Minkowski összeg

Egy V lineáris tér (vagy egy tetszőleges csoport ) két A és B részhalmazának Minkowski összege egy C halmaz, amely az A és B összes lehetséges vektorának összegéből áll :

C = \left\{\,c \mid c=a+b, a\in A, b\in B\,\right\}

Egy halmaz számmal való szorzatát hasonlóképpen határozzuk meg:

\lambda A = \left\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}

Tulajdonságok

Ha az A halmaz konvex, akkor $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$

bármely és .

\lambda>0

\mu>0

$\lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B$
$A + B = B + A$
$A + \left\{0\right\} = A$

A Minkowski különbségről

Azok a halmazok, amelyeken a Minkowski-összeg szerepel, nem alkotnak lineáris teret (még a konvexek sem). Ennek oka az inverz elem hiánya (az A elem nyilvánvalóan nem az).

Az A és B halmazok Minkowski-különbsége a maximális C halmaz úgy, hogy $C + B\A részhalmaz$ ,

de könnyen belátható, hogy sok halmaznál (például a négyzetnél és a körnél) a Minkowski-különbség nem az összeg inverze.

Alternatív megoldásként a Minkowski összeget kiterjeszthetjük a konvex halmazok ( A , B ) párjainak lineáris terére az ekvivalencia relációval $(A, B) \sim (C, D) \Bal jobbra nyíl A + D = B + C$

A Minkowski-különbséget geometriai halmazkülönbségnek is nevezik .

Változatok és általánosítások

Az összegek halmaza hasonló definíció az additív és aritmetikai kombinatorika csoportjainak részhalmazaira . Az összegekkel együtt a halmazok és egyéb műveletek szorzatait is figyelembe veszik. $A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Irodalom

Polovinkin ES , Balashov MV Konvex és erősen konvex elemzés elemei . — M.: FIZMATLIT , 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .