Hazugság típusú csoport

A Lie típusú kifejezéscsoport általában véges csoportot jelent , amely szorosan kapcsolódik egy véges mezőben lévő értékekkel rendelkező reduktív lineáris algebrai csoport racionális pontjainak csoportjához . A "Lie típusú Lie-csoport" kifejezésnek nincs általánosan elfogadott pontos definíciója [1] , de a Lie típusú véges egyszerű csoportok fontos halmazának pontos meghatározása van, és ezek alkotják a csoportok többségét az egyszerű véges csoportok osztályozásában .

A "Lie típusú csoportok" elnevezés a (végtelen) Lie csoportokkal való szoros kapcsolatot tükrözi , mivel a kompakt Lie csoport a valós számok mezején redukált lineáris algebrai csoportok racionális pontjaként fogható fel .

Klasszikus csoportok

Ennek a kérdésnek az első megközelítése az úgynevezett klasszikus csoportok meghatározása és részletes tanulmányozása volt véges és más Jordan - mezőkön [2] . Ezeket a csoportokat Leonard Dixon és Jean Dieudonné tanulmányozta . Emil Artin megvizsgálta az ilyen csoportok sorrendjét, hogy osztályozza az egybeeséseket.

A klasszikus csoport durván szólva egy speciális lineáris , ortogonális , szimplektikus vagy egységes csoport. Ezeknek a csoportoknak számos kisebb változata létezik, amelyeket származtatott alcsoportok vagy központi faktorcsoportok felvételével kapunk , ami projektív lineáris csoportokat ad . A csoportok véges mezőkre (vagy bármely más mezőre) ugyanúgy építhetők fel, mint valós számokra. Megfelelnek a Chevalley és Steinberg csoport A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n sorozatának [3] .

Chevalley csoportok

A Chevalley-csoportok alapvetően véges mezők feletti hazugságcsoportok. Az elméletet részletesen megvizsgálta az algebrai csoportok elmélete és Chevalley [4] a Lie algebrák elméletéről szóló munkáiban, amelyeken keresztül megkülönböztették a Chevalley-csoportok fogalmát . Chevalley megszerkesztett egy Chevalley- alapot (hasonlóan az egész alakokhoz, de véges mezők felett) minden összetett egyszerű Lie-algebrához (vagy inkább univerzális burkológörgő algebrájukhoz ), amely felhasználható a megfelelő algebrai csoportok egész számok feletti meghatározására. Konkrétan bármely véges mezőben értékkel tud pontot venni. Az A n , B n , C n és D n Lie algebráknál ez megadja a jól ismert klasszikus csoportokat, de a konstrukciója megadja a kivételes Lie algebrákhoz tartozó E 6 , E 7 , E 8 , F 4 és G csoportokat is. 2 . Dixon már 1905-ben megalkotta a G 2 típusú csoportok egyikét (néha Dixon-csoportoknak is nevezik) [5] és az egyik E 6 típusú csoportot 1961-ben [6] .

Steinberg csoportok

A Chevalley konstrukció nem adja meg az összes ismert klasszikus csoportot – maradnak egységes csoportok és nem felosztott ortogonális csoportok . Steinberg [7] megtalálta a Chevalley konstrukció egy olyan módosítását, amely ezeket a csoportokat és két új családot ad 3 D 4 és 2 E 6 . E családok közül a másodikat szinte egy időben, egészen más szemszögből fedezte fel a Tits [8] . Ez a konstrukció egy egységes csoport szokásos felépítését általánosítja egy általános lineáris csoportból.

Egy egységes csoport a következőképpen jön létre: a komplex számok feletti általános lineáris csoportnak van egy diagram automorfizmusa , amelyet az A n Dynkin-diagram invertálásával adunk meg (amely az inverz transzponált mátrix megszerzésének felel meg), és egy mező automorfizmusa , amelyet a komplex ad meg. ragozás . Az unitárius csoport e két automorfizmus szorzatának fixpont csoportja.

Ugyanígy sok Chevalley-csoport rendelkezik Dynkin-diagramjaik automorfizmusai által generált automorfizmusdiagramokkal és véges mező automorfizmusai által generált mezőautomorfizmusokkal. Az egységes csoportok analógiájára Steinberg egy diagramautomorfizmus és egy mezőautomorfizmus szorzatának fixpontjait véve csoportcsaládot állított fel.

