Conway-jelölés a poliéderekhez

A Conway által kifejlesztett és Hart által népszerűsített Conway - jelölés a politópokra egy magpolitóp (vagyis más létrehozására használt) politóp alapján írható le , amelyet különféle előtag- műveletekkel módosítottak .

Conway és Hart kiterjesztette az ötletet, hogy olyan operátorokat használjanak, mint a Kepler csonkítási operátora , hogy azonos szimmetriájú összekapcsolt poliédereket hozzanak létre. Az alap operátorok minden arkhimédeszi és katalán szilárdtestet generálhatnak a megfelelő magokból. Például t C egy csonka kockát jelent , és taC, amelyet t(aC-ként kapunk), egy csonka oktaéder . A legegyszerűbb kettős operátor csúcsokat és lapokat cserél. Tehát a kocka kettős poliédere egy oktaéder - dC \ u003d O. Szekvenciálisan alkalmazva ezek az operátorok sok magasrendű poliéder létrehozását teszik lehetővé. A kapott poliéderek fix topológiájúak lesznek (csúcsok, élek, lapok), míg a pontos geometria nincs korlátozva.

A szabályos poliéder magpoliédereket (angol) nevük első betűje jelzi ( T etrahedron = tetraéder, O ctahedron = oktaéder, C ube = kocka, I cosahedron = ikozaéder, D odekaéder = dodekaéder). Ezen kívül prizmák ( P n - p rismából n -szögű prizmák esetén), antiprizmák ( A n - A ntiprizmákból), kupolák ( U n - c u polae-ból), antidóm ( V n ) és piramisok ( Y n - p y ramidból). Bármely poliéder magként működhet, ha műveleteket lehet végrehajtani rajta. Például a szabályos fazettált poliédereket J n - ként jelölhetjük (a J ohnson testekből = Johnson testek ) n = 1…92 esetén.

Általános esetben nehéz megjósolni, hogy egy adott magpoliéderen két vagy több művelet egymást követő alkalmazása milyen eredményt ér el. Például a kétszer alkalmazott ambo művelet megegyezik a kiterjesztési művelettel, aa = e , míg az ambo művelet utáni csonkítási művelet ugyanazt adja, mint a ta = b ferde művelet . Nincs olyan általános elmélet, amely leírná, hogy milyen poliédereket kaphatunk bizonyos operátorkészlettel. Éppen ellenkezőleg, minden eredményt empirikusan kaptunk .

Műveletek politópokon

A táblázat elemei egy ( v , e , f ) paraméterekkel (csúcsok, élek, lapok) rendelkező magra vannak megadva, amelyek új típusokká alakultak, feltéve, hogy a mag egy konvex poliéder ( 2. Euler-karakterisztikával rendelkező topológiai gömb ). Minden operátorhoz egy kockamagon alapuló példát adunk. Az alapműveletek elegendőek tükörszimmetrikus egyenletes poliéderek és duálisaik előállításához. Néhány alapművelet más műveletek összetételével is kifejezhető .

Különleges típusok

A "kis" műveletnek van egy k n változata , ebben az esetben csak gúlákat adnak az n oldalú lapokhoz . A csonkítási műveletnek van egy t n változata, ebben az esetben csak az n rendű csúcsok csonkolódnak .

Az operátorokat a funkciókhoz hasonlóan jobbról balra alkalmazzuk. Például a kuboktaéder egy ambo-kocka (olyan kocka, amelyre az ambo-műveletet alkalmazzuk), azaz t(C) = aC , a csonka kuboktaéder pedig t(a(C)) = t(aC) = taC .

Chiralitás operátor

r - "tükrözés" ("tükrözés") - tükörképet készít a magról. A kezelő csak akkor változtatja meg a vetőmagot, ha az s vagy g operátort alkalmazta rá . A királis forma másik jelölése egy aláhúzás, például s = rs .

A táblázatban szereplő műveletek egy példakockán láthatók, és a kocka felületére vannak rajzolva. A kék lapok metszik az eredeti éleket, a rózsaszín lapok az eredeti csúcsoknak felelnek meg.

Alapműveletek

Operátor	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	szempontok	Leírás
	mag		v	e	f	Kezdeti poliéder
r	tükrözik		v	e	f	Tükörkép királis formákhoz
d	dupla		f	e	v	Kettős mag poliéder – minden csúcs új arcot hoz létre
a	Ambo	dj djd	e	2e _	f + v	Új csúcsok kerülnek hozzáadásra az élek közepére, a régi csúcsok pedig levágásra kerülnek ( rectify ) A művelet 4-es vegyértékkel rendelkező csúcsokat hoz létre.
j	csatlakozik	da apa	v + f	2e _	e	A maghoz megfelelő magasságú piramisokat adunk, így két különböző piramishoz tartozó háromszög, amelyeknek közös oldala a magnak, egysíkúak lesznek (ugyanazon a síkon fekszenek), és új lapot képeznek. A művelet négyzet alakú lapokat hoz létre.
k k n	kis	nd = dz dtd	v + f	3e _	2e _	Mindegyik lapon egy piramis található. Akizáció vagy kumuláció, [1] növekedés vagy piramis tágulás .
t t n	csonka	nd = dz dkd	2e _	3e _	v + f	Levágja az összes csúcsot. A művelet a kis szóhoz kapcsolódik
n	tű	kd = dt dzd	v + f	3e _	2e _	A kettős poliéder egy csonka maghoz. A lapok háromszöggel vannak ellátva minden élhez két háromszöggel. Ez kettévágja a lapokat az összes csúcson és élen keresztül, miközben eltávolítja az eredeti éleket. A művelet az ( a , b ) geodéziai politópot ( a +2 b , a - b ) alakra alakítja át a > b esetén . Ezenkívül ( a ,0) -t ( a , a ), ( a , a )-t (3 a ,0), (2,1)-t (4,1)-re stb.
z	postai irányítószám	dk = td dnd	2e _	3e _	v + f	A kettős politóp a maghoz a kis művelet vagy a kettős politóp csonkolása után. A művelet új éleket hoz létre, amelyek merőlegesek az eredeti élekre. A műveletet bitruncation-nek is nevezik ( deep truncation ). Ez a művelet az G ( a , b ) Goldberg-politópot G ( a + 2b , a - b ) -vé alakítja a > b esetén . A G ( a ,0) -t G ( a , a ), a G ( a , a ) -t G -vé (3 a ,0), a G (2,1) -t G - vé (4,1) alakítja át, és így tovább.
e	kiterjeszteni (nyújtani)	aa dod = csinálni	2e _	4e _	v + e + f	Minden csúcs egy új lapot hoz létre, és minden él egy új négyzetet. ( kantellát = ferde)
o	orto	daa ded = de	v + e + f	4e _	2e _	Minden n -szögű lap n négyszögre van felosztva.
rg = g _	giroszkóp	dsd = ds	v + 2e + f	5e _	2e _	Minden n -szögű lap n ötszögre van felosztva .
s rs = s	pisze	dgd = dg	2e _	5e _	v + 2e + f	"tágulás és torzió" - minden csúcs egy új lapot, és minden él két új háromszöget alkot
b	ferde	dkda = ta dmd = dm	4e _	6e _	v + e + f	Élek és csúcsok helyett új lapok kerülnek hozzáadásra. (cantruncation = bevel- truncation )
m	meta mediális	kda = kj dbd = db	v + e + f	6e _	4e _	Háromszögelés csúcsok hozzáadásával a lapok és élek középpontjában.

A megfelelő magvak kialakulása

Mind az öt szabályos politóp előállítható prizmatikus generátorokból nulla-két operátor használatával:

Háromszög alakú piramis : Y3 (a tetraéder a piramisok speciális esete)
- T = Y3
- O = aT (tetraéder ambo művelet után)
- C = jT (tetraéder az összekapcsolási művelet után)
- I = sT (snub tetraéder, tetraéder snub művelet után)
- D = gT (tetraéder giroszkóp működése után)
Háromszög alakú antiprizma : A3 (az oktaéder az antiprizmák speciális esete)
- O=A3
- C=dA3
Négyzetes prizma : P4 (a kocka a prizma speciális esete)
- C=P4
Ötszögletű antiprizma : A5
- I = k5A5 ( csavart hosszúkás bipiramis különleges esete )
- D = t5dA5 (a csonka trapézéder különleges esete )

A helyes euklideszi burkolóanyag magként is használható:

Q = Quadrille (négyszögletű burkolás) = négyzet alakú burkolás
H = Hextille = hatszögletű burkolólap = dΔ
Δ = Deltille = háromszögletű burkolás = dH

Példák

A kocka alkothat minden konvex egyenletes poliédert oktaéderes szimmetriával . Az első sor az arkhimédészi testeket mutatja , a második pedig a katalán testeket . A második sor kettős poliéderként van kialakítva az első sor poliéderéhez. Ha minden új poliédert összehasonlítunk egy kockával, megérthetjük a vizuálisan végrehajtott műveleteket.

Kocka "mag"	Ambo	csonka	postai irányítószám	kiterjed	ferde	pisze
CdO_ _	aC aO	tC zO	zC = dkC tO	aaC = eCeO	bC = taC taO	sC sO
dupla	csatlakozik	tű	kis	orto	középső	giroszkóp
dCO_ _	jC jO	dtC = kdC kO	kC dtO	oC oO	dtaC = mC mO	gC goO

Egy csonka ikozaéder , tI vagy zD, amely egy Goldberg G(2,0) politóp, további politópokat hoz létre, amelyek sem nem csúcs- , sem nem arc-tranzitívak .

Csonka ikozaéder , mint mag

"mag"	Ambo	csonka	postai irányítószám	kiterjesztés	ferde	pisze
zD tI Archivált 2016. október 21-én a Wayback Machine -nél	azI atI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	tzD ttI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	tdzD tdtI archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine -nél	aazD = ezD aatI = etI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	bzD btI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	szD stI Archivált 2017. február 1. a Wayback Machine -nél
dupla	csatlakozik	tű	kis	orto	középső	giroszkóp
dzD dtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nál	jzD jtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	kdzD kdtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	kzD ktI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	ozD otI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	mzD mtI Archiválva : 2017. február 1. a Wayback Machine -nél	gzD gtI Archiválva : 2017. február 1., a Wayback Machine -nél

Származtatott formák geometriai koordinátái

Általános esetben a vetőmag a felület burkolásaként fogható fel. Mivel az operátorok topológiai műveleteket képviselnek, a származtatott formák csúcsainak pontos helyzete általában nincs meghatározva. A konvex szabályos politópok, mint magok, egy gömb csempéjének tekinthetők, és ezért a származtatott politópokat úgy tekinthetjük, mint amelyek egy gömbön helyezkednek el. A hagyományos sík burkoláshoz, például a hatszögletű parkettához hasonlóan a gömbön lévő poliéderek a származtatott burkolólapok magjaként működhetnek. A nem domború poliéderek magokká válhatnak, ha a csúcsok helyzetét korlátozó topológiai felületek vannak definiálva. Például a toroid poliéderek más poliédereket is létrehozhatnak, amelyek pontjai ugyanazon a tórikus felületen vannak.

Példa: Dodekaéder mag gömb alakú burkolóanyagként

D	tD	hirdetés	zD = dkD	szerk	bD = taD	SD
dd	nD = dtD	jD = daD	kD = dtdD	oD = deD	mD=dtaD	gD

Példa: Euklideszi hatszögletű burkolómag (H)

H	th	aH	tdH = H	eH	bH = taH	SH
dH	nH = dtH	jH = daH	dtdH = kH	oH = deH	mH = dtaH	gH = dsH

Származékos műveletek

Két vagy több alapművelet összekeverése sokféle formát eredményez. Sok más származékos művelet is létezik. Például két ambo, kis vagy expand művelet keverése kettős művelettel. Alternatív operátorok (például join, truncate, ortho, bevel és mediális) használata leegyszerűsítheti a neveket és eltávolíthatja a kettős operátorokat. A derivált műveletek éleinek teljes száma kiszámítható az egyes operátorok szorzóival.

Üzemeltető(k)	d	aj _	k , t n , z	e o	gs_ _	a & k	a & e	k & k	k & e k & a 2	e & e
él szorzó	egy	2	3	négy	5	6	nyolc	9	12	16
Egyedi származékos operátorok						nyolc	2	nyolc	tíz	2

A táblázatban szereplő műveletek egy kockára vonatkoznak (mint egy magra), és a kocka felületére rajzolódnak ki. A kék lapok metszik az eredeti éleket, a rózsaszín lapok pedig az eredeti csúcsoknak felelnek meg.

Származékos műveletek

Operátor	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	szempontok	Leírás
	mag		v	e	f	Kezdeti poliéder
nál nél		akd	3e _	6e _	v + 2e + f	ambo művelet csonka után
jk		dak	v + 2e + f	6e _	3e _	kis után csatlakozzon a művelethez. Hasonló az orto -hoz , azzal a különbséggel, hogy az új négyzet alakú lapok az eredeti élek helyére kerülnek beillesztésre
ak		napok	3e _	6e _	v + 2e + f	Ambó hadművelet kis után. Hasonló a kibontáshoz, azzal a különbséggel, hogy az eredeti élekhez új csúcsok adnak hozzá két háromszöget.
jt		dakd = dat	v + 2e + f	6e _	3e _	csonkítás után kapcsolja be a műveletet. A kettős poliéder a műveletek után kapotthoz csonkol, majd ambo
tj		dka	4e _	6e _	v + e + f	csonka csatlakozás
ka			v + e + f	6e _	4e _	kis ambo
ea vagy ae		aaa	4e _	8e _	v + 3e + f	kiterjesztett ambo működés, hármas ambo működés
oa vagy je		daaa = jjj	v + 3e + f	8e _	4e _	Orth műtét ambo után, tripla csatlakozás művelet
x = kt	felemel	kdkd dtkd	v + e + f	9e _	7e _	Műveletek kis csonkítás, háromszögelés, élek 3 részre osztása és új csúcsok hozzáadása az eredeti lapok közepéhez. A művelet az ( a , b ) geodéziai politópot (3 a ,3 b ) alakítja át .
y = tk	ránt	dkdk dktd	v + e + f	9e _	7e _	Műveletek kis csonkolása, hatszögekkel történő bővítés minden él körül A művelet a Goldberg-poliédert G ( a , b ) G -vé alakítja (3 a ,3 b ).
nk		kdk = dtk = ktd	7e _	9e _	v + e + f	tűcsók
tn		dkdkd = dkt = tkd	7e _	9e _	v + e + f	csonka tű
tt		dkkd	7e _	9e _	v + e + f	kettős csonka művelet
kk		dttd	v + 2e + f	9e _	6e _	kettős művelet kis
nt		kkd = dtt	v + e + f	9e _	7e _	tű csonka
tz		dkk = ttd	6e _	9e _	v + 2e + f	csonka cipzár
ke		kaa	v+3e+f	12e	8e	Kis terjeszkedik
nak nek		dkaa	8e	12e	v+3e+f	csonka orto
ek		aak	6e	12e	v+5e+f	bővíteni kis
rendben		daak = dek	v+5e+f	12e	6e	orthokis
et		aadkd	6e	12e	v+5e+f	kiterjesztett csonka művelet
ot		daadkd = det	v+5e+f	12e	6e	orto csonka
te vagy ba		dkdaa	8e	12e	v+3e+f	csonka kiterjeszti
ko vagy ma		kdaa = dte ma = mj	v+3e+f	12e	8e	kis ortho
ab vagy am		aka = ata	6e _	12e _	v + 5e + f	ambo ferde
jb vagy jm		daka = adat	v + 5e + f	12e _	6e _	csatlakozott ferde
ee		aaaa	v+7e+f	16e	8e	duplán bővíteni
oo		daaaa = dee	8e	16e	v+7e+f	kettős orto

Királis derivált műveletek

Vannak más származtatott műveletek is, ha a giroszkópot az ambo, kis vagy expand műveletekkel és legfeljebb három kettős művelettel használják.

Üzemeltető(k)	d	a	k	e	g	a&g	k&g	például	g&g
él szorzó	egy	2	3	négy	5	tíz	tizenöt	húsz	25
Egyedi származékos operátorok						négy	nyolc	négy	2

Királis gyermekműtétek

Operátor	Név	Épület	csúcsok	borda	arcok	Leírás
	mag		v	e	f	Kezdeti poliéder
ag		mint djsd = djs	v + 4e + f	10e _	5e _	Ambo giroszkóp
jg		dag = js dasd = das	5e _	10e _	v + 4e + f	csatlakozott a giroszkóphoz
ga		gj dsjd = dsj	v + 5e + f	10e _	4e _	gyro ambo
sa		dga = sj dgjd = dgj	4e _	10e _	v + 5e + f	snub ambo
kg		dtsd = dts	v + 4e + f	15 e	10e _	kis gyro
ts		dkgd = dkg	10e _	15 e	v + 4e + f	csonka pofa
gk		dstd	v + 8e + f	15 e	6e _	gyrokis
utca		dgkd	6e _	15 e	v + 8e + f	csonka csonkítás
sk		dgtd	v + 8e + f	15 e	6e _	snubkis
gt		dskd	6e _	15 e	v + 8e + f	giroszkóp csonkítás
ks		kdg dtgd = dtg	v + 4e + f	15 e	10e _	csók csók
tg		dkdg dksd	10e _	15 e	v + 4e + f	csonka giroszkóp
például		es aag	v + 9e + f	20e _	10e _	kiterjesztett giroszkóp
og		os daagd = daag	10e _	20e _	v + 9e + f	kitágult pofa
ge		menj gaa	v + 11e + f	20e _	8e _	gyro bővíteni
se		tehát dgaad = dgaa	8e _	20e _	v + 11e + f	pofátlanul terjeszkedik
gg		gs dssd = dss	v + 14e + f	25e _	10e _	dupla giroszkóp
ss		vmi dggd = dgg	10e _	25e _	v + 14e + f	kettős pofa

Kiterjesztett operátorok

Ezeket a kiterjesztett utasításokat nem lehet általánosan létrehozni a fenti alapműveletek segítségével. Egyes operátorok speciális esetként is létrehozhatók k és t operátorokkal, de alkalmazhatók bizonyos lapokra és csúcsokra. Például egy cC lesarkított kocka megszerkeszthető t4daC - ként heexekontaéderalakúdelta,csúcsokkalcsonkavegyértékű4ként-jCvagyként-daC,dodekaéderkéntrombikus, pedig deD - ként vagy oD -ként 5-ös vegyértékcsonkítással.

Egyes kiterjesztett operátorok sorozatot alkotnak, amelyeket egy szám követ. Például az orto egy négyzetlapot 4 négyzetre, míg az o3 9 négyzetre oszthat. Az o3 egy egyedi konstrukció, míg az o4 -t oo -ként kaphatjuk meg , az orto operátort kétszer alkalmazzuk. A padláskezelő tartalmazhat egy indexet, mint a kis operátor , hogy az alkalmazást meghatározott számú oldallal rendelkező arcra korlátozza.

A letörés művelet egy Goldberg G(2,0) poliédert hoz létre új hatszögekkel az eredeti lapok között . Az egymást követő letörési műveletek létrehozzák a G(2 n ,0).

Speciális műveletek

Operátor	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	arcok	Leírás
	mag		v	e	f	Kezdeti poliéder
c (a c kalapácsból)	letörés	dud	v + 2e	4e _	f + e	A bordák csonkítása. Élek helyett új hatszögletű lapok kerülnek beillesztésre. Goldberg poliéder (0,2)
-	-	dc	f + e	4e _	v + 2e	művelet kettős letörés után
u	s u bdivid	dcd	v+e	4e	f+2e	Ambo művelet az eredeti csúcsok megőrzése mellett A művelet hasonló a Felületi felosztási hurokhoz háromszöglapok esetén
-		CD	f+2e	4e	v+e	Kettős művelet a felosztás után
lln _ _	tetőtér _		v + 2e	5e _	f + 2e	Az egyes oldalak meghosszabbítása egy prizmával , és az egyes lapok egy kisebb példányának hozzáadása a belső és a külső felület közé trapézokkal.
		dl dln _	f + 2e	5e _	v + 2e	A padlás után kettős működés
		ld l n d	f + 2e	5e _	v + 2e	Működési padlás dual után
		dld dl n d	v + 2e	5e _	f + 2e	Tetőtérrel kapcsolatos művelet
		dL0	f +3 e	6e _	v + 2e	Működés kettős csipke után
		L0d	f + 2e	6e _	v +3 e	illesztett-csipke művelet duál után
		dL0d	v +3 e	6e _	f + 2e	Összefűzött csipkével kapcsolatos művelet
q	q uinto		v+3e	6e	f+2e	Az orto művelet, majd az eredeti lapok közepén található csúcsok csonkítása. A művelet 2 új ötszöget hoz létre minden eredeti élhez.
-		dq	f+2e	6e	v+3e	A kettős művelet a kvinto után
		qd	v+2e	6e	f+3e	A quinto művelet a duál után
-		dqd	f+3e	6e	v+2e	A quintohoz kapcsolódó művelet
L0	összefűzött-csipke		v + 2e	6e _	f +3 e	Hasonló a csipkeművelethez, de az eredeti élek helyén új négylappal
L L n	L ász		v + 2e	7e _	f +4 e	Minden lap meghosszabbítása egy antiprizmával , és mindegyik lap elforgatott, kisebb másolatának hozzáadása a régi és az új lapok közé háromszögekkel. Egy index hozzáadásával korlátozható a művelet egy adott számú oldallal rendelkező arcra.
		dL dLn _	f +4 e	7e _	v + 2e	dupla kezelő a fűzés után
		Ld Ld n	f + 2e	7e _	v + 4e	csipke operátor duál után
		dLd dL n d	v + 4e	7e _	f + 2e	Műveletek sorrendje duál, csipke, duál
K K n	sta K e		v+2e+f	7e	4e	Arcfelosztás középső négyszögekkel és háromszögekkel. Egy index hozzáadásával korlátozható a művelet egy bizonyos számú oldallal rendelkező arcra.
		d K dK n	4e	7e	v+2e+f	Művelet kettős tét után
		kd	v+2e+f	7e	4e	tét művelet duál után
		d K d	4e	7e	v+2e+f	A téthez kapcsolódó művelet
M3	él-mediális-3		v+2e+f	7e	4e	Működése hasonló az m3-hoz, de nem adnak hozzá átlós éleket
		dM3	4e	7e	v+2e+f	Kettős működés az él-mediális-3 után
		M3d	v+2e+f	7e	4e	él-mediális-3 művelet kettős után
		dM3d	4e	7e	v+2e+f	Az él-mediális-3- hoz kapcsolódó művelet
M0	mediálishoz csatlakozott		v+2e+f	8e	5e	A művelet hasonló a mediálishoz, de az eredeti élek helyett rombusz alakú lapokat adunk hozzá.
		d M0	v+2e+f	8e	5e	Kettős működés csatlakoztatott-mediális után
		M0 d	v+2e+f	8e	5e	összekapcsolt-mediális művelet duális után
		d M0 d	5e	8e	v+2e+f	Az egyesített-mediálishoz kapcsolódó művelet
m3	mediális-3		v+2e+f	9e	7e	Háromszögelés élenként két csúcs hozzáadásával és egy csúcs minden lap közepén.
b3	ferde-3	dm3	7e	9e	v+2e+f	A mediális-3 után kettős művelet
		m3d	7e	9e	v+2e+f	Művelet mediális-3 duál után
		dm3d	v+2e+f	9e	7e	A mediális-3-mal kapcsolatos művelet
o3	orto-3	de 3	v + 4e	9e _	f +4 e	Orth operátor élosztással 3-mal
e3	bővíteni-3	csináld 3	f +4 e	9e _	v + 4e	operátor bővítése az élek 3-mal való osztásával
x	kereszt		v + f + 3 e	10e _	6e _	A kis és a subdivide műveletek kombinációja . A kezdeti éleket kettéosztjuk, és három- és négyszöglapokat alakítunk ki.
		dX	6e _	10e _	v + f + 3 e	Művelet kettős kereszt után
		xd	6e _	10e _	v + f + 3 e	keresztművelet dual után
		dXd	v + f + 3 e	10e _	6e _	A kereszthez kapcsolódó művelet
m4	mediális-4		v+3e+f	12e	8e	Háromszögelés 3 csúcs hozzáadásával minden élhez és csúcsok mindegyik lap közepéhez.
u5	felosztás-5		v + 8e	25e _	f + 16e	5 részre osztott élek Ez a művelet az éleket és a lapokat úgy osztja fel, hogy minden új csúcs körül 6 háromszög alakul ki.

Kiterjesztett királis operátorok

Ezeket az operátorokat nem lehet általánosan előállítani a fent felsorolt alapműveletekből. A geometrikus művész, Hart létrehozott egy műveletet, amelyet propellernek nevezett .

p - " p ropeller" = propeller (forgási operátor, amely quadokat hoz létre ott, ahol a csúcsok vannak). Ez a művelet önkettős: dpX=pdX.

Fejlett királis műveletek

Operátor	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	szempontok	Leírás
	"Mag"		v	e	f	Kezdeti poliéder
rp = p _	propeller		v + 2e	5e _	f + 2e	giroszkóp művelet, amit ambo követ az eredeti lapok középpontjában lévő csúcsokon
-	-	dp=pd	f + 2e	5e _	v + 2e	Ugyanazok a csúcsok, mint a giroszkópban, de az eredeti csúcsok helyén élek vannak kialakítva
-			4e _	7e _	v + 2e + f	A művelet hasonló a snub -hoz , de az eredeti lapokon ötszögek vannak a kerületükön háromszögek helyett.
-	-	-	v + 2e + f	7e _	4e _
w = w2 = w2,1 rw = w	örvény		v+4 e	7e _	f+ 2e	A giroszkóp művelet, amelyet az eredeti lapok közepén lévő csúcsok csonkolása követ. A művelet 2 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (2,1) A wrw derivált operátor G(a,b)-t G(7a,7b)-vé alakítja.
rv = v _	hangerő	dwd	f+ 2e	7e _	v+4 e	dupla operátor örvény után, vagy snub, majd kis az eredeti arcokon. A kapott vrv operátor az (a,b) geodéziai poliédert (7a,7b) alakítja át.
g3 rg3 = g3	giroszkóp-3		v + 6e	11 e	f +4 e	A giroszkóp művelet 3 ötszöget hoz létre minden forrásél mentén
s3 rs3 = s3	snub-3	dg 3 d = dg 3	f +4 e	11 e	v + 6e	A gyro-3 utáni kettős művelet, az éleket 4 középső háromszögre osztó snub művelet, az eredeti csúcsok helyén háromszögekkel
w3.1 rw3.1 = w3.1	örvény-3.1		v+ 8e	13e _	f+4 e	A művelet 4 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (3,1)
w3 = w3,2 rw3 = w3	örvény-3,2		v+ 12e	19e _	f+ 6e	A művelet 12 új hatszöget hoz létre minden eredeti élhez, Goldberg poliéder (3,2)

Az eredeti éleket megőrző műveletek

Ezek a bővítési műveletek elhagyják az eredeti éleket, és lehetővé teszik az operátor alkalmazását az oldalak bármely független részhalmazára. A Conway-féle jelölés egy további indexet tart fenn ezekhez a műveletekhez, amely jelzi a műveletben érintett lapok oldalainak számát.

Operátor	kis	csésze	egy csésze	padlástér	csipke	tét	kis-kis
Példa	kC	UC	VC	lC	LC	KC	kkC
borda	3e _	4 e - f 4	5 e - f 4	5e _	6e _	7e _	9e _
Kép a kockán
Kiterjesztés	Piramis	kupola	antidóm	Prizma	antiprizma

Coxeter operátorok

A Coxeter / Johnson operátorok néha hasznosak Conway operátorokkal keverve. Az érthetőség kedvéért Conway jelölésében ezeket a műveleteket nagybetűkkel adjuk meg. A Coxeter t-jelölése a forró köröket Coxeter-Dynkin diagram indexeiként határozza meg . Így a táblázatban a nagy T 0,1,2 indexekkel a megfelelő magból homogén operátorokat határoz meg. A nulla index a csúcsokat, az 1 az éleket, a 2 pedig az oldalakat jelöli. T = T 0.1 esetén ez egy normál csonkítás, az R = T 1 pedig egy teljes csonkítás vagy egyengető művelet , ugyanaz, mint a Conway ambo operátora . Például r{4,3} vagy t 1 {4,3} a cuboctahedron Coxeter-neve , a csonka kocka pedig RC , ami megegyezik Conway ambo kockájával , aC .

Kibővített Coxeter műveletek

Operátor	Példa	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	szempontok	Leírás
T0_ _	, t 0 {4,3}	"Mag"		v	e	f	mag formája
R = T1_ _	, t 1 {4,3}	helyesbíteni	a	e	2e _	f + v	Ugyanúgy, mint az ambo , új csúcsok kerülnek az élek közepére, és új lapok váltják fel az eredeti csúcsokat. Minden csúcsnak van 4-es vegyértéke.
T2_ _	, t 2 {4,3}	kettős birectify	d	f	e	v	A magpoliéder kettős működése – minden csúcs új arcot hoz létre
T = T0,1 _	, t 0,1 {4,3}	csonka	t	2e _	3e _	v + f	Minden csúcs le van vágva.
T 1.2	, t 1,2 {4,3}	bitruncate	z = td	2e _	3e _	v + f	Ugyanaz, mint a zip
RR = T 0,2	, t 0,2 {4,3}	kantella	aa = e	2e _	4e _	v + e + f	Ugyanaz, mint a bővítés
TR = T 0,1,2	, t 0.1.2 {4.3}	nem tudok futni	ta	4e _	6e _	v + e + f	Ugyanaz, mint a ferde

Féloperátorok

Coxeter félig vagy félig operátora , H ( félből ) felére csökkenti az egyes lapok oldalainak számát, és négylapokká alakítja digonokat , amelyeknek két éle köti össze a két csúcsot, és ez a két él helyettesíthető egyetlen éllel. . Például a félkocka, h{4,3}, félkocka HC, amely a két tetraéder egyikét képviseli. A Ho az ortho szót ambo / Rectify -ra rövidíti .

Más féloperátorok (féloperátorok) a H operátorral definiálhatók . Conway meghívja a Coxeter 's Snub operátort S , a félig Ht definíció szerint . A Conway snub s operátora SR . Például az SRC egy snub-kocka , sr{4,3}. A snub Coxeter oktaéder , s{3,4} SO - ként definiálható , a pirit-éder szimmetria konstrukciója szabályos ikozaéderre . Ez összhangban van a szabályos , négyszögletes antiprizma SA 4 -kénti meghatározásával is .

A félgiroszkóp operátor , G , a dHt . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a Conway forgatási operátort g (giroszkóp) GR -ként határozzuk meg . Például a GRC egy giroszkóp, gC vagy egy ötszögletű ikozitetraéder . A GO egy piriteéder szimmetriájú piritoédert definiál , míg a gT ( girotetraéder ) ugyanazt a topológiai poliédert definiálja tetraéderes szimmetriával .

Mindkét S és G operátor megköveteli, hogy a csupasz politópnak páros vegyértékű csúcsai legyenek. Ezekben a féloperátorokban két lehetőség van a fél operátor csúcsváltására . Ez a két konstrukció általában topológiailag nem azonos. Például a HjC vagy egy kockát vagy egy oktaédert határoz meg, attól függően, hogy melyik csúcskészletet választottuk.

A többi operátor csak a páros számú éllel rendelkező politópokra vonatkozik. A legegyszerűbb operátor a semi-join , amely a fél operátor , dHd konjugáltja .

Az F félorto operátor a félig snubhoz van konjugálva. Csúcsot ad a lap közepéhez, és felosztja az összes élt, de a középpontot csak az élek felével köti össze új élekkel, így új hatszögletű lapokat hoz létre. Az eredeti négyzet alakú lapok nem igényelnek központi csúcsot, hanem csak egy élt kell átmenni, ami egy ötszögpárt hoz létre. Például a dodekaéder tetartoid FC -ként szerkeszthető .

Az E félig kiterjesztett operátor Htd vagy Hz . A kezelő háromszög alakú lapokat hoz létre. Például az EC létrehozza a pszeudoikozaéder piroéder szimmetriájú konstrukcióját .

