csúcsok mindegyik lap közepéhez.
u5 felosztás-5 v + 8e 25e _ f + 16e 5 részre osztott élek
Ez a művelet az éleket és a lapokat úgy osztja fel, hogy minden új csúcs körül 6 háromszög alakul ki.

Kiterjesztett királis operátorok

Ezeket az operátorokat nem lehet általánosan előállítani a fent felsorolt ​​alapműveletekből. A geometrikus művész, Hart létrehozott egy műveletet, amelyet propellernek nevezett .

Fejlett királis műveletek
Operátor Példa Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda szempontok Leírás
"Mag" v e f Kezdeti poliéder

rp = p _
propeller v  + 2e 5e _ f  + 2e giroszkóp művelet, amit ambo követ az eredeti lapok középpontjában lévő csúcsokon
- - dp=pd f  + 2e 5e _ v  + 2e Ugyanazok a csúcsok, mint a giroszkópban, de az eredeti csúcsok helyén élek vannak kialakítva
- 4e _ 7e _ v + 2e + f A művelet hasonló a snub -hoz , de az eredeti lapokon ötszögek vannak a kerületükön háromszögek helyett.
- - - v + 2e + f 7e _ 4e _
w = w2 = w2,1
rw = w
örvény v+4 e 7e _ f+ 2e A giroszkóp művelet, amelyet az eredeti lapok közepén lévő csúcsok csonkolása követ.
A művelet 2 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (2,1) A wrw
derivált operátor G(a,b)-t G(7a,7b)-vé alakítja.

rv = v _
hangerő dwd f+ 2e 7e _ v+4 e dupla operátor örvény után, vagy snub, majd kis az eredeti arcokon.
A kapott vrv operátor az (a,b) geodéziai poliédert (7a,7b) alakítja át.
g3
rg3 = g3
giroszkóp-3 v + 6e 11 e f +4 e A giroszkóp művelet 3 ötszöget hoz létre minden forrásél mentén
s3
rs3 = s3
snub-3 dg 3 d = dg 3 f +4 e 11 e v + 6e A gyro-3 utáni kettős művelet, az éleket 4 középső háromszögre osztó snub művelet, az eredeti csúcsok helyén háromszögekkel
w3.1
rw3.1 = w3.1
örvény-3.1 v+ 8e 13e _ f+4 e A művelet 4 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (3,1)
w3 = w3,2
rw3 = w3
örvény-3,2 v+ 12e 19e _ f+ 6e A művelet 12 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (3,2)

Az eredeti éleket megőrző műveletek

Ezek a bővítési műveletek elhagyják az eredeti éleket, és lehetővé teszik az operátor alkalmazását az oldalak bármely független részhalmazára. A Conway-féle jelölés egy további indexet tart fenn ezekhez a műveletekhez, amely jelzi a műveletben érintett lapok oldalainak számát.

Operátor kis csésze egy csésze padlástér csipke tét kis-kis
Példa kC UC VC lC LC KC kkC
borda 3e _ 4 e - f 4 5 e - f 4 5e _ 6e _ 7e _ 9e _
Kép
a kockán
Kiterjesztés Piramis kupola antidóm Prizma antiprizma

Coxeter operátorok

A Coxeter / Johnson operátorok néha hasznosak Conway operátorokkal keverve. Az érthetőség kedvéért Conway jelölésében ezeket a műveleteket nagybetűkkel adjuk meg. A Coxeter t-jelölése a forró köröket Coxeter-Dynkin diagram indexeiként határozza meg . Így a táblázatban a nagy T 0,1,2 indexekkel a megfelelő magból homogén operátorokat határoz meg. A nulla index a csúcsokat, az 1 az éleket, a 2 pedig az oldalakat jelöli. T = T 0.1 esetén ez egy normál csonkítás, az R = T 1 pedig egy teljes csonkítás vagy egyengető művelet , ugyanaz, mint a Conway ambo operátora . Például r{4,3} vagy t 1 {4,3} a cuboctahedron Coxeter-neve , a csonka kocka pedig RC , ami megegyezik Conway ambo kockájával , aC .

Kibővített Coxeter műveletek
Operátor Példa Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda szempontok Leírás
T0_ _ , t 0 {4,3} "Mag" v e f mag formája
R = T1_ _ , t 1 {4,3} helyesbíteni a e 2e _ f + v Ugyanúgy, mint az ambo , új csúcsok kerülnek az élek közepére, és új lapok váltják fel az eredeti csúcsokat.
Minden csúcsnak van 4-es vegyértéke.
T2_ _ , t 2 {4,3} kettős
birectify
d f e v A magpoliéder kettős működése – minden csúcs új arcot hoz létre
T = T0,1 _ , t 0,1 {4,3} csonka t 2e _ 3e _ v + f Minden csúcs le van vágva.
T 1.2 , t 1,2 {4,3} bitruncate z = td 2e _ 3e _ v + f Ugyanaz, mint a zip
RR = T 0,2 , t 0,2 {4,3} kantella aa = e 2e _ 4e _ v + e + f Ugyanaz, mint a bővítés
TR = T 0,1,2 , t 0.1.2 {4.3} nem tudok futni ta 4e _ 6e _ v + e + f Ugyanaz, mint a ferde

Féloperátorok

Coxeter félig vagy félig operátora , H ( félből ) felére csökkenti az egyes lapok oldalainak számát, és négylapokká alakítja digonokat , amelyeknek két éle köti össze a két csúcsot, és ez a két él helyettesíthető egyetlen éllel. . Például a félkocka, h{4,3}, félkocka HC, amely a két tetraéder egyikét képviseli. A Ho az ortho szót ambo / Rectify -ra rövidíti .

Más féloperátorok (féloperátorok) a H operátorral definiálhatók . Conway meghívja a Coxeter 's Snub operátort S , a félig Ht definíció szerint . A Conway snub s operátora SR . Például az SRC egy snub-kocka , sr{4,3}. A snub Coxeter oktaéder , s{3,4} SO - ként definiálható , a pirit-éder szimmetria konstrukciója szabályos ikozaéderre . Ez összhangban van a szabályos , négyszögletes antiprizma SA 4 -kénti meghatározásával is .

A félgiroszkóp operátor , G , a dHt . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a Conway forgatási operátort g (giroszkóp) GR -ként határozzuk meg . Például a GRC egy giroszkóp, gC vagy egy ötszögletű ikozitetraéder . A GO egy piriteéder szimmetriájú piritoédert definiál , míg a gT ( girotetraéder ) ugyanazt a topológiai poliédert definiálja tetraéderes szimmetriával .

Mindkét S és G operátor megköveteli, hogy a csupasz politópnak páros vegyértékű csúcsai legyenek. Ezekben a féloperátorokban két lehetőség van a fél operátor csúcsváltására . Ez a két konstrukció általában topológiailag nem azonos. Például a HjC vagy egy kockát vagy egy oktaédert határoz meg, attól függően, hogy melyik csúcskészletet választottuk.

A többi operátor csak a páros számú éllel rendelkező politópokra vonatkozik. A legegyszerűbb operátor a semi-join , amely a fél operátor , dHd konjugáltja .

Az F félorto operátor a félig snubhoz van konjugálva. Csúcsot ad a lap közepéhez, és felosztja az összes élt, de a középpontot csak az élek felével köti össze új élekkel, így új hatszögletű lapokat hoz létre. Az eredeti négyzet alakú lapok nem igényelnek központi csúcsot, hanem csak egy élt kell átmenni, ami egy ötszögpárt hoz létre. Például a dodekaéder tetartoid FC -ként szerkeszthető .

Az E félig kiterjesztett operátor Htd vagy Hz . A kezelő háromszög alakú lapokat hoz létre. Például az EC létrehozza a pszeudoikozaéder piroéder szimmetriájú konstrukcióját .

Féloperátorok poliédereken páros oldalszámú lapokkal
Operátor Példa
(mag – kocka)
Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda arcok Leírás
H = H1
H2
félig ambo
H alf
1 és 2
v /2 e - f 4 f - f 4 + v /2 Váltakozó , a csúcsok felének törlése.
A négylapok ( f 4 ) egyetlen élre redukálódnak.
I = I1
I2
félig csonka
1 és 2
v /2+ e 2e _ f + v /2 Minden második csúcsot levág
féltű
1 és 2
dI v /2+ f 2e _ e + v /2 Minden második csúcs tűművelete
F = F1
F2
félorto Flex
1 és
2
dHtd = dHz
dSd
v + e + f - f 4 3 e - f 4 e Dual művelet félig kibontás után - új csúcsok jönnek létre az éleken és a lapok középpontjában, 2 n -szöget n hatszögre osztanak , a négyszöglapok ( f 4 ) nem tartalmaznak majd központi csúcsot, így két ötszögű lap keletkezik.
E = E1
E2
félig kibontott
Eco
1 és 2
Htd = Hz
dF = Sd
dGd
e 3 e - f 4 v + e + f - f 4 A kettős művelet félorto után – új háromszöglapok jönnek létre. Az eredeti lapokat fele oldalú sokszögekre cseréljük, a négyszögeket ( f 4 ) egyszeres élekre redukáljuk.
U = U 1
U 2
félcsipke
C U p
1 és 2
v + e 4 e - f 4 2 e + f - f 4 Élhosszabbítás kupolákkal .
V = V 1
V 2
félig csipke
Anticup
3 és 4
v + e 5 e - f 4 3 e + f - f 4 Élnagyobbítás antidómmal
félmediális
1. és 2
XdH = XJd v + e + f 5e _ 3e _ Alternatív mediális művelet az átlókhoz képest
félmediális
3. és 4
v + e + f 5e _ 3e _ Alternatív művelet mediálisan a mediánokhoz képest (összekapcsolja a szemközti oldalak felezőpontjait)
félferde
1 és 2
dXdH = dXJd 3e _ 5e _ v + e + f Alternatív ferde működés az átlókhoz képest
félferde
3. és 4
3e _ 5e _ v + e + f Alternatív ferde művelet a mediánokhoz képest
Félműveletek páros vegyértékű csúcsú poliédereken
Operátor Példa
(mag – oktaéder)
Név Alternatív
konstrukció
csúcsok borda arcok Leírás
J = J1
J2
félig csatlakoztassa az
1-et és a 2 -t
dhd v - v 4 + f /2 e - v 4 f /2 A kezelő konjugált fele, csatlakoztassa a kezelőt a váltakozó felületeken.
A 4-értékû csúcsok ( v 4 ) 2-értékûekké redukálódnak, és egyetlen éllel helyettesítik.
félkis
1 és 2
dId v + f /2 2e _ f /2+ e Művelet kis fél (felváltva, él mentén nem érintve) arcokra
félcipzár
1 és 2
ID f /2+ e 2e _ v + f /2 Féloldalon cipzárral működik
S = S1
S2
félig snub
1 és 2
Ht
dFd
v - v 4 + e 3 e - v 4 f + e A félgiroszkóp utáni kettős művelet egy sima művelet , amely elforgatja az eredeti lapokat, miközben új háromszög alakú lapokat ad a keletkező hézagokhoz.
G = G1
G2
félgiro
1 és 2
dHt
dS = Fd
dEd
f + e 3 e - v 4 v - v 4 + e A félig snub utáni kettős művelet öt- és hatszögletű felületeket hoz létre az eredeti élek mentén.
félmediális
1. és 2
XdHd = XJ 3e _ 5e _ v + e + f Művelet mediális fél (szél nem érintkező) arcokon
félferde
1 és 2
dXdHd = dXJ v + e + f 5e _ 3e _ Ferde művelet a fél (nem élt érintő) felületeken

Alosztályok

A felosztási művelet az eredeti éleket n új élre osztja, és a lapok belsejét háromszögekkel vagy más sokszögekkel töltik ki.

Négyzetes felosztás

Az orto-operátor két négyszög alfelosztás hatványsorozatára alkalmazható. A faktorizált felosztás eredményeként további felosztások is elérhetők. A szekvenciálisan alkalmazott propeller kezelő 5 orth felosztást eredményez. Ha a magnak nem négyes felülete van, akkor azok kicsinyített másolatok maradnak a páratlan orto-operátorok számára.

Kocka példák
Orto o 2 = o o 3 o 4 = o 2 o 5
= prp
o 6 = oo 3 o 7 o 8 = o 3 o 9 \ u003d o 3 2 o 10 = oo 5
= oprp
Példa
Csúcsok v v + e + f v + 4e v + 7e + f v +12 e v + 17e + f v + 24e v + 31e + f v + 40e v + 63e + f
borda e 4e _ 9e _ 16e _ 25e _ 36e _ 49e _ 64e _ 81 e 128e _
Szempontok f 2e _ f +4 e 8e _ f + 12e 18e _ f + 24e 32e _ f + 40e 64e _
Kibontás
(kettős)
e 2 = e e 3 e4 = e2 _ _ e 5
= dprp
e 6 = ee 3 e 7 e8 = e3 _ _ e 9 \ u003d e 3 2 e 10 = ee 5
= doprp
Példa
Királis hatszögletű felosztás

Az örvény operátor létrehoz egy Goldberg G(2,1) poliédert új hatszögletű lapokkal minden eredeti csúcs körül. Két egymást követő whirl művelet G(3,5) hoz létre. Általánosságban elmondható, hogy az örvényművelet G( a , b )-t G( a +3 b ,2 a - b ) -vé alakíthatja a > b esetén és ugyanabban a királis irányban. Ha a királis irányok megfordulnak, akkor G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) lesz, ha a >=2 b , és G(3 a + b ,2 b - a ) ha a < 2 b .

A whirl- n operátorok Goldberg-politópokat alkotnak ( n , n -1), és úgy határozhatók meg, hogy a csupasz politóp éleit 2 n -1 részélre osztjuk.

A whirl- n művelet eredménye és inverze egy (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg poliédert alkot . wrw (7,0), w 3 rw 3 (19,0), w 4 rw 4 (37,0), w 5 rw 5 (61,0) és w 6 rw 6 (91, 0). Két örvény- n művelet eredménye (( n -1)(3 n -1),2 n -1) vagy (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). w a szorzata w b -vel (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), w a pedig w b inverzével (3ab-a-2b+1,ab) ad. ≥b.

Két azonos operátor örvény szorzata alkotja a Goldberg-politópot (( n -1)(3 n -1),2 n -1 ). A k-örvény és a zip szorzata (3k-2,1).

örvény- n operátorok
Név mag örvény Örvény-3 Örvény-4 Örvény-5 Örvény-6 Örvény-7 Örvény-8 Örvény-9 Örvény-10 Örvény-11 Örvény-12 Örvény-13 Örvény-14 Örvény-15 Örvény-16 Örvény-17 Örvény-18 Örvény-19 Örvény-20 Örvény- n
Kezelő
(összetevő)
- w=w2 w3 w4 w5 w6
wrw 3.1
w7 w8
w3,1w3,1
w9
ww5,1
w10 w11 w12 w13
ww7.2
w14 w15 w16
ww9.2
w17
w3w6,1
w18 w19
w3,1w7,3
w20
ww11.3
w n
Goldberg poliéder (1,0) (2.1) (3.2) (4.3) (5.4) (6.5) (7.6) (8.7) (9,8) (10,9) (11.10) (12.11) (13.12) (14.13) (15.14) (16.15) (17.16) (18.17) (19.18) (20.19) ( n , n - 1)
T
bővítés
egy 7 19 37 61 91
7×13
127 169
13×13
217
7×31
271 331 397 469
7×67
547 631 721
7×103
817
19×43
919 1027
13×79
1141
7×163
3n ( n -1 ) +1
Példa
Csúcs v v + 4e v +12 e v + 24e v + 40e v + 60e v +84 e v +112 e v +144 e v +180 e v + 220e v +264 e v +312 e v +364 e v +420 e v +480 e v +544 e v +612 e v +684 e v +760 e v + 2n ( n -1) e
borda e 7e _ 19e _ 37e _ 61e _ 91 e 127e _ 169e _ 217e _ 271e _ 331e _ 397 e 469 e 547 e 631 e 721e _ 817e_ _ 919e_ _ 1027 e 1141 e e + 3n ( n -1) e
Szempontok f f + 2e f + 6e f + 12e f + 20e f + 30e f + 42e f + 56e f + 72e f + 90e f + 110e f + 132e f +156 e f + 182e f + 210e f + 240e f +272 e f +306 e f + 342e f +380 e f + n ( n - 1) e
w n w n (1,0) (5.3) (16,5) (33,7) (56,9) (85,11) (120,13) (161,15) (208.17) (261,19) (320,21) (385,23) (456,25) (533,27) (616,29) (705,31) (800,33) (901.35) (1008.37) (1121,39) (( n - 1) ( 3n -1), 2n - 1)
w n r w n (1,0) (7.0) (19,0) (37,0) (61,0) (91,0) (127,0) (169,0) (217,0) (271,0) (331,0) (397,0) (469,0) (547,0) (631,0) (721,0) (817,0) (919,0) (1027,0) (1141,0) (1+ 3n ( n -1),0)
w n z (1.1) (4.1) (7.1) (10.1) (13.1) (16.1) (19,1) (22.1) (25.1) (28.1) (31,1) (34,1) (37,1) (40,1) (43,1) (46,1) (49,1) (52,1) (55,1) (58,1) ( 3n -2,1)
Háromszögletű felosztás

Az u n művelet a lapokat háromszögekre osztja úgy, hogy minden élt n részre oszt, ezt Buckminster Fuller geodéziai poliéderének n - frekvenciás felosztásának nevezzük 2] .

A poliéderek Conway-operátorai sok ilyen alfelosztást képesek létrehozni.

Ha az összes eredeti lap háromszög, az új poliéderek mindegyik lapja háromszögként fog szerepelni, és az eredeti lapok helyén háromszög alakú tesszellációk jönnek létre . Ha az eredeti poliédernek több oldalú lapja van, az új lapok nem feltétlenül háromszögek. Ilyen esetekben a poliéder először kis műveletnek vethető alá, minden lap közepén új csúcsokkal.

Példák a kocka felosztására
Operátor u 1 u 2
=u
u3 =
x
u 4
=uu
u 5 u 6
=ux
u 7
\u003d vrv
u 8
=uuu
u9 = xx
Példa

Conway jelölés
C Archiválva : 2017. február 2. a Wayback Machine -nál uC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél xC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nél uuC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél u 5 C uxC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél vrvC archiválva : 2017. március 15. a Wayback Machine -nál uuuC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél xxC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél
Csúcsok v v+e v+e+f v+4e v+8e v+11e+f v+16e v+21e v+26e+f
borda e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e
Szempontok f f+2e 7e f+8e f+16e 24e f+32e f+42e 54e
Teljes háromszögelés
Operátor u 1 k u 2 k
=uk
u 3 k
=xk
u 4 k
=uuk
u 5 k u 6 k
=uxk
u 7 k
\u003d vrvk
u 8 k
=uuuk
u 9 k
=xxk
Példa
Conway kC Archivált : 2017. február 5. a Wayback Machine -nél ukC Archivált : 2017. március 15., a Wayback Machine -nél xkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nál uukC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nál u 5 kC uxkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél vrvkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél uuukC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nál xxkC Archiválva : 2017. március 15., a Wayback Machine -nél
Dual
Goldberg
{3,n+} 1,1 {3,n+} 2,2 {3,n+} 3,3 {3,n+} 4.4 {3,n+} 5.5 {3,n+} 6.6 {3,n+} 7.7 {3,n+} 8.8 {3,n+} 9.9
Geodéziai poliéder

Conway műveletei megduplázhatják a Goldberg-poliéderek egy részét, valamint a kettős-geodéziai poliédereket. A Goldberg-poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak száma G ( m , n ) kiszámítható m -ből és n -ből , és az új háromszögek száma minden eredeti háromszögben a következő képlettel számítható ki: T  =  m 2  +  mn  +  n 2  = ( m  +  n ) 2  −  mn . Az ( m ,0) és ( m , m ) konstrukciók a Conway-műveletek jelölése alatt találhatók.

I. osztály

Kettős Goldberg-politópok esetén az u k operátort itt úgy definiáljuk, mint a lapok felosztását az élek k részre való felosztásával. Ebben az esetben a Conway operátor u = u 2 , és a hozzá tartozó dud operátor a letörés , c . Ezt az operátort a számítógépes grafikában használják , a hurok felosztási sémában . Az u 3 operátort a kt = x Conway operátor adja meg, a hozzá tartozó y = dxd = tk operátort . Két örvényoperátor szorzata kiralitásfordítással, wrw vagy w w 7-es felosztást ad Goldberg-politóp G(7,0) formájában, tehát u 7 = vrv . Kisebb felosztások és királis párokon végzett örvényműveletek további I. osztályú formákat hozhatnak létre.A w(3,1)rw(3,1) művelet a G(13,0) Goldberg-politópot eredményezi. A w(3,2)rw(3,2) művelet eredménye G(19,0).