Ez ad:

A 3 D 4 típusú csoportoknak nincs analógja a valós számokhoz képest, mivel a komplex számok nem rendelkeznek 3-as rendű automorfizmussal. A D 4 diagram szimmetriái háromságot generálnak .

Suzuki-Rie csoportok

Michio Suzuki [9] új, végtelen számú csoportot talált, amelyek első pillantásra nem kapcsolódnak ismert algebrai csoportokhoz. Rimhak Rhee [10] [11] tudta, hogy a B 2 algebrai csoport 2 karakterisztikájú "komplementer" automorfizmussal rendelkezik, amelynek négyzete Frobenius endomorfizmussal rendelkezik . Megállapította, hogy ha a 2-es karakterisztikájú véges mezőnek van olyan automorfizmusa is, amelynek négyzetében van Frobenius-térkép, akkor Steinberg konstrukciójának analógja Suzuki-csoportokat ad. Az ilyen automorfizmusú mezők a 2 2 n + 1 rendű mezők, a megfelelő csoportok pedig a Suzuki csoportok.

2 B 2 (2 2 n +1 ) = Suz(2 2 n +1 ).

(Szigorúan véve a Suz(2) csoport nem számít Suzuki-csoportnak, mivel nem egyszerű - ez egy 20-as rendű Frobenius csoport ). Ree két új családot talált

2 F 4 (2 2 n +1 )

és

2 G 2 (3 2 n +1 )

egyszerű csoportok, azzal a ténnyel, hogy F 4 és G 2 további automorfizmusokkal rendelkeznek 2 és 3 karakterisztikával. (Nagyon véve p karakterisztikával figyelmen kívül hagyhatjuk a Dynkin-diagramokon a p multiplicitás élén lévő nyilakat.) Kisebb csoportok 2 F 4 (2) a 2 -es típusú F 4 nem egyszerűek, hanem egyszerű 2- es indexű alcsoportjaik vannak, amelyeket Tits-csoportoknak neveznek (a matematikus Jacques Titsről nevezték el ). A 2 G 2 típus legkisebb 2 G 2 (3) csoportja nem egyszerű, de van egy egyszerű, 3. indexű normál alcsoportja, amely izomorf A 1 (8) értékkel.

Az egyszerű véges csoportok osztályozásában Ree csoportok

2 G 2 (3 2 n +1 )

olyan csoportok, amelyek szerkezetét nehéz egyértelműen megmagyarázni. Ezek a csoportok nagy szerepet játszottak az első modern szórványos csoport felfedezésében. A csoportok Z /2 Z × PSL(2, q ) formájú involúciós központosítókkal rendelkeznek q = 3 n esetén, és amikor a Z /2 Z × PSL(2, 5) formájú involúciós központosítóval rendelkező csoportokat tanulmányozták , Janko azt találta, hogy szórványos csoport J 1 .

A Suzuki-csoportok csak véges, nem-abeli egyszerű csoportok, amelyek sorrendje nem osztható 3-mal. Rendjük 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) −1 ) .

Csatlakozás véges egyszerű csoportokkal

A Lie típusú véges csoportok az elsők közé tartoztak a matematikusok által a ciklikus , szimmetrikus és váltakozó csoportok után. A projektív speciális lineáris csoportokat egyszerű véges mezőkre PSL(2, p ) Évariste Galois építette az 1830-as években. A Lie típusú véges csoportok szisztematikus vizsgálata Camille Jordan azon tételével kezdődött, amely szerint a PSL(2, q ) projektív speciális lineáris csoport prímje -nek . Ezt a tételt nagyobb dimenziójú projektív csoportokra általánosítjuk, és véges egyszerű csoportok fontos végtelen családját adja meg PSL( n , q ) . Más klasszikus csoportokat Leonard Dixon tanulmányozott a 20. század elején. Az 1950-es években Claude Chevalley rájött, hogy egy megfelelő újrafogalmazás után sok félig egyszerű Lie-csoportra vonatkozó tétel megengedi az algebrai csoportok analógját egy tetszőleges k mező felett, ami a ma Chevalley-csoportokként ismert csoportok felépítéséhez vezetett . Sőt, mint a kompakt egyszerű Lie-csoportok esetében, a megfelelő csoportok absztrakt csoportként szinte egyszerűnek bizonyulnak ( Tits egyszerűségi tétele ). Bár már a 19. században ismert volt, hogy léteznek más véges egyszerű csoportok (pl. Mathieu-csoportok ), fokozatosan kialakult az a hiedelem, hogy szinte minden véges egyszerű csoport felsorolható, a Chevalley-konstrukció megfelelő kiterjesztésével, ciklikus és váltakozó csoportokkal együtt. csoportok. Sőt, a kivételeknek, a szórványos csoportoknak sok közös tulajdonságuk van a Lie típusú véges csoportokkal, és különösen a tits értelemben vett geometriájuk alapján szerkeszthetők és írhatók le .

Ez a megbízhatóság tételsé változott – az egyszerű véges csoportok osztályozása . A véges egyszerű csoportok listájának vizsgálata azt mutatja, hogy a véges mező feletti Lie típusú csoportok minden véges egyszerű csoportot tartalmaznak, kivéve a ciklikus csoportokat, a váltakozó csoportokat, a Tits csoportot és a 26 szórványos egyszerű csoportot .

Hazugság típusú kis csoportok

Általánosságban elmondható, hogy egy véges csoport, amelyet egy egyszerűen összekapcsolt egyszerű algebrai csoport endomorfizmusához társít, az egyszerű csoport univerzális központi kiterjesztése, így tökéletes csoport (vagyis ugyanaz, mint a kommutánsa ), és van egy triviálisa. Schur szorzó . Azonban a fenti családok néhány kisebb csoportja vagy nem tökéletes, vagy a Schur-szorzó nagyobb a „vártnál”.

Olyan esetek, amikor a csoport nem tökéletes

Azok az esetek, amikor a csoport tökéletes, de a Schur-szorzó nagyobb a vártnál (a " Schur-szorzónak van egy további faktorcsoportja ..." kifejezés alatt, így egy egyszerű csoport Schur-szorzójának ... sorrendje van, és nem . .. " a következőre rövidül: " A Schur szorzónak ..., sorrendje ... és nem ... " :

Számos zavarba ejtő "véletlenszerű" izomorfizmus létezik a Lie típusú különböző kis csoportok (és a váltakozó csoportok) között. Például az SL(2, 4), PSL(2, 5) csoportok és a váltakozó 5 elemből álló csoport izomorf.

A kivételek teljes listáját a Véges egyszerű csoportok listája részben találja . E különleges tulajdonságok közül sok bizonyos egyszerű szórványos csoportokhoz kapcsolódik.

A váltakozó csoportok néha úgy viselkednek, mintha hazugság típusú csoportok lennének egy elemű mező felett . A kis váltakozó csoportok egy része kivételes tulajdonságokkal is rendelkezik. A váltakozó csoportoknak általában van egy 2. rendű külső automorfizmuscsoportja , de egy 6 elemből álló váltakozó csoportnak van egy 4. rendű külső automorfizmuscsoportja . A váltakozó csoportok Schur-szorzója általában 2-es rendű, de a 6 vagy 7 elemű csoportok Schur-szorzója 6-os .

Jelölési problémák

Sajnos nincs megalapozott jelölés a Lie típusú véges csoportokra, és a szakirodalom tucatnyi összeférhetetlen és zavaró jelölési rendszert tartalmaz ezekre a csoportokra.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ mathoverflow vita . Letöltve: 2017. augusztus 23. Az eredetiből archiválva : 2017. március 9..
  2. ↑ Jordánia, 1870 .
  3. ↑ Az orosz nyelvű irodalomban a Steinberg olvasata gyakoribb, de ennek a vezetéknévnek az olvasatában nincs konszenzus, egy cikkben Steinberg és Steinberg olvasata is megtalálható egyszerre.
  4. ↑ Chevalley, 1955 .
  5. ↑ Dickson, 1905 .
  6. ↑ Dickson, 1901 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Cicik, 1958 .
  9. ↑ Suzuki, 1960 .
  10. ↑ Ree, 1960 .
  11. ↑ Ree, 1961 .
  12. ↑ 1 2 ATLAS , p. xi Archivált : 2013. szeptember 21., a Wayback Machine webhelyen

Irodalom