Féloperátorok poliédereken páros oldalszámú lapokkal

Operátor	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	arcok	Leírás
H = H1 H2	félig ambo H alf 1 és 2		v /2	e - f 4	f - f 4 + v /2	Váltakozó , a csúcsok felének törlése. A négylapok ( f 4 ) egyetlen élre redukálódnak.
I = I1 I2	félig csonka 1 és 2		v /2+ e	2e _	f + v /2	Minden második csúcsot levág
	féltű 1 és 2	dI	v /2+ f	2e _	e + v /2	Minden második csúcs tűművelete
F = F1 F2	félorto Flex 1 és 2	dHtd = dHz dSd	v + e + f - f 4	3 e - f 4	e	Dual művelet félig kibontás után - új csúcsok jönnek létre az éleken és a lapok középpontjában, 2 n -szöget n hatszögre osztanak , a négyszöglapok ( f 4 ) nem tartalmaznak majd központi csúcsot, így két ötszögű lap keletkezik.
E = E1 E2	félig kibontott Eco 1 és 2	Htd = Hz dF = Sd dGd	e	3 e - f 4	v + e + f - f 4	A kettős művelet félorto után – új háromszöglapok jönnek létre. Az eredeti lapokat fele oldalú sokszögekre cseréljük, a négyszögeket ( f 4 ) egyszeres élekre redukáljuk.
U = U 1 U 2	félcsipke C U p 1 és 2		v + e	4 e - f 4	2 e + f - f 4	Élhosszabbítás kupolákkal .
V = V 1 V 2	félig csipke Anticup 3 és 4		v + e	5 e - f 4	3 e + f - f 4	Élnagyobbítás antidómmal
	félmediális 1. és 2	XdH = XJd	v + e + f	5e _	3e _	Alternatív mediális művelet az átlókhoz képest
	félmediális 3. és 4		v + e + f	5e _	3e _	Alternatív művelet mediálisan a mediánokhoz képest (összekapcsolja a szemközti oldalak felezőpontjait)
	félferde 1 és 2	dXdH = dXJd	3e _	5e _	v + e + f	Alternatív ferde működés az átlókhoz képest
	félferde 3. és 4		3e _	5e _	v + e + f	Alternatív ferde művelet a mediánokhoz képest

Félműveletek páros vegyértékű csúcsú poliédereken

Operátor	Név	Alternatív konstrukció	csúcsok	borda	arcok	Leírás
J = J1 J2	félig csatlakoztassa az 1-et és a 2 -t	dhd	v - v 4 + f /2	e - v 4	f /2	A kezelő konjugált fele, csatlakoztassa a kezelőt a váltakozó felületeken. A 4-értékû csúcsok ( v 4 ) 2-értékûekké redukálódnak, és egyetlen éllel helyettesítik.
	félkis 1 és 2	dId	v + f /2	2e _	f /2+ e	Művelet kis fél (felváltva, él mentén nem érintve) arcokra
	félcipzár 1 és 2	ID	f /2+ e	2e _	v + f /2	Féloldalon cipzárral működik
S = S1 S2	félig snub 1 és 2	Ht dFd	v - v 4 + e	3 e - v 4	f + e	A félgiroszkóp utáni kettős művelet egy sima művelet , amely elforgatja az eredeti lapokat, miközben új háromszög alakú lapokat ad a keletkező hézagokhoz.
G = G1 G2	félgiro 1 és 2	dHt dS = Fd dEd	f + e	3 e - v 4	v - v 4 + e	A félig snub utáni kettős művelet öt- és hatszögletű felületeket hoz létre az eredeti élek mentén.
	félmediális 1. és 2	XdHd = XJ	3e _	5e _	v + e + f	Művelet mediális fél (szél nem érintkező) arcokon
	félferde 1 és 2	dXdHd = dXJ	v + e + f	5e _	3e _	Ferde művelet a fél (nem élt érintő) felületeken

Alosztályok

A felosztási művelet az eredeti éleket n új élre osztja, és a lapok belsejét háromszögekkel vagy más sokszögekkel töltik ki.

Négyzetes felosztás

Az orto-operátor két négyszög alfelosztás hatványsorozatára alkalmazható. A faktorizált felosztás eredményeként további felosztások is elérhetők. A szekvenciálisan alkalmazott propeller kezelő 5 orth felosztást eredményez. Ha a magnak nem négyes felülete van, akkor azok kicsinyített másolatok maradnak a páratlan orto-operátorok számára.

Kocka példák

Orto		o 2 = o	o 3	o 4 = o 2	o 5 = prp	o 6 = oo 3	o 7	o 8 = o 3	o 9 \ u003d o 3 2	o 10 = oo 5 = oprp
Példa
Csúcsok	v	v + e + f	v + 4e	v + 7e + f	v +12 e	v + 17e + f	v + 24e	v + 31e + f	v + 40e	v + 63e + f
borda	e	4e _	9e _	16e _	25e _	36e _	49e _	64e _	81 e	128e _
Szempontok	f	2e _	f +4 e	8e _	f + 12e	18e _	f + 24e	32e _	f + 40e	64e _
Kibontás (kettős)		e 2 = e	e 3	e4 = e2 _ _	e 5 = dprp	e 6 = ee 3	e 7	e8 = e3 _ _	e 9 \ u003d e 3 2	e 10 = ee 5 = doprp
Példa

Királis hatszögletű felosztás

Az örvény operátor létrehoz egy Goldberg G(2,1) poliédert új hatszögletű lapokkal minden eredeti csúcs körül. Két egymást követő whirl művelet G(3,5) hoz létre. Általánosságban elmondható, hogy az örvényművelet G( a , b )-t G( a +3 b ,2 a - b ) -vé alakíthatja a > b esetén és ugyanabban a királis irányban. Ha a királis irányok megfordulnak, akkor G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) lesz, ha a >=2 b , és G(3 a + b ,2 b - a ) ha a < 2 b .

A whirl- n operátorok Goldberg-politópokat alkotnak ( n , n -1), és úgy határozhatók meg, hogy a csupasz politóp éleit 2 n -1 részélre osztjuk.

A whirl- n művelet eredménye és inverze egy (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg poliédert alkot . wrw (7,0), w 3 rw 3 (19,0), w 4 rw 4 (37,0), w 5 rw 5 (61,0) és w 6 rw 6 (91, 0). Két örvény- n művelet eredménye (( n -1)(3 n -1),2 n -1) vagy (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). w a szorzata w b -vel (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), w a pedig w b inverzével (3ab-a-2b+1,ab) ad. ≥b.

Két azonos operátor örvény szorzata alkotja a Goldberg-politópot (( n -1)(3 n -1),2 n -1 ). A k-örvény és a zip szorzata (3k-2,1).

örvény- n operátorok

Név	mag	örvény	Örvény-3	Örvény-4	Örvény-5	Örvény-6	Örvény-7	Örvény-8	Örvény-9	Örvény-10	Örvény-11	Örvény-12	Örvény-13	Örvény-14	Örvény-15	Örvény-16	Örvény-17	Örvény-18	Örvény-19	Örvény-20	Örvény- n
Kezelő (összetevő)	-	w=w2	w3	w4	w5	w6 wrw 3.1	w7	w8 w3,1w3,1	w9 ww5,1	w10	w11	w12	w13 ww7.2	w14	w15	w16 ww9.2	w17 w3w6,1	w18	w19 w3,1w7,3	w20 ww11.3	w n
Goldberg poliéder	(1,0)	(2.1)	(3.2)	(4.3)	(5.4)	(6.5)	(7.6)	(8.7)	(9,8)	(10,9)	(11.10)	(12.11)	(13.12)	(14.13)	(15.14)	(16.15)	(17.16)	(18.17)	(19.18)	(20.19)	( n , n - 1)
T bővítés	egy	7	19	37	61	91 7×13	127	169 13×13	217 7×31	271	331	397	469 7×67	547	631	721 7×103	817 19×43	919	1027 13×79	1141 7×163	3n ( n -1 ) +1
Példa
Csúcs	v	v + 4e	v +12 e	v + 24e	v + 40e	v + 60e	v +84 e	v +112 e	v +144 e	v +180 e	v + 220e	v +264 e	v +312 e	v +364 e	v +420 e	v +480 e	v +544 e	v +612 e	v +684 e	v +760 e	v + 2n ( n -1) e
borda	e	7e _	19e _	37e _	61e _	91 e	127e _	169e _	217e _	271e _	331e _	397 e	469 e	547 e	631 e	721e _	817e_ _	919e_ _	1027 e	1141 e	e + 3n ( n -1) e
Szempontok	f	f + 2e	f + 6e	f + 12e	f + 20e	f + 30e	f + 42e	f + 56e	f + 72e	f + 90e	f + 110e	f + 132e	f +156 e	f + 182e	f + 210e	f + 240e	f +272 e	f +306 e	f + 342e	f +380 e	f + n ( n - 1) e
w n w n	(1,0)	(5.3)	(16,5)	(33,7)	(56,9)	(85,11)	(120,13)	(161,15)	(208.17)	(261,19)	(320,21)	(385,23)	(456,25)	(533,27)	(616,29)	(705,31)	(800,33)	(901.35)	(1008.37)	(1121,39)	(( n - 1) ( 3n -1), 2n - 1)
w n r w n	(1,0)	(7.0)	(19,0)	(37,0)	(61,0)	(91,0)	(127,0)	(169,0)	(217,0)	(271,0)	(331,0)	(397,0)	(469,0)	(547,0)	(631,0)	(721,0)	(817,0)	(919,0)	(1027,0)	(1141,0)	(1+ 3n ( n -1),0)
w n z	(1.1)	(4.1)	(7.1)	(10.1)	(13.1)	(16.1)	(19,1)	(22.1)	(25.1)	(28.1)	(31,1)	(34,1)	(37,1)	(40,1)	(43,1)	(46,1)	(49,1)	(52,1)	(55,1)	(58,1)	( 3n -2,1)

Háromszögletű felosztás

Az u n művelet a lapokat háromszögekre osztja úgy, hogy minden élt n részre oszt, ezt Buckminster Fuller geodéziai poliéderének n - frekvenciás felosztásának nevezzük 2] .

A poliéderek Conway-operátorai sok ilyen alfelosztást képesek létrehozni.

Ha az összes eredeti lap háromszög, az új poliéderek mindegyik lapja háromszögként fog szerepelni, és az eredeti lapok helyén háromszög alakú tesszellációk jönnek létre . Ha az eredeti poliédernek több oldalú lapja van, az új lapok nem feltétlenül háromszögek. Ilyen esetekben a poliéder először kis műveletnek vethető alá, minden lap közepén új csúcsokkal.

Példák a kocka felosztására

Operátor	u 1	u 2 =u	u3 = x	u 4 =uu	u 5	u 6 =ux	u 7 \u003d vrv	u 8 =uuu	u9 = xx
Példa
Conway jelölés	C Archiválva : 2017. február 2. a Wayback Machine -nál	uC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél	xC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nél	uuC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél	u 5 C	uxC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél	vrvC archiválva : 2017. március 15. a Wayback Machine -nál	uuuC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél	xxC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél
Csúcsok	v	v+e	v+e+f	v+4e	v+8e	v+11e+f	v+16e	v+21e	v+26e+f
borda	e	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e
Szempontok	f	f+2e	7e	f+8e	f+16e	24e	f+32e	f+42e	54e
Teljes háromszögelés
Operátor	u 1 k	u 2 k =uk	u 3 k =xk	u 4 k =uuk	u 5 k	u 6 k =uxk	u 7 k \u003d vrvk	u 8 k =uuuk	u 9 k =xxk
Példa
Conway	kC Archivált : 2017. február 5. a Wayback Machine -nél	ukC Archivált : 2017. március 15., a Wayback Machine -nél	xkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nál	uukC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nál	u 5 kC	uxkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél	vrvkC Archivált : 2017. március 15. a Wayback Machine -nél	uuukC Archivált : 2017. március 16. a Wayback Machine -nál	xxkC Archiválva : 2017. március 15., a Wayback Machine -nél
Dual Goldberg	{3,n+} 1,1	{3,n+} 2,2	{3,n+} 3,3	{3,n+} 4.4	{3,n+} 5.5	{3,n+} 6.6	{3,n+} 7.7	{3,n+} 8.8	{3,n+} 9.9

Geodéziai poliéder

Conway műveletei megduplázhatják a Goldberg-poliéderek egy részét, valamint a kettős-geodéziai poliédereket. A Goldberg-poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak száma G ( m , n ) kiszámítható m -ből és n -ből , és az új háromszögek száma minden eredeti háromszögben a következő képlettel számítható ki: T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 − mn . Az ( m ,0) és ( m , m ) konstrukciók a Conway-műveletek jelölése alatt találhatók.

I. osztály

Kettős Goldberg-politópok esetén az u k operátort itt úgy definiáljuk, mint a lapok felosztását az élek k részre való felosztásával. Ebben az esetben a Conway operátor u = u 2 , és a hozzá tartozó dud operátor a letörés , c . Ezt az operátort a számítógépes grafikában használják , a hurok felosztási sémában . Az u 3 operátort a kt = x Conway operátor adja meg, a hozzá tartozó y = dxd = tk operátort . Két örvényoperátor szorzata kiralitásfordítással, wrw vagy w w 7-es felosztást ad Goldberg-politóp G(7,0) formájában, tehát u 7 = vrv . Kisebb felosztások és királis párokon végzett örvényműveletek további I. osztályú formákat hozhatnak létre.A w(3,1)rw(3,1) művelet a G(13,0) Goldberg-politópot eredményezi. A w(3,2)rw(3,2) művelet eredménye G(19,0).

I. osztály: Felosztási műveletek az ikozaéderen, mint geodéziai poliéderen

( m ,0)	(1,0)	(2.0)	(3.0)	(4.0)	(5.0)	(6.0)	(7.0)	(8.0)	(9,0)	(10.0)	(11,0)	(12,0)	(13,0)	(14,0)	(15,0)	(16,0)
T	egy	négy	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256
Operation Composite	u 1	u 2 = u = dcd	u 3 \ u003d x \ u003d kt	u 4 = u 2 2 = dccd	u 5	u 6 = u 2 u 3 = dctkd	u 7 = v v = dwrwd	u 8 = u 2 3 = dcccd	u 9 = u 3 2 = ktkt	u 10 = u 2 u 5	u 11	u 12 = u 2 2 u 3 = dccdkt	u 13 v 3.1 v 3.1	u 14 = u 2 u 7 = uv v = dcwrwd	u 15 = u 3 u 5 = u 5 x	u 16 = u 2 4 = dccccd
háromszög alakú arc
Icosahedron Conway Geodesic	Archiváltam : 2016. december 30. a Wayback Machine { 3.5+ } 1.0 -nál	uI = k5aI Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine {3.5+} 2.0	xI = ktI Archiválva : 2016. december 30., a Wayback Machine {3.5+} 3.0	u 2 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 4.0	{3.5+} 5.0	uxI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 6.0 -nál	vrvI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 7.0 -nál	u 3 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 8.0	x 2 I Archiválva : 2018. január 8., a Wayback Machine { 3.5+ } 9.0	{3.5+} 10.0	{3.5+} 11.0	u 2 x I Archiválva : 2017. január 10., a Wayback Machine { 3.5+ } 12.0	{3.5+} 13.0	uvrvI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 14.0 -s verziójában	{3.5+} 15.0	u 4 I Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine { 3.5+ } 16.0
Kettős operátor		c	y = tk	cc	5 -től	cy = ctk	ww = wrw _	ccc	y 2 = tktk	cc5_ _	11 -től	ccy = cctk	w 3,1 w 3,1	cw w = cwrw	c 5 év	cccc
Dodekaéder Conway Goldberg	D Archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine {5+,3} 1.0 -nál	cD archiválva : 2016. október 21., a Wayback Machine {5+,3} 2.0	yD archiválva : 2016. október 21., a Wayback Machine {5+,3} 3.0	ccD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 4.0 -s verziójában	c 3 D {5+,3} 5.0	cyD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 6.0 -nál	wrwD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 7.0 -nál	cccD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 8.0 -nál	y 2 D archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine -nél {5+,3} 9.0	cc 5 D {5+,3} 10.0	c 11 D {5+,3} 11,0	ccyD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {5+,3} 12.0 -nál	w3,1rw3,1D {5+,3} 13.0	cwrwD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {5+,3} 14.0 -nál	c 5 yD {5+,3} 15.0	ccccD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine G{5+,3} 16.0 -nál

II. osztály

Egy ortogonális osztás az n = kd operátor segítségével is meghatározható . Az operátor az ( a , b ) geodéziai politópot ( a +2 b , a - b ) alakra alakítja át a > b esetén . Az ( a ,0) -t ( a , a )-ra és ( a , a )-t (3 a ,0) -ra alakítja . A z = dk operátor ugyanezt teszi Goldberg poliéder esetén.

