Dynkin diagram

A Dynkin-diagram ( Dynkin-diagram ) egy olyan gráftípus , amelyben egyes élek megduplázódnak vagy háromszorosak (dupla vagy tripla vonalként rajzolva). Több él, bizonyos korlátozásokkal, orientált . Evgeny Dynkin szovjet matematikusról nevezték el , aki először 1946-ban alkalmazta őket.

A diagramok fő alkalmazása a félig egyszerű Lie-algebrák osztályozása algebrailag zárt mezőkre : Weyl-csoportokhoz vezetnek , azaz sok (bár nem mindegyik) véges reflexiós csoporthoz . A Dynkin-diagramok más összefüggésekben is felmerülnek.

A "Dynkin-diagram" kifejezés kétértelmű lehet. Egyes esetekben a Dynkin-diagramokat orientáltnak feltételezzük, ilyenkor gyökérrendszereknek és félig egyszerű Lie-algebráknak felelnek meg, míg más esetekben irányítatlannak, ilyenkor Weyl-csoportoknak felelnek meg. Orientált diagramok és ugyanazt az irányítatlan diagramot adják, mint ami ebben a cikkben szerepel, alapértelmezés szerint "Dynkin-diagram" irányított Dynkin-diagramot jelent, az irányítatlan Dynkin-diagramok esetében pedig ez kifejezetten meg van adva. $B_{n}$ $C_{n}$ $BC_{n}.$

Véges Dynkin-diagramok
Affin (bővített) Dynkin diagramok

A félig egyszerű Lie-algebrák osztályozása

A Dynkin-diagramok iránti alapvető érdeklődés azért merül fel, mert lehetővé teszik a félig egyszerű Lie-algebrák osztályozását algebrailag zárt mezők felett. Vannak, akik az ilyen Lie-algebrákat gyökérrendszerük alapján osztályozzák , amely Dynkin-diagramokkal ábrázolható. Mások a Dynkin-diagramokat azon megszorítások szerint osztályozzák, amelyeknek eleget kell tenniük, az alábbiak szerint.

A gráf éleinek irányítottságától való megszabadulás megfelel annak, ha a gyökérrendszert az általuk létrehozott véges reflexiós csoporttal , az úgynevezett Weil-csoporttal helyettesítjük , és így az irányítatlan Dynkin-diagramok osztályozzák a Weyl-csoportokat.

Kapcsolódó besorolások

A Dynkin-diagramok számos különböző entitás osztályozására használhatók, és az "A n , B n , ..." jelölést minden ilyen értelmezésre használják a kontextustól függően. Az ilyen kétértelműség zavaró lehet.

A központi osztályozás az egyszerű Lie algebrákra vonatkozik, amelyek gyökérrendszerrel rendelkeznek, és amelyekhez (orientált) Dynkin-diagramok kapcsolódnak. Mindhárom (a továbbiakban felsorolva) például B n -ként jelölhető .

Az irányítatlan Dynkin-diagram egyfajta Coxeter-diagram, és a Weil-csoportnak felel meg, amely a gyökérrendszerhez kapcsolódó véges reflexiós csoport Így a B n utalhat irányítatlan diagramra (a Coxeter diagram egy speciális fajtája), egy Weyl-csoportra (konkrét reflexiós csoportra) vagy egy absztrakt Weyl-csoportra.

Megjegyezzük, hogy míg a Weyl-csoport absztrakt módon izomorf a Coxeter-csoporttal, az adott izomorfizmus az egyszerű gyökök sorrendjétől függ. Vegye figyelembe, hogy a Dynkin-diagramok jelölése szabványos, míg a Coxeter-diagramok és a csoportjelölések eltérőek, és néha megegyeznek a Dynkin-diagrammal, néha pedig nem.

Végül, néha a társított objektumokat ugyanazzal a jelöléssel jelölik, bár ez nem mindig lehetséges rendszeresen. Példák:

A gyökérrendszer által alkotott , mint az E 8 rácsban . Természetes módon definiálható, de nem egy az egyhez - például A 2 és G 2 ugyanazt a hatszögletű rácsot alkotják .
Kapcsolódó politóp - például a Gosset 4 21 "E 8 politóp" -nak jelölhető , mivel csúcsai az E 8 gyökérrendszerből származnak, és szimmetriacsoportja az E 8 Coxeter csoport.
Kapcsolódó másodfokú forma vagy sokaság - például E 8 metszéspontja az E 8 rács által adott .

Ez utóbbi megnevezéseket leggyakrabban a kivételes diagramokhoz társított objektumokra használják - a közönséges diagramokhoz (A, B, C, D) kapcsolódó objektumok esetében hagyományos neveket használnak.

Az index ( n ) egyenlő a diagram csomópontjainak számával, a bázis egyszerű gyökeinek számával, a gyökérrács dimenziójával és a gyökérrendszer lineáris fesztávjával, a Coxeter csoport generátorainak számával, ill. a Lie algebra rangja. Azonban n nem feltétlenül egyenlő a Lie algebra definiáló moduljának ( alapreprezentációjának ) dimenziójával – a Dynkin-diagram indexét nem szabad összetéveszteni a Lie algebra indexével. Például megfelel a , amely 9 dimenziós térben működik, de Lie algebraként 4-es rangja van. $B_{4}$ ${\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},$

Az egyszálú Dynkin-diagramok , azaz nem rendelkeznek több éllel (A, D, E), sok más matematikai objektumot osztályoznak. Lásd a vitát az ADE osztályozásban .

Példa: A2

Például egy megnevezés utalhat a következőkre: $A_{2}$

Dynkin diagram két összekapcsolt csomóponttal,, amely Coxeter diagramnak is tekinthető .
Gyökérrendszer két egyszerű gyökérrel szögben(120 fok). $2\pi /3$
Hazugság -algebra 2. ${\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}$
A gyökök szimmetriájának Weyl-csoportja (a gyökökre merőleges hipersíkokra való visszaverődések), amely izomorf a szimmetrikus csoporttal (6. rendű). $S_{3}$
Absztrakt Coxeter csoport , amelyet generátorok és kapcsolatok képviselnek, $\left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3 }=1\jobbra\szög .$

Korlátozások

A Dynkin-diagramnak meg kell felelnie bizonyos korlátozásoknak, amelyeket a véges Coxeter-Dynkin diagramok teljesítenek , és ezen felül további krisztallográfiai korlátozásoknak.

Kapcsolat Coxeter diagramokkal

A Dynkin-diagramok szorosan kapcsolódnak a véges Coxeter-csoportok Coxeter-diagramjaihoz, és a terminológiát gyakran kombinálják [1. megjegyzés] .

A Dynkin-diagramok két fontos vonatkozásban különböznek a véges csoportok Coxeter-diagramjaitól:

részleges tájékozódás A Dynkin-diagramok részlegesen orientáltak – minden többszörös élnek (a Coxeterben, "4"-es és magasabb jelöléssel) van iránya (egy csomópontról a másikra mutató nyíl). Így a Dynkin-diagram több információt hordoz, mint a megfelelő Coxeter-diagram (iránytalan gráf). A gyökérrendszerek szintjén az irány egy rövidebb vektorra mutatásnak felel meg. A "3"-mal jelölt éleknek nincs irányuk, mert a megfelelő vektoroknak egyenlő hosszúságúaknak kell lenniük. (Tipp: Egyes szerzők a fordított konvenciót használják, és a nyilat egy hosszabb vektorra mutatják.) Kristályos korlát A Dynkin-diagramoknak meg kell felelniük egy további megkötésnek is, nevezetesen, hogy csak a 2-es, 3-as, 4-es és 6-os címkével ellátott élek megengedettek. Ez a korlátozás nem vonatkozik a Coxeter-diagramokra, tehát nem minden véges csoport Coxeter-diagramja származik Dynkin-diagramból. Ez a gyökérrendszerek szintjén megfelel a krisztallográfiai korlátozásokról szóló tételnek .

Egy másik, pusztán stilisztikai különbség az, hogy a Dynkin-diagramokat szokás megduplázott és háromszoros élekkel rajzolni a csomópontok között ( p = 4, 6 esetén), nem pedig a „ p ” számmal .

A "Dynkin-diagram" kifejezést néha irányított gráfoknak, néha pedig irányítatlannak nevezik . A pontosság érdekében ebben a cikkben a "Dynkin-diagram" irányított, a megfelelő irányítatlan gráf pedig "iránytalan Dynkin-diagram" lesz. Így a Dynkin-diagramok és a Coxeter-diagramok a következőképpen kapcsolhatók össze:

	krisztallográfiai	pontcsoportok
orientált	Dynkin diagramok
tájékozatlan	Irányítatlan Dynkin-diagramok	Coxeter-Dynkin diagramok véges csoportokról

Ez azt jelenti, hogy a véges csoportok Coxeter-diagramjai a reflexiók által generált pontcsoportoknak felelnek meg, míg a Dynkin-diagramoknak további megszorításokat kell teljesíteniük a krisztallográfiai korlátozástételnek megfelelően . Ez azt is jelenti, hogy a Coxeter-diagramok nem irányítottak, míg a Dynkin-diagramok (részben) orientáltak.

Matematikai objektumok diagramokkal rendszerezve:

	krisztallográfiai	pontcsoportok
orientált	Gyökérrendszerek
tájékozatlan	Weil csoportok	Véges Coxeter csoportok

Bármely Coxeter (véges csoport) diagram irányítatlan gráfjainak megfelelő irányított gráfokhoz tartozó jobb felső sarokban lévő üres hely formálisan definiálható, de ezek a definíciók nem teszik lehetővé az egyszerű matematikai objektumok értelmezését.

Léteznek természetes szűkülő leképezések – a Dynkin-diagramoktól az irányítatlan Dynkin-diagramokig, és ennek megfelelően a gyökérrendszerektől a kapcsolódó Weyl-csoportokig, valamint a közvetlen leképezések az irányítatlan Dynkin-diagramoktól a Coxeter-diagramokig, és ennek megfelelően a Weyl-csoportoktól a véges Coxeter-csoportