Szabályos ikozaéder

Szabályos ikozaéder
( forgó modell )
Típusú	szabályos poliéder
Kombinatorika
Elemek	20 lap 30 él 12 csúcs X  = 2
Szempontok	szabályos háromszögek
Vertex konfiguráció	3.3.3.3.3
Kettős poliéder	szabályos dodekaéder
Vertex figura
Letapogatás
Osztályozás
Jelölés	én UTCA
Schläfli szimbólum	{3,5}
Wythoff szimbólum	5 | 2 3
Dynkin diagram
Szimmetria csoport
Rotációs csoport
mennyiségi adatok
Uszony hossza
Felszíni terület
Hangerő
Kétszögű szög
Tömörszög a csúcson	Házasodik
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A szabályos ikozaéder ( más görög szóból: εἴκοσι "húsz"; ἕδρον "ülőhely", "alap") egy szabályos domború, húszoldalú poliéder [ 1] , a platóni testek egyike . A 20 lap mindegyike egyenlő oldalú háromszög . Az élek száma 30, a csúcsok száma 12. Az ikozaédernek 59 csillagképe van .

Történelem

Eukleidész a „ Kezdetek ” XIII. könyvének 16. állításában egy ikozaéder felépítésével foglalkozik, először két, két párhuzamos síkban fekvő szabályos ötszöget kap  – annak tíz csúcsából, majd – a maradék két egymással szemben lévő csúcsot [2 ] [3] :127-131 . Az alexandriai Pappus a „matematikai gyűjteményben” egy adott gömbbe írt ikozaéder felépítésével foglalkozik , bizonyítva ezzel, hogy tizenkét csúcsa négy párhuzamos síkban fekszik, négy szabályos háromszöget alkotva bennük [3] :315-316 [4] .

Alapképletek

Az a élhosszúságú ikozaéder S felületét , V térfogatát , valamint a beírt és körülírt gömb sugarait a következő képletekkel számítjuk ki:

Négyzet:

Hangerő:

A beírt gömb sugara [5] :

A félig beírt gömb sugara [ 5]

A körülírt gömb sugara [5] :

Tulajdonságok

• Az ikozaéder bármely két szomszédos lapja közötti diéderszög arccos(-√5/3) = 138,189685°.
• Az ikozaéder mind a tizenkét csúcsa három párhuzamos síkban fekszik , mindegyikben szabályos háromszöget alkotva .
• Az ikozaéder tíz csúcsa két párhuzamos síkban fekszik, két szabályos ötszöget alkotva bennük , a maradék kettő pedig egymással szemben, és a körülírt gömb átmérőjének két végén, ezekre a síkokra merőlegesen fekszik. Az öt csúcs által alkotott, fent említett síkok szimmetrikus párjai közötti távolság egyenlő az ötszög körül leírt kör sugarával. /ez a szabály meglehetősen egyszerűvé teszi egy szabályos ikozaéder 3D-s modelljének létrehozását/.
• Az ikozaéder testének középpontjához viszonyított két legközelebbi csúcs közötti szöget ikozaéderszögnek kell nevezni ≈ 63,434949°
• Ikozaéderes szögtartók – ikozaéder szimmetriájúak.
• Az ikozaéder szöge abszolút azonos=egyenlő a megkettőzött (a=n; b=2n) téglalap kisebbik oldalával bezárt átló szögével /ez a szabály szabályos ikozaéder 3D-s modelljének létrehozására vonatkozik/.
• Egy ikozaéder írható a kockába , míg az ikozaéder hat egymásra merőleges éle a kocka hat lapján, a maradék 24 él a kocka belsejében, az ikozaéder mind a tizenkét csúcsa a kocka hat lapján lesz.
• Egy ikozaéderbe tetraéder írható úgy, hogy a tetraéder négy csúcsa az ikozaéder négy csúcsához igazodik.
• Egy ikozaéder írható egy dodekaéderbe úgy , hogy az ikozaéder csúcsai a dodekaéder lapjainak középpontjához igazodnak.
• Egy dodekaéder ikozaéderbe írható úgy, hogy a dodekaéder csúcsai és az ikozaéder lapjainak középpontjai egy vonalba esnek.
• Az ikozaéder modelljét 20 egyenlő oldalú háromszögből állíthatja össze.
• Szabályos tetraéderből lehetetlen ikozaédert összeállítani, mivel az ikozaéder körül körülírt gömb sugara, illetve a tetraéder oldalélének hossza (a csúcstól a középpontig) kisebb, mint a tetraéder. magának az ikozaédernek a széle. Az ikozaéder felosztásával kapott tetraéderek felületi szöge 60 °, a belső (az ikozaéder testének középpontjához viszonyítva) ikozaéder szöge körülbelül 63,434949 °

Csonka ikozaéder

A csonka ikozaéder  egy poliéder, amely 12 szabályos ötszögből és 20 szabályos hatszögből áll. Ikozaéder típusú szimmetriája van. Valójában egy klasszikus futballlabdának nem labda alakja van, hanem csonka ikozaéder, domború (gömb alakú) lapokkal.

Egy csonka ikozaédert úgy kaphatunk, hogy 12 csúcsot levágunk szabályos ötszöglapok kialakítására. Ezzel párhuzamosan az új poliéder csúcsainak száma 5-szörösére nő (12×5=60), 20 háromszöglap szabályos hatszöggé változik (a lapok száma összesen 20+12=32), az élek száma 30+12×5=90-re nő.

A világban

• Az ikozaéder az összes szabályos poliéder közül a legjobb a gömb háromszögelésére a rekurzív particionálás módszerével [6] . Mivel ez tartalmazza a legtöbb lapot közöttük, a kapott háromszögek torzítása a helyes háromszögekhez képest minimális.
• Az ikozaédert kockaként használják asztali szerepjátékokban , és d20- nak (kocka - csontok) jelölik.

Szilárdtestek ikozaéder formájában

• Számos vírus kapszidjai (például bakteriofágok , mimivírusok ).

Lásd még

• csillag poliéder

Jegyzetek

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Geometrikus test // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára  : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
2. ↑ Euklidész elemei, XIII. könyv, 16. tétel . Letöltve: 2014. szeptember 3. Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 30.. (határozatlan)
3. ↑ 1 2 Eukleidész elemei. Könyvek XI-XV . - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Kiadó, 1950. - Eukleidész művének orosz  nyelvű fordítása mellett ez a kiadás a megjegyzésekben tartalmazza Pappus szabályos poliéderekre vonatkozó javaslatainak fordítását.
4. ↑ Eredeti szöveg ógörögül párhuzamos latin fordítással : Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - Kt. I.—P. 150-157.
5. ↑ 1 2 3 Bizonyítás itt: Cobb, John W. The Icosahedron  ( 2005-2007). Letöltve: 2014. szeptember 3. Az eredetiből archiválva : 2016. május 4..
6. ↑ OpenGL Red Book Ch.2 Archiválva : 2015. január 8.

Irodalom

• Klein F. Előadások az ikozaéderről és az ötödik fokú egyenletek megoldásáról / Klein F.; per. vele. A. L. Gorodentsev, A. A. Kirillov, piros. A. N. Tyurin. — M .: Nauka , 1989. — 332 p. — ISBN 5020141976 .