A matematikában egy n rendű permutációs politóp egy ( n − 1) dimenziós konvex politóp , amely egy n -dimenziós euklideszi térbe van beágyazva, amely minden n konvex burkai ! az (1, 2, 3, ..., n ) vektor koordinátáinak permutálásával kapott pontok .
Ziegler, Günther [1] szerint a permutációs poliéder Schute munkáiban jelenik meg először 1911-ben. Maga a "permutációs poliéder" kifejezés (pontosabban francia változata "permutoèdre") Guibud (G.-T.Guibaud) és Rosenstahl, Pierre cikkében jelent meg először 1963-ban. Javaslatában a szerzők azt írták, hogy a "permutoèdre" barbárnak tűnik, de könnyen megjegyezhető, és a kifejezés használatát az olvasóra bízzák.
Szorosan rokon fogalom a Birkhoff poliéder , amelyet permutációs mátrixok konvex burkaként határoznak meg . Általánosabb helyzetben Bowman (V.-J.Bowman) 1972-ben a "permutációs politóp" ("permutációs politóp") kifejezést használta minden olyan politópra, amelynek csúcsai egy az egyhez megfelelnek valamilyen halmaz permutációinak.
Egy n rendű permutációs politóp teljesen benne van az ( n − 1) dimenziós hipersíkban, amely minden olyan pontból áll, amelyek koordinátáinak összege
1 + 2 + ... + n = n ( n + 1)/2.Sőt, ez a hipersík a permutációs poliéder végtelen számú párhuzamos másolatával burkolható. Ezen másolatok mindegyike különbözik az eredeti permutációs poliédertől valamilyen ( n − 1)-dimenziós rács elemével, amelyet n -dimenziós vektorok alkotnak, amelyeknek minden koordinátája egész szám, összegük nulla, és minden koordináta a azonos osztályú maradékanyag modulo n :
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d 0, x 1 ≡ x 2 ≡ ... ≡ x n (mod n ).Például az ábrán látható 4-es rendű permutációs poliéder párhuzamos transzlációkkal tessellálja a 3-dimenziós teret. Itt a 3-dimenziós teret az x , y , z , w koordinátákkal rendelkező 4-dimenziós R 4 tér affin alterének tekintjük , amelyet négy valós szám alkot, amelyek összege 10, azaz.
x + y + z + w = 10.Könnyen ellenőrizhető, hogy a következő négy vektor mindegyikénél
(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) és (−3,1,1,1),a koordináták összege nulla, és minden koordináta kongruens 1 modulo 4-hez. Ezen vektorok közül bármelyik három párhuzamos transzláció rácsát generálja .
A 3-as és 4-es rendű permutációs poliéderekből így megszerkesztett burkolólapok szabályos hatszögletű csempék , illetve csonka oktaéderek .
| Rendelés 2 | Rendelés 3 | 4. rendelés |
|---|---|---|
| 2 csúcs | 6 csúcs | 24 csúcs |
| A 2. rendű permutációs poliéder egy szakasz az egységnégyzet átlóján . | A 3-as rendű permutációs poliéder egy szabályos hatszög , amely egy 2×2×2 méretű kocka metszete . | A 4-es rendű permutációs poliéder egy csonka oktaéder . |
| Rendelés 5 | Megrendelés 6 |
|---|---|
| 120 csúcs | 720 csúcs |
| 5-ös rendű permutációs poliéder. | 6-os rendű permutációs poliéder. |