I. osztály: Felosztási műveletek az ikozaéderen, mint geodéziai poliéderen
( m ,0) (1,0) (2.0) (3.0) (4.0) (5.0) (6.0) (7.0) (8.0) (9,0) (10.0) (11,0) (12,0) (13,0) (14,0) (15,0) (16,0)
T egy négy 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256
Operation
Composite
u 1 u 2 = u
= dcd
u 3 \ u003d x
\ u003d kt
u 4
= u 2 2
= dccd
u 5 u 6 = u 2 u 3
= dctkd
u 7
= v v
= dwrwd
u 8 = u 2 3
= dcccd
u 9 = u 3 2
= ktkt
u 10 = u 2 u 5 u 11 u 12 = u 2 2 u 3
= dccdkt
u 13
v 3.1 v 3.1
u 14 = u 2 u 7
= uv v
= dcwrwd
u 15 = u 3 u 5
= u 5 x
u 16 = u 2 4
= dccccd
háromszög alakú
arc
Icosahedron
Conway
Geodesic

Archiváltam : 2016. december 30. a Wayback Machine { 3.5+ } 1.0 -nál

uI = k5aI Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine
{3.5+} 2.0

xI = ktI Archiválva : 2016. december 30., a Wayback Machine
{3.5+} 3.0

u 2 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 4.0

 
{3.5+} 5.0

uxI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 6.0 -nál

vrvI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 7.0 -nál

u 3 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 8.0

x 2 I Archiválva : 2018. január 8., a Wayback Machine { 3.5+ } 9.0

 
{3.5+} 10.0

 
{3.5+} 11.0

u 2 x I Archiválva : 2017. január 10., a Wayback Machine { 3.5+ } 12.0

 
{3.5+} 13.0

uvrvI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 14.0 -s verziójában

 
{3.5+} 15.0

u 4 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 16.0
Kettős operátor c y
= tk
cc 5 -től cy
= ctk
ww
= wrw _
ccc y 2
= tktk
cc5_ _ 11 -től ccy
= cctk
w 3,1 w 3,1 cw w
= cwrw
c 5 év cccc
Dodekaéder
Conway
Goldberg

D Archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine
{5+,3} 1.0 -nál

cD archiválva : 2016. október 21., a Wayback Machine
{5+,3} 2.0

yD archiválva : 2016. október 21., a Wayback Machine
{5+,3} 3.0

ccD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 4.0 -s verziójában

c 3 D
{5+,3} 5.0

cyD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 6.0 -nál

wrwD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 7.0 -nál

cccD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 8.0 -nál

y 2 D archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 9.0

cc 5 D
{5+,3} 10.0

c 11 D
{5+,3} 11,0

ccyD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{5+,3} 12.0 -nál

w3,1rw3,1D
{5+,3} 13.0

cwrwD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{5+,3} 14.0 -nál

c 5 yD
{5+,3} 15.0

ccccD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
G{5+,3} 16.0 -nál
II. osztály

Egy ortogonális osztás az n = kd operátor segítségével is meghatározható . Az operátor az ( a , b ) geodéziai politópot ( a +2 b , a - b ) alakra alakítja át a > b esetén . Az ( a ,0) -t ( a , a )-ra és ( a , a )-t (3 a ,0) -ra alakítja . A z = dk operátor ugyanezt teszi Goldberg poliéder esetén.

II. osztály: Ortogonális felosztási műveletek
( m , m ) (1.1) (2.2) (3.3) (4.4) (5.5) (6.6) (7.7) (8.8) (9,9) (10.10) (11.11) (12.12) (13.13) (14.14) (15.15) (16.16)
T =
m 2 × 3
3
1×3
12
4×3
27
3×3
48
24×3
75
25×3
108
36×3
147
49×3
192
64×3
243
81×3
300
100×3
363
121×3
432
144×3
507
169×3
588
196×3
675
225×3
768
256×3
Művelet u 1 n
n
= kd
u 2 n
= un
= dct
u 3 n
= xn
= ktkd
u 4 n
= u 2 2 n
= dcct
u 5 n u 6 n
= u 2 = u 3 n
= dctkt
u 7 n
= v v n
= dwrwt
u 8 n
= u 2 3 n
= dccct
u 9 n
= u 3 2 n
= ktktkd
u 10 n
= u 2 u 5 n
u 11 n u 12 n
= u 2 2 u 3 n
= dcctkt
u 13 n u 14 n
= u 2 u 7 n
= dcwrwt
u 15 n
= u 3 u 5 n
u 16 n
= u 2 4 n
= dcccct
háromszög alakú
arc
Icosahedron
Conway
Geodesic

nI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 1.1 -nél

unI archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine
{3.5+} 2.2 -nél

xnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 3.3 -nál

u 2 nI Archiválva : 2016. december 30., a Wayback Machine
{3.5+} 4.4

 
{3.5+} 5.5

uxnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 6.6 -nál

vrvnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 7.7 -nél

u 3 nI Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
-nél {3.5+} 8.8

x 2 nI Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
{3.5+} 9.9 -nél

{3.5+} 10.10

{3,5+} 11.11

u 2 xnI Archivált : 2017. január 10., a Wayback Machine
{3.5+} 12.12 .

{3.5+} 13.13

dcwrwdnI archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine
{3.5+} 14.14 .

{3,5+} 15,15

u 4 nI
{3,5+} 16.16
Kettős operátor z
= dk
cz
= cdk
yz
= tkdk
c 2 z
= ccdk
c5z cyz
= ctkdk
w w z
= wrwdk
c 3 z
= cccdk
y 2 z
= tktkdk
cc5z c11z c 2 yz
= c 2 tkdk
c13z cwwz
= cwrwdk _ _
c3c5z c 4 z
= ccccdk
Dodekaéder
Conway
Goldberg

zD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 1.1 -ben

czD archiválva : 2016. április 7. a Wayback Machine -nél
{5+,3} 2.2

yzD Archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 3.3

cczD archiválva : 2016. április 7. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 4.4

 
{5+,3} 5.5

cyzD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 6.6

wrwzD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 7.7

c 3 zD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 8.8

y 2 zD Archivált : 2017. január 9., a Wayback Machine
{5+,3} 9.9

{5+,3} 10.10

G{5+,3} 11.11

ccyzD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine
-nál {5+,3} 12.12 .

{5+,3} 13.13

cwrwzD Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine
G{5+,3} 14.14 .

{5+,3} 15.15

cccczD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 16.16
III. osztály

A legtöbb geodéziai politóp és a Goldberg-poliéder G(n,m) duálisa nem konstruálható meg Conway-operátorokból származó operátorokkal. Az örvényművelet létrehoz egy Goldberg-poliédert G(2,1), új hatszögletű lapokkal minden eredeti csúcs körül, és n -örvény G( n , n -1) hoz létre. Az ikozaéder szimmetriájú formákon a t5g ebben az esetben egyenértékű az örvényléssel. A v művelet (= v olute = turn) a dual to whirl háromszög felosztást jelenti . Az ikozaéderes formákon a művelet a k5s , pentakis snub derivált operátorral végezhető el .

Két egymást követő örvényművelet létrehozza G(3,5). Általánosságban elmondható, hogy az örvényművelet G( a , b )-t G( a +3 b ,2 a - b ) -vé alakíthatja a > b esetén azonos királis irány mellett. Ha a királis irányt megfordítjuk, akkor G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) lesz, ha a >=2 b , és G(3 a + b ,2 b - a ) ha a < 2 b .

III. osztály: Az egyenlőtlen részekre bontás műveletei
Operation
Composite
v 2,1
= v
v 3.1 v 3,2 = v 3 v4,1 = vn _
v 4,2
= vu
v 5.1 v 4,3 = v 4 v 5.2
= v 3 n
v 6.1 v 6.2
= v 3.1 u
v 5,3
= vv
v 7.1
= v 3 n
v 5,4 = v 5 v 6.3
= vx
v 7.2
T 7 13 19 21
7×3
28
7×4
31 37 39
13×3
43 52
13×4
49
7×7
57
19×3
61 63
9×7
67
háromszög alakú
arc
Icosahedron
Conway
Geodesic

vI
{3.5+} 2.1

v 3.1 I
{3.5+} 3.1

v 3 I
{3.5+} 3.2

vnI archiválva : 2017. február 3. a Wayback Machine
{3.5+} 4.1 -nél

vui
{3.5+} 4.2

{3.5+} 5.1

v 4 I
{3.5+} 4.3

v 3 nI
{3.5+} 5.2

{3.5+} 6.1

v 3.1uI { 3.5+
} 6.2

vvl
{3.5+} 5.3

v 3 nI
{3.5+} 7.1

v 5 I
{3.5+} 5.4

vxI archiválva : 2018. január 8. a Wayback Machine
{3.5+} 6.3 -nál

v 7.2 I
{3.5+} 7.2
Operátor w w 3.1 w 3 wz WC w 5.1 w 4 w 3,1 z w 6.1 w 3,1 s www w 3 z w 5 wy w 7.2

Conway dodekaéder

wD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 2.1 -ben

w 3,1 D
{5+,3} 3.1

w 3 D
{5+,3} 3,2

wzD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 4.1 -nél

wcD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 4.2 -nél

w 5,1 D
{5+,3} 5,1

w 4 D
{5+,3} 4.3

w 3 zD
{5+,3} 5.2

{5+,3} 6.1

w 3,1 cD
{5+,3} 6.2

wwD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine
{5+,3} 5.3 -nál

w 3 zD
{5+,3} 7.1

w 5 D
{5+,3} 5.4

wyD archiválva : 2018. január 8. a Wayback Machine
-nél {5+,3} 6.3

w 7,2 D
{5+,3} 7,2
Egyéb III. osztályú műveletek: Egyenlőtlen részekre bontás műveletei
Operation
Composite
v 8.1 v 6.4
= v 3 u
v 7.3 v 8.2
= wcz
v 6.5 = v 6
= vrv 3.1
vv 9,1
= vv 3,1
v 7.4 v 8.3 v 9.2 v 7.5 v 10.1
= v 4 n
v 8,4
= vuu
v 9.3
= v 3.1 x
v 7.6 = v 7 v 8.6
v 4 u
T 73 76
19×4
79 84
7×4×3
91
13×7
93 97 103 109 111
37×3
112
7×4×4
117
13×9
127 148
37×4
háromszög alakú
arc
Icosahedron
Conway
Geodesic

v 8.1 I
{3.5+} 8.1

v 3 ui { 3.5+
} 6.4

v 7.3 I
{3.5+} 7.3

vunI
{3.5+} 8.2

vv3.1I
{3.5+} 6.5

vrv3.1I
{3.5+} 9.1

v 7.4 I
{3.5+} 7.4

v 8.3 I
{3.5+} 8.3

v 9.2 I
{3.5+} 9.2

v 7.5 I
{3.5+} 7.5

v 4 nI
{3.5+} 10.1

vuui
{3.5+} 8.4

v 3.1xI { 3.5+
} 9.3

v 7 I
{3.5+} 7.6

v 4 ui { 3.5+
} 8.6
Operátor w 8.1 wrw 3.1 w 7.3 w3,1c wcz w 3,1 w w 7.4 w 8.3 w 9.2 w 7,5 w 4 z wcc w 3,1 év w 7 w 4 c

Conway dodekaéder

w 8,1 D
{5+,3} 8,1

w 3 cD
{5+,3} 6.4

w 7,3 D
{5+,3} 7,3

wczD
{5+,3} 8.2

ww3,1D
{5+,3} 6.5

wrw3,1D
{5+,3} 9,1

w 7,4 D
{5+,3} 7,4

w 8,3 D
{5+,3} 8,3

w 9,2 D
{5+,3} 9,2

w 7,5 D
{5+,3} 7,5

w4zD { 5
+,3} 10.1

wccD
{5+,3} 8.4

w 3,1 yD
{5+,3} 9,3

w 7 D
{5+,3} 7.6

w 4 cD
{5+,3} 8.6

Példák a poliéderek szimmetriájára

A műveletek megismétlése, kezdve egy egyszerű formával, nagy számú felülettel rendelkező poliédereket eredményezhet, amelyek megőrzik a mag szimmetriáját.

Tetraéder szimmetria

Oktaéder szimmetria

Királis

Izoéder szimmetria

Királis

Kétszögű szimmetria

Toroidális szimmetria

A toroid burkolólapok lapos tóruszon , egy duóhenger felületén léteznek 4D-s térben, de kivetíthetők a 3D-s térbe, mint egy szabályos tórusz . Ezek a burkolólapok topológiailag hasonlóak az euklideszi sík burkolatainak részhalmazaihoz.

Euklideszi négyzetszimmetria

Euklideszi háromszögszimmetria

Lásd még

Jegyzetek

  1. Kumuláció – a Wolfram MathWorld-től . Letöltve: 2017. október 25. Az eredetiből archiválva : 2017. november 24..
  2. Pugh, 1976 , p. 63.

Irodalom

Linkek