II. osztály: Ortogonális felosztási műveletek

( m , m )	(1.1)	(2.2)	(3.3)	(4.4)	(5.5)	(6.6)	(7.7)	(8.8)	(9,9)	(10.10)	(11.11)	(12.12)	(13.13)	(14.14)	(15.15)	(16.16)
T = m 2 × 3	3 1×3	12 4×3	27 3×3	48 24×3	75 25×3	108 36×3	147 49×3	192 64×3	243 81×3	300 100×3	363 121×3	432 144×3	507 169×3	588 196×3	675 225×3	768 256×3
Művelet	u 1 n n = kd	u 2 n = un = dct	u 3 n = xn = ktkd	u 4 n = u 2 2 n = dcct	u 5 n	u 6 n = u 2 = u 3 n = dctkt	u 7 n = v v n = dwrwt	u 8 n = u 2 3 n = dccct	u 9 n = u 3 2 n = ktktkd	u 10 n = u 2 u 5 n	u 11 n	u 12 n = u 2 2 u 3 n = dcctkt	u 13 n	u 14 n = u 2 u 7 n = dcwrwt	u 15 n = u 3 u 5 n	u 16 n = u 2 4 n = dcccct
háromszög alakú arc
Icosahedron Conway Geodesic	nI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 1.1 -nél	unI archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine {3.5+} 2.2 -nél	xnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 3.3 -nál	u 2 nI Archiválva : 2016. december 30., a Wayback Machine {3.5+} 4.4	{3.5+} 5.5	uxnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 6.6 -nál	vrvnI archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 7.7 -nél	u 3 nI Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {3.5+} 8.8	x 2 nI Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine {3.5+} 9.9 -nél	{3.5+} 10.10	{3,5+} 11.11	u 2 xnI Archivált : 2017. január 10., a Wayback Machine {3.5+} 12.12 .	{3.5+} 13.13	dcwrwdnI archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine {3.5+} 14.14 .	{3,5+} 15,15	u 4 nI {3,5+} 16.16
Kettős operátor	z = dk	cz = cdk	yz = tkdk	c 2 z = ccdk	c5z	cyz = ctkdk	w w z = wrwdk	c 3 z = cccdk	y 2 z = tktkdk	cc5z	c11z	c 2 yz = c 2 tkdk	c13z	cwwz = cwrwdk _ _	c3c5z	c 4 z = ccccdk
Dodekaéder Conway Goldberg	zD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 1.1 -ben	czD archiválva : 2016. április 7. a Wayback Machine -nél {5+,3} 2.2	yzD Archiválva : 2016. december 30. a Wayback Machine -nél {5+,3} 3.3	cczD archiválva : 2016. április 7. a Wayback Machine -nél {5+,3} 4.4	{5+,3} 5.5	cyzD archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 6.6	wrwzD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 7.7	c 3 zD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 8.8	y 2 zD Archivált : 2017. január 9., a Wayback Machine {5+,3} 9.9	{5+,3} 10.10	G{5+,3} 11.11	ccyzD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nál {5+,3} 12.12 .	{5+,3} 13.13	cwrwzD Archiválva : 2017. január 9., a Wayback Machine G{5+,3} 14.14 .	{5+,3} 15.15	cccczD Archiválva : 2017. január 9. a Wayback Machine -nél {5+,3} 16.16

III. osztály

A legtöbb geodéziai politóp és a Goldberg-poliéder G(n,m) duálisa nem konstruálható meg Conway-operátorokból származó operátorokkal. Az örvényművelet létrehoz egy Goldberg-poliédert G(2,1), új hatszögletű lapokkal minden eredeti csúcs körül, és n -örvény G( n , n -1) hoz létre. Az ikozaéder szimmetriájú formákon a t5g ebben az esetben egyenértékű az örvényléssel. A v művelet (= v olute = turn) a dual to whirl háromszög felosztást jelenti . Az ikozaéderes formákon a művelet a k5s , pentakis snub derivált operátorral végezhető el .

Két egymást követő örvényművelet létrehozza G(3,5). Általánosságban elmondható, hogy az örvényművelet G( a , b )-t G( a +3 b ,2 a - b ) -vé alakíthatja a > b esetén azonos királis irány mellett. Ha a királis irányt megfordítjuk, akkor G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) lesz, ha a >=2 b , és G(3 a + b ,2 b - a ) ha a < 2 b .

III. osztály: Az egyenlőtlen részekre bontás műveletei

Operation Composite	v 2,1 = v	v 3.1	v 3,2 = v 3	v4,1 = vn _	v 4,2 = vu	v 5.1	v 4,3 = v 4	v 5.2 = v 3 n	v 6.1	v 6.2 = v 3.1 u	v 5,3 = vv	v 7.1 = v 3 n	v 5,4 = v 5	v 6.3 = vx	v 7.2
T	7	13	19	21 7×3	28 7×4	31	37	39 13×3	43	52 13×4	49 7×7	57 19×3	61	63 9×7	67
háromszög alakú arc
Icosahedron Conway Geodesic	vI {3.5+} 2.1	v 3.1 I {3.5+} 3.1	v 3 I {3.5+} 3.2	vnI archiválva : 2017. február 3. a Wayback Machine {3.5+} 4.1 -nél	vui {3.5+} 4.2	{3.5+} 5.1	v 4 I {3.5+} 4.3	v 3 nI {3.5+} 5.2	{3.5+} 6.1	v 3.1uI { 3.5+ } 6.2	vvl {3.5+} 5.3	v 3 nI {3.5+} 7.1	v 5 I {3.5+} 5.4	vxI archiválva : 2018. január 8. a Wayback Machine {3.5+} 6.3 -nál	v 7.2 I {3.5+} 7.2
Operátor	w	w 3.1	w 3	wz	WC	w 5.1	w 4	w 3,1 z	w 6.1	w 3,1 s	www	w 3 z	w 5	wy	w 7.2
Conway dodekaéder	wD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 2.1 -ben	w 3,1 D {5+,3} 3.1	w 3 D {5+,3} 3,2	wzD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 4.1 -nél	wcD archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 4.2 -nél	w 5,1 D {5+,3} 5,1	w 4 D {5+,3} 4.3	w 3 zD {5+,3} 5.2	{5+,3} 6.1	w 3,1 cD {5+,3} 6.2	wwD Archiválva : 2016. október 21. a Wayback Machine {5+,3} 5.3 -nál	w 3 zD {5+,3} 7.1	w 5 D {5+,3} 5.4	wyD archiválva : 2018. január 8. a Wayback Machine -nél {5+,3} 6.3	w 7,2 D {5+,3} 7,2

Egyéb III. osztályú műveletek: Egyenlőtlen részekre bontás műveletei

Operation Composite	v 8.1	v 6.4 = v 3 u	v 7.3	v 8.2 = wcz	v 6.5 = v 6 = vrv 3.1	vv 9,1 = vv 3,1	v 7.4	v 8.3	v 9.2	v 7.5	v 10.1 = v 4 n	v 8,4 = vuu	v 9.3 = v 3.1 x	v 7.6 = v 7	v 8.6 v 4 u
T	73	76 19×4	79	84 7×4×3	91 13×7		93	97	103	109	111 37×3	112 7×4×4	117 13×9	127	148 37×4
háromszög alakú arc
Icosahedron Conway Geodesic	v 8.1 I {3.5+} 8.1	v 3 ui { 3.5+ } 6.4	v 7.3 I {3.5+} 7.3	vunI {3.5+} 8.2	vv3.1I {3.5+} 6.5	vrv3.1I {3.5+} 9.1	v 7.4 I {3.5+} 7.4	v 8.3 I {3.5+} 8.3	v 9.2 I {3.5+} 9.2	v 7.5 I {3.5+} 7.5	v 4 nI {3.5+} 10.1	vuui {3.5+} 8.4	v 3.1xI { 3.5+ } 9.3	v 7 I {3.5+} 7.6	v 4 ui { 3.5+ } 8.6
Operátor	w 8.1	wrw 3.1	w 7.3	w3,1c	wcz	w 3,1 w	w 7.4	w 8.3	w 9.2	w 7,5	w 4 z	wcc	w 3,1 év	w 7	w 4 c
Conway dodekaéder	w 8,1 D {5+,3} 8,1	w 3 cD {5+,3} 6.4	w 7,3 D {5+,3} 7,3	wczD {5+,3} 8.2	ww3,1D {5+,3} 6.5	wrw3,1D {5+,3} 9,1	w 7,4 D {5+,3} 7,4	w 8,3 D {5+,3} 8,3	w 9,2 D {5+,3} 9,2	w 7,5 D {5+,3} 7,5	w4zD { 5 +,3} 10.1	wccD {5+,3} 8.4	w 3,1 yD {5+,3} 9,3	w 7 D {5+,3} 7.6	w 4 cD {5+,3} 8.6

Példák a poliéderek szimmetriájára

A műveletek megismétlése, kezdve egy egyszerű formával, nagy számú felülettel rendelkező poliédereket eredményezhet, amelyek megőrzik a mag szimmetriáját.

Tetraéder szimmetria

t6dtT
atT
tatT
stT
XT (10e)
dxt (10e)
m3T
b3T
dHccC
dFtO
Fto

Oktaéder szimmetria

daC Archivált : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (2e)
cC (4e) * Archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél
dcC (4e) * Archivált 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél
cO archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (4e)
akC (6e) * Archivált 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél
dakC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (6e)
m3C (6e)
m3O (6e)
b3C (6e)
b3O(6e)
atC Archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (6e)
qC(6e)
edaC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (8e)
dktO=tkC Archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (9e)
taaC (12e) * Archivált 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél
XO (10e)
XC (10e)
dXO (10e)
dXC (10e)
cdkC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (12e)
ccC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (16e)
tkdkC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (18e)
tatO archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (18e)
tatC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (18e)
l6l8taC archiválva : 2017. március 4., a Wayback Machine -nél (22e)
ccdkC archiválva 2017. január 4-én a Wayback Machine -nél (48e)
wrwC archiválva : 2017. január 16., a Wayback Machine -nél (49e)
cccC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (64e)
tktkC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (81e)
H1taC
H2taC
dH1taC
dH2taC

Királis

wC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (7e)
saC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (10e)
gaC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (10e)
saC archiválva : 2017. január 4., a Wayback Machine -nél (10e)
stO Archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (15e)
stC archiválva : 2017. január 4. a Wayback Machine -nél (15e)

Izoéder szimmetria

kD Archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine = daD (2e)
kD (3e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
dkD=tI (3e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
cI(4e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
t5daD = cD (4e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
dcI (4e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
dakD (6e) * Archivált 2017. március 3-án a Wayback Machine -nél
atD Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (6e)
atI = akD (6e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
qD archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (6e)
m3D (6e)
m3I (6e)
b3D (6e)
b3I (6e)
edaD (8e) * Archivált 2017. március 3-án a Wayback Machine -nél
tkdD (9e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
gaD (10e) * Archivált 2017. március 3-án a Wayback Machine -nél
XI (10e)
XD (10e)
dXI(10e)
dXD (10e)
teD (12e) * Archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél
cdkD archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (12e)
m3aI (12e)
tatI Archivált : 2017. március 3. itt: Wayback Machine = takD (18e)
tatD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (18e)
atkD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (18e)
m3tD (18e)
qtI archiválva : 2017. március 4., a Wayback Machine = t5t6otI (18e)
dqtI archiválva : 2017. március 4., a Wayback Machine = k5k6etI (18e)
actI Archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (24e)
kdktI archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (27e)
tktI archiválva : 2017. március 3. a Wayback Machine -nél (27e)
dctkD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (36e)
ctkD archiválva : 2017. március 3., a Wayback Machine -nél (36e)
k6k5tI Archivált : 2017. március 3. a Wayback Machine -nál
kt5daD Archivált : 2017. március 3. a Wayback Machine -nál
dHtmD
F1taD
F2taD
dF1taD
dF2taD

Királis

dsD (5e)
SD (5e)
wD(7e)
k5sD (7e)
sAD (10e)
sAD (10e)
g3D (11e)
s3D (11e)
g3I (11e)
s3I (11e)
stI (15e)
stD(15e)
wtI(21e)
k5k6stI (21e)

Kétszögű szimmetria

t4daA4=cA4
t4daA4=cA4 (oldal)
t4daA4=cA4 (felül)
tA4
tA5
htA2
htA3=I
htA4
htA5
eP3 = aaP3
eA4 = aaA4

Toroidális szimmetria

A toroid burkolólapok lapos tóruszon , egy duóhenger felületén léteznek 4D-s térben, de kivetíthetők a 3D-s térbe, mint egy szabályos tórusz . Ezek a burkolólapok topológiailag hasonlóak az euklideszi sík burkolatainak részhalmazaihoz.

1x1 szabályos négyzet alakú tórusz, {4,4} 1.0
Szabályos 4x4 négyzet alakú tórusz, {4,4} 4.0
tQ24×12 vetítés a tóruszra
taQ24×12 tórusz vetület
actQ24×8 vetítés a tóruszra
tH24×12 tórusz vetület
taH24×8 tórusz vetület
kH24×12 tórusz vetület

Euklideszi négyzetszimmetria

tQ
cQ
akQ
HDXQ
dHdXQ

Euklideszi háromszögszimmetria

tH
cΔ
CH
ctH
dakH
aaaH
aaaH, egyenlő oldalú

Lásd még

Egységes poliéder
Számítógépes grafikai algoritmusok :
- Du-Sabine felszíni felosztás –operátor bővítése
- Catmull-Clark felületfelosztási algoritmus - orto operátor
Godberg poliéder
Symmetrohedron

Jegyzetek

↑ Kumuláció – a Wolfram MathWorld-től . Letöltve: 2017. október 25. Az eredetiből archiválva : 2017. november 24.. (határozatlan)
↑ Pugh, 1976 , p. 63.

Irodalom

George W. Hart , Propellorized Polyhedra alapján készült szobor , Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, 2000. augusztus, pp. 61–70 [1] Archiválva : 2017. november 3. a Wayback Machine -nél
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. 21. fejezet: Az arkhimédeszi és katalán poliéderek és csempézések elnevezése // A dolgok szimmetriái. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Conway Polyhedron Notation vizualizációja // World Academy of Science, Engineering and Technology 50. - 2009.
Anthony Pugh. 6. fejezet, Geodéziai poliéder // Polyhedra: a visual approach . - 1976. - S. 63. o.

Linkek

George Hart Conway-tolmácsa Archiválva : 2014. november 29. a Wayback Machine -nél : poliédereket generál VRML -ben, Conway-jelölést használva bemenetként. A műveletek hasznos magyarázatait is tartalmazza.
- A Polyhedra nevek archiválva 2020. november 12-én a Wayback Machine -nél
A platóni és arkhimédeszi szilárdtestek csúcs- és élcsonkítása, amely csúcstranzitív poliéderekhez vezet. Archiválva : 2019. március 16., a Wayback Machine Livio Zefiro -nál
polyHédronisme Archiválva : 2012. április 25. a Wayback Machine -nél : poliédereket generál HTML5 vászonban, Conway-jelölést használva bemenetként
Weisstein, Eric W. Conway Polyhedron Notation (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
John Conway jelölése archiválva 2018. február 3-án a Wayback Machine -nél . A Conway-féle poliéder jelölése archiválva 2017. április 9-én a Wayback Machine -nél
Weisstein, Eric W. Truncation (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén . (csonka)
Weisstein, Eric W. Helyreigazítás (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán . (ambo)
Weisstein, Eric W. Cumulation or Apiculation (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán . (kis)
Conway operátorok, PolyGloss, Wendy Krieger Archiválva : 2017. október 22. a Wayback Machine -nél
Származtatott szilárd anyagok

Poliéder

helyes

Háromdimenziós (platonikus szilárd testek)	szabályos tetraéder Kocka Oktaéder Dodekaéder ikozaéder
4D	Ötcellás tesserakt Hexadecimális sejt huszonnégy cella 120 cella Hatszáz sejt
Nagyobb méret (zárójelben jelölve)	Szabályos szimplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hiperoktaéder

Szabályos
, nem domború

Háromdimenziós az
arcok számával (zárójelben jelölve)

Monoéder (1)
Diéder (2)
Triéder (3)
Tetraéder (4)
Pentaéder (5)
Hexaéder (6)
Heptaéder (7)
Oktaéder (8)
Enneaéder (9)
Dekaéder (10)
Endekaéder (11)
Dodekaéder (12)
Tridekaéder (13)
Tetradekaéder (14)
Pentadekaéder (15)
Hexadekaéder (16)
Heptadekaéder (17)
Oktadekaéder (18)
Enneadekaéder (19)
Ikozaéder (20)
Ikozotetraéder (24)
Triakontaéder (30)
Hexacontahedron (60)
Enneakontaéder (90)
Hektotriadioéder (132)
Apeiroéder (∞)

konvex

Arkhimédeszi szilárd testek

Katalán testek

Prizmák
háromszög prizma négyszögű prizma Ötszögletű prizma Hatszögletű prizma Hétszögű prizma Nyolcszögletű prizma Kilencszögű prizma Tízszögű prizma Tizenegy szögű prizma Dodecagonal prizma

Johnson poliéder

Képletek ,
tételek ,
elméletek

Egyéb