Aritmetikai kombinatorika

Az aritmetikai kombinatorika a matematikának egy interdiszciplináris területe, amely egy területen (ritkábban egy gyűrűben ) az összeadás és a szorzás műveletével kialakult struktúrák közötti kapcsolatot vizsgálja.

A struktúra fogalmának megközelítése itt hasonló az additív kombinatorikához , és főként az összegek ( vagy szorzatok) halmazának méretén, az additív (vagy multiplikatív) energián és ezek különféle kombinációin alapul. Mezőként általában a valós vagy racionális számokat ( , ) és a modulo prím ( ) maradékokat veszik figyelembe. ${\mathbb {R} }$ ${{\mathbb Q}}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

A terminológia és a cikk tárgyának kétértelműsége

Az additív és aritmetikai kombinatorika fiatal, aktívan fejlődő tudományok. Módszereik és problémafelállítási módjaik nagyon hasonlóak, ezért az additív kombinatorika általában az aritmetika részének tekintendő. [1] Ez a cikk csak azokat a témaköröket írja le, amelyek mindkét mezőműveletet egy vagy olyan formában vagy azok inverzeit tartalmazzák, vagyis amelyek nem tartoznak a tisztán additív kombinatorikába (bár ez utóbbi az aritmetika meglehetősen jelentős részét teszi ki).

Ráadásul itt nem térünk ki a multiplikatív részcsoportok és a kapcsolódó halmazok additív-kombinatorikus tulajdonságaira vonatkozó kérdésekre, mivel bár definíciójuk a szorzáshoz kapcsolódik, a multiplikatív szerkezetük mereven rögzített, és ennek a tudománynak a kombinatorikus komponense magában foglal egyet-mást. általánosság a szerkezet fokát illetően (legalábbis állandóként működő paraméterrel). ${\mathbb {F} }_{p}^{*}$

Motiváció

Az aritmetikai kombinatorika fejlődését nagymértékben az összeg-szorzat tétel megjelenése motiválta , amely a halmazok nélkülözhetetlen növekedéséről beszél attól, hogy akár kombinatorikus összegzést, akár szorzást alkalmazunk rá, azaz két művelet egyikét:

A+A=\left\lkapcsos zárójel {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rkapcsos zárójel

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Ebből következik, hogy e műveletek kombinációja növekedést is von maga után: ha , akkor $\{0,1\}\subset A$

|A(A+A)|\gg \max\{|A(A+0)|,|1(A+A)|\}=\max\{|AA|,|A+A| \}

véges számú elem hozzáadása pedig csak marginálisan befolyásolja a növekedést. Mivel az összeg-szorzat tételt csak gyenge formában igazolták (a hipotézistől távol), egyes tudósok érdeklődést mutattak az ilyen jellegű állítások megszerzésében, amelyek a hipotézis bizonyítottnál erősebb formáiból következnének, és ezt követően az általános tanulmányozásban. két műveleti mező különböző kombinációinak eredményei közötti kapcsolat. $A$

Például az Erdős-Szemeredy összeg-szorzat sejtés azt állítja, hogy [2]

{\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ \forall A\subset {\mathbb {R} ))

Ebből a hipotézisből az következne, hogy , de halmazokra egyszerű kombinatorikus érveléssel könnyen elérhető ilyen eredmény anélkül is. [3] ${\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)))$ $A\subset {\mathbb {N} }$

Feladatok és eredmények

Ez a szakasz hagyományos jelöléseket használ az eredmények leírására (az O-jelölés magyarázata ):

$X\ll Y$ azt jelenti, hogy $X=O(Y)$

$X\lesssim Y$ azt jelenti, hogy $X\leq (\log |A|)^{O(1)}Y$

Racionális kifejezések

A kérdés kijelentése

Legyen a halmazok feletti racionális kifejezés a köztük lévő számtani műveletek ( ) tetszőleges kombinációja . A művelet itt a többszörös összeg elve szerinti alkalmazást jelenti: ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k))$ $+,-,\times ,/$

{\displaystyle A\circ B=\{a\circ b\ :\ a\in A,\ b\in B\))

Például a következő halmazok racionális kifejezések a következőre : $ABC$

maguk a készletek ; ${\megjelenítési stílus A,\B,\C}$

${\displaystyle A(AA)=\{a(bc)\ :\ a,b,c\in A\))$ egy racionális kifejezés over ; $A$

${\displaystyle A+BC=\{a+bc\ :\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\))$ .

Az additív energiával analóg módon, amelyet gyakran használnak összegek halmazának becslésére, célszerű figyelembe venni egy racionális kifejezéssel rendelkező szimmetrikus egyenlet megoldásainak számát. Például,

E_{AB+C}=\#\{(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})\in A^{ 2}\times B^{2}\times C^{2}|:\ a_{1}+b_{1}c_{1}=a_{2}+b_{2}c_{2}\}

[négy]

Az aritmetikai kombinatorika problémáinak egy lényeges részét a következő kérdés megfogalmazással fejezhetjük ki.

Legyen — valamilyen mező (akár végtelen, akár kellően nagy egy adott végesek családjából), — racionális kifejezések, és ezek közül legalább az egyik használja a vagy és legalább egy vagy . ${\mathbb {F} }$ ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n))$ $+$ $-$ $\cdot$ $/$

Legyen néhány és beállítja a kapcsolatokat is $N$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\subset {\mathbb {F} ))$

|A_{j}|=N^{\alpha _{j)),\ j=1,\pontok ,k

|R_{i}(A_{1},\pontok ,A_{k})|=N^{\beta _{i)),\ i=1,\pontok ,n

E_{R_{i}(A_{1},\pontok ,A_{k})}=N^{\gamma _{i)),\ i=1,\pontok ,n

Kérdés

Hogyan függ a lehetséges értékek halmaza ? $N\to \infty$ $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k},\beta _{1},\dots ,\beta _{k},\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$ ${\displaystyle {\mathbb {F} },R_{1},\dots ,R_{n))$

jegyzet

Ha a mező véges, akkor célszerű a halmazt kiegészíteni a paraméterrel , ahol . [5] $(\alpha _{1},\dots ,\gamma _{n})$ $\varepsilon$ ${\displaystyle N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon ))$

Például az összeg-szorzat hipotézis kimondja, hogy ha , , , akkor (itt ). ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $R_{1}(A)=A+A$ $R_{2}(A)=A\cdot A$ $\max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2$ $k=1,\ n=2$

Általában kiderül, hogy lineáris összefüggéseket vezet le a mennyiségek között , azaz egyenlőtlenségeket a különböző mennyiségek szorzatai és hatványai között . ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\gamma _{n))$ $|A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\dots ,A_{ k})}$

Néhány eredmény

Az összegek és termékek általánosításáról:

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+AA+AA+AA|\geq {\frac {1}{2}}|A|^{2}

[6]

\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}:|A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A-A+AA)+A(AA)|\geq |A|^{2}

[7]

\exists c>0:\ \forall B,C\subset {\mathbb {R} }:\ |(B+C)(B+C)|\geq |B+C|^{1+c }

[8] ;

\exists c>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+A|\geq |A|^{{\frac {3}{2}}+c}

[9] ;

\exists c_{1},c_{2}>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |A+A|\leq |A|^{1+c_{1} }\Rightarrow |AAA|\geq |A|^{2+c_{2}}

[tíz]

{\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |(AA)(AA)(AA)|\gtrsim |A|^{2+{\frac {1}{8))))

[tizenegy]

Az energiák általánosításáról:

${\displaystyle E_{A+B}^{2}\leq |A/B|E_{(A+B)/B))$ [12]

bármely if esetén , akkor , és [13] $k\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\geq p^{c(k)))$ $E_{(AA)^{k}}\sim {\frac {|A|^{4k}}{p}}$ $c(k)\to {\frac {1}{2))$ $k\to\infty$

