Projektív csoport

A projektív csoport egy projektív tér transzformációinak csoportja, amelyeket a megfelelő vektortér lineáris transzformációi indukálnak. Ennek elemeit projektív transzformációknak nevezzük – általánosítják a projektív sík projektív transzformációit . Mátrix szempontjából a projektív csoport az összes nem degenerált mátrix csoportja a skaláris mátrixokig .

Definíció

Legyen vektortér egy mező felett (vagy általánosabban egy test felett ), és legyen annak teljes lineáris csoportja , azaz az összes megfordítható lineáris transzformáció csoportja. Ez a csoport térhomotétiákkal (nem nulla mezőállandókkal való szorzás ) ingázik, ezért elemei a projektív tér ( a csoport hatására a hányadostér ) transzformációit indukálják . $V$ $F$ $K$ $GL(V)$ $Z(V)$ $V$ $F$ $\mathbb {P} (V)=V/Z(V)$ $Z(V)$

Ezen indukált transzformációk némelyike triviálisan hat – pontosan ezek a térhomotéta csoport elemei . A projektív csoport egy faktorcsoport a cselekvés magja szerint: $\mathbb {P} (V)$ $Z(V)\cong F^{*}$ $V$

PGL(V)=GL(V)/Z(V)

Ha explicit módon választunk ki koordinátákat a térben , azaz egy izomorfizmust a természeteshez , akkor azt kapjuk, $V$ $V\cong F^{n}$ $n$

PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}

vagyis a projektív csoport a nem degenerált mátrixok csoportjának a nullától eltérő skaláris mátrixok részcsoportja által alkotott hányadoscsoport.

Általánosítások

Ha a teljes lineáris csoport helyett a speciális lineáris csoportot vesszük , azaz az 1-es determinánsú lineáris transzformációkra szorítkozunk, akkor a projektív speciális lineáris csoportot kapjuk, amelyet unimoduláris projektív csoportnak is neveznek . $\mathbb {G} L(V)$ $\mathbb {S} L(V)$ $PSL(V)$

Tulajdonságok

Ha az elemek véges mezője , akkor a csoport sorrendje [1] . $F_q$ $q$ $|PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)( q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)$
Számára a csoport egyszerű , kivéve és [1] . $n\geq 2$ $PSL_{n}(F)$ $PSL_{2}(F_{2})$ $PSL_{2}(F_{3})$

Jegyzetek

↑ 1 2 Vinberg, EB (2001), Projektív csoport , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4