Változások

A kérdés kijelentése

A különböző műveleteket kombináló racionális kifejezések kiértékelésének ötlete abból a tényből származik, hogy egy halmazra additív művelet alkalmazása megfosztja multiplikatív szerkezetétől. Ugyanez az elv kiterjeszthető arra az esetre is, amikor a halmazt nem az elemenkénti összeadás összetett kombinatorikus műveletével változtatjuk meg, hanem egy közönséges additív eltolással - a halmaz összes eleméhez egy szám hozzáadásával. Ez várhatóan a legtöbb esetben megváltoztatja a halmaz multiplikatív szerkezetét (például ha , akkor egyeseknél az összesre vagy majdnem az összesre ). [tizennégy] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c))$ $c>0$ $d$

Kérdés

Rögzített (de tetszőleges) multiplikatív tulajdonságai (a szorzathalmaz mérete és a multiplikatív energia) a halmazok egymástól függenek . És azt is, hogy mik a különböző halmazok együttes multiplikatív tulajdonságai (például vannak-e nem triviális becslések a -n )? $A\subset {\mathbb {F} }$ $A+u,\ u\in {\mathbb {F} }$ ${\displaystyle A+u_{1},\dots ,A+u_{k))$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{k))$ $|A(A+1)|$

Néhány eredmény

ha egyszerű , akkor: ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $p$

- ${\displaystyle |A|<p^{5/8}\Rightarrow |A(A+1)|\gg |A|^{6/5))$ [tizenöt]

- ${\displaystyle |A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A+1)|\gtrsim |A|^{11/9-o(1)))$ [16]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ \forall a\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}:\ |A(A+1)| \ll |A|\Jobbra E_{\times }(A,A+a)\lesssim |A|^{32/13}$ [17]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}:\ |AA|\ll |A|\Rightarrow |(A+1)^{k}|\gg _{k}|A |^{k}$ [tizennyolc]

${\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |AA|^{4}|(A+1)(A+1)|\gtrsim |A|^{6))$ [19]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16}|AA|^{78}\ gtrsim|A|^{111}$ [húsz]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}\forall u\subset {\mathbb {Q} }\setminus \{0\}:\ \max \left\lbrace {|A^ {k}|,|(A+u)^{k}|}\jobbra\rkapcsos zárójel \gg |A|^{b(k)}$ , ahol a [21] $b(k)\to \infty$ $k\in \infty$

Polinomok

A kérdés kijelentése

Az összeadás és szorzás kombinálásának gondolata természetesen a polinomok figyelembevételéhez vezet , vagyis ugyanazok a racionális kifejezések, amelyekben egy változó többször is megjelenhet (és így összetettebb hatással lehet a kapott halmaz szerkezetére). . Kiderült, hogy ebben az esetben a feltétel nélküli növekedés biztosításához nem szükséges a halmaz három példányát használni (mint a kifejezésben ), hanem elegendő két változóban kiválasztani a kívánt polinomot. [22] Bourgin vette észre először a polinom ilyen tulajdonságát . [23] $A+AA$ $x^{2}+xy$

Ezenkívül, az összeg-szorzat tételével analóg módon, tetszőleges polinomok alsó határait tanulmányozzuk . ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\))$ $f$

Néhány eredmény

Bourgain első eredménye: ha . Aztán egyesek számára ez igaz $A,B\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\ \alpha \in (0;1)$ $\varepsilon =\varepsilon (\alpha )>0$

\#\{a^{2}+ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}\geq N^{1+\varepsilon }

[24]

A és összehasonlításakor a polinom degeneráltsága nagy jelentőséggel bír . Ha degenerált, azaz így ábrázoljuk , ahol polinomok és , akkor mindkét összeg kicsinek bizonyulhat, ha egy aritmetikai progresszió, mert . Ezért az eredmények csak nem degenerált polinomokra vannak megfogalmazva: $|A+A|$ $|f(A,A)|$ $f$ $f=g(l(x,y))$ $l,g$ $\deg l=1$ $A$ $|f(A,A)|\leq |l(A,A)|$

ha , akkor [25] $\deg f=2$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ |A|\leq p^{5/8}\Rightarrow \max\{|A+A|,|f(A ,A)|\}\gg |A|^{6/5}$

ha , akkor [26] $\deg f=d$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}\gg \min \left\lkapcsos zárójel {{\frac {|A|^{3/2}}{dp^{1/4}}},{\frac {p^{1/3}|A|^{2/3}}{d^ {1/3}}}\jobbra\rkapcsos zárójel$

Mátrixszorzás

Tulajdonságok

Vannak eredmények az egyik vagy másik mátrix-alcsoportból (például a Heisenberg-csoportból ) származó mátrixkészletek szorzathalmazairól. Szigorúan véve ezek az eredmények egyetlen csoportműveletre vonatkoznak ( mátrixszorzás ), így additív kombinatorikáknak nevezhetjük őket . Ám az elemek összeadása és szorzása [27] e műveletének definícióján belüli összeolvadása , valamint az ebből fakadó kommutációmentesség nagyon atipikussá teszi tulajdonságait a hétköznapi csoportműveletekhez, például a valós számok összeadásához képest. ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {R} })$

Például egy mátrixhalmaz gyakran úgy nőhet, hogy nagyon egyszerű feltételek mellett (nagy méret, az egyes elemek korlátozása vagy az alcsoportoktól való eltérés) önmagát megszorozhatja.

Néhány eredmény

A mátrixcsoportokra vonatkozó eredmények többsége, amikor tetszőleges mátrixhalmazokról van szó, a , nem pedig az értékét elemzi . Ez nem véletlen, hanem a kommutativitás hiányához kapcsolódó technikai szükségszerűség. [28] $|AAA|$ $|AA|$

ha , akkor a mátrixhalmazra (a Heisenberg-csoportban van) igaz, hogy , ahol [29] $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\mathcal {A}}=\left\lkapcsos zárójel {{\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in A}\right\rbrace$ $|{\mathcal {A}}{\mathcal {A}}|\gg |{\mathcal {A}}|^{7/4+c}$ $c>0$

let generálja a teljes csoportot és . Aztán [30] $A\subset {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ $\forall a\in A\ :\ a^{-1}\in A$ $|AAA|\gg \min\{|A|^{21/20},\ |{\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})|\ }$

$\forall A\subset {\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})\ :\ |A|>2|G|^{1-{\frac {1}{3(n+1)}}}\Rightarrow AAA={\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})$ (más csoportoknál hasonló becslés lehetséges, a reprezentációinak méretétől függően ) [31]

ha és , akkor a struktúra erősen kapcsolódik alcsoportokhoz (ez a kapcsolat kifejezésekkel fejezhető ki ) [32] $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $|AAA|\ll |A|^{1+\delta },\ \delta >0$ $A$ $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $\delta$

Alkalmazások

A csoport és a Chevalley csoport növekedésének vizsgálatára szolgáló analitikai módszerek felhasználhatók a Zaremba sejtés egy speciális formájának levezetésére . [33] [34] ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

Lásd még

Hivatkozások

Erdös P., Szemedi E.. Az egész számok összegeiről és szorzatairól (angol) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - P. 213-218 .

Oliver Roche-Newton, Z. Ruzsa Imre, Chun-Yen Shen, Ilya D. Shkredov. A készlet méretéről . - 2018. - arXiv : 1801.10431v1 . $AA+A$

Oliver Roche-Newton, Ilja D. Shkredov. Ha kicsi , akkor szuperkvadratikus . - 2019. - arXiv : 1810.10842v2 . $A+A$ $AAA$

Balog Antal. Megjegyzés a becslések összegéről (angol) // Publicationes mathematicae. - 2011. - 20. évf. 79 , iss. 3 . - doi : 10.5486/PMD.2011.5104 .

M. Z. Garaev. Halmazok összegei és szorzatai, valamint racionális trigonometrikus összegek becslései elsőrendű mezőkben // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Orosz Tudományos Akadémia , 2010. - T. 65 , no. 4 (394) . - S. 5-66 . doi : 10.4213 / rm9367 . (Orosz)

Ilya D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov. Kis termékkészlettel rendelkező készletek additív alapjain . - 2016. - arXiv : math/1606.02320 .

A. A. Glibichuk. A maradékhalmazok kombinatorikus tulajdonságai modulo a prím és az Erdős-Graham probléma // Matematikai jegyzetek . - 2006. - T. 79 , sz. 3 . – S. 384–395 . (Orosz)

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Iterált termékkészleteken műszakokkal . - 2018. - arXiv : 1801.07982v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Iterált termékkészleteken műszakokkal II . - 2018. - arXiv : math/1806.01697v1 .

Sophie Stevens, Frank de Zeeuw. Tetszőleges mezőkre kötött javított pontvonal előfordulás // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2017. - Kt. 49 , iss. 5 . - doi : 10.1112/blms.12077 . - arXiv : 1609.06284 .

Audie Warren. Az önkényes mezők műszakainak termékeiről . - 2019. - arXiv : 1812.01981v2 .

Balog Antal, Oliver Roche-Newton, Dmitrij Zselezov. Expanders with Superquadratic Growth // A kombinatorika elektronikus folyóirata. - 2016. - Kt. 24 , iss. 3 . - doi : 10.37236/7050 . - arXiv : 1611.05251v1 .

I. D. Shkredov. Néhány megjegyzés a kis hányadosú halmazokhoz // Matematikai gyűjtemény. - 2017. - T. 208 , sz. 12 . doi : 10.4213 / sm8733 . - arXiv : 1603.04948v2 . (Orosz)

Bryce Kerr, Simon Macourt. Multilineáris exponenciális összegek általános súlyosztályokkal . - 2019. - arXiv : 1901.00975v2 .

Konstantin I. Olmezov, Aliaksei S. Semchankau, Ilya D. Shkredov. A népszerű összegekről és a kistermékekkel rendelkező készletek különbségeiről . - 2019. - arXiv : 1911.12005v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Misha Rudnev. Nagyobb konvexitás és iterált összeghalmazok . - 2020. - arXiv : 2005.00125v1 .

I. D. Shkredov. Számos új eredmény a magasabb energiákkal kapcsolatban // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - T. 74 , sz. 1 . (Orosz)

J. Bourgain. Bővebben a prímmezők összeg-szorzat jelenségéről és alkalmazásairól // International Journal of Number Theory. - 2005. - 20. évf. 1 , iss. 1 . - doi : 10.1142/S1793042105000108 .

Doowon Koh, Hossein Nassajian Mojarrad, Thang Pham, Claudiu Valculescu. Négyváltozós bővítők a prímmezők felett // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2018. - Kt. 146 , iss. 12 . - doi : 10.1090/proc/14177 . - arXiv : 1705.04255 .

Van Vu. Sum-product becslések irányított bővítőkkel // Mathematical Research Letters. - 2007. - Vol. 15 , iss. 2 . - doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n2.a14 . - arXiv : 0705.0715 .

Ilja D. Shkredov. Néhány megjegyzés a Heisenberg csoport és az affin csoport készleteinek termékeihez . - 2019. - arXiv : 1907.03357 .

Misha Rudnev, Ilya D. Shkredov. A növekedési ütemre vonatkozóan az affin csoport és az összeg-terméktípus hatásai . - 2019. - arXiv : 1812.01671v3 . ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

H.A. Helfgott. Növekedés (angol) . - 2009. - arXiv : 0807.2027 . ${\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })$

Nikolay Nikolov, László Pyber. Kvázi véletlen csoportok szorzatbontásai és egy Jordan típusú tétel // Journal of the European Mathematical Society. - 2007. - Vol. 13 , iss. 4 . - doi : 10.4171/JEMS/275 . — arXiv : 0703343 .

Nikolay G. Moshchevitin, Ilya D. Shkredov. Zaremba sejtésének moduláris formáján . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .

Ilja D. Shkredov. Növekedés a Chevalley csoportokban a parabolikus alcsoportokhoz és egyes alkalmazásokhoz képest . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .

Jegyzetek

↑ A fordítottja nem igaz – mivel az "adalék" szó az angolból származik. kiegészítés (kiegészítés), használata határozottan nem megfelelő a cikk tárgyához. Például Green Tao monográfiájának áttekintésében , amikor az összeg-szorzat tételről kezd beszélni, megemlíti, hogy eltér az additív kombinatorika definíciójától ("Bár félek az additív kombinatorika definíciójától... ").
↑ Erdös, Szemerédi, 1983 .
↑ Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 , megjegyzés az 1.5 tétel után
↑ A továbbiakban használt megnevezés nem általánosan elfogadott. $E_{AB+C}$
↑ Lásd a magyarázatot az összeg-szorzat tétel példájára: Garaev, 2010 (1.1. tétel és a közvetlenül utána található megjegyzés)
↑ Balog, 2011 .
↑ Részlet S. V. Konyagin jelentéséből
↑ Shkredov, Zhelezov, 2016 , 2. következmény
↑ , részletekért lásd: Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 $c>2^{-222}$
↑ , a részletekért lásd: Roche-Newton, Shkredov, 2019 $c_{2}={\frac {1}{392}}-c_{1}{\frac {125}{56}}-o(1)$
↑ Balog, Roche-Newton, Zhelezov, 2016 .
↑ Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2019 , 12. mondat
↑ Kerr, Macourt, 2019 , 2.11
↑ Ennek a fordítottja általánosságban nem igaz: a multiplikatív eltolódás semmilyen módon nem változtathatja meg a halmaz additív tulajdonságait. Ha egy aritmetikai progresszió és , akkor bármely . De néha kiderül, hogy hasonló gondolatokat használnak – lásd például a 2. Lemma in Glibichuk, 2006 , ahol a Waring-probléma analógjának bizonyításakor egy véges mezőben hasonló állítást fogalmaznak meg a létezésről szóló együttes additív energiával kapcsolatban. a szükséges műszakról. ${\displaystyle A\subset {\mathbb {R} }_{+))$ $k\cdot A=\{ka\ :\ a\in A\}$ $|k\cdot A+k\cdot A|=|A+A|$ $k$
↑ Stevens, de Zeeuw, 2017 , 10. vizsgálat
↑ Warren, 2019 .
↑ Shkredov, 2013 , következmény 5.8
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I), 2018 .
↑ Shkredov, 2017 , 12. tétel
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , 4.1. tétel
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II), 2018 .
↑ A polinomokat, így vagy úgy, egy halmaz növekedésével kapcsolatban, gyakran nevezik bővítőnek a szakirodalomban.
↑ Lásd az 5.2 szakaszt: Garaev, 2010
↑ Bourgain, 2005 , 2.1. tétel (lásd még az orosz változatot: Garaev, 2010 , 5.2. tétel)
↑ Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu, 2018 , 1.10. tétel
↑ Vu, 2007 , 1.2. Tétel
↑ A mátrixok szorzatának bármely eleme valójában polinom a szorzott mátrixok elemeiben
↑ Lásd: Helfgott, 2009 , lábjegyzet a p. 3, valamint az a tény, hogy a Plünnecke-Rouge egyenlőtlenség a nem kommutatív csoportokban sajátos formával rendelkezik.
↑ Shkredov, 2019 , 2. tétel
↑ Rudnev, Shkredov, 2019 , 2. tétel
↑ Lásd Nikolov, Pyber, 2007 , 2. mondat és megjegyzés: Helfgott, 2009 , az 1.3.1. szakasz elején
↑ Helfgott, 2009 , 1.1. Tétel
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 .
↑ Shkredov, 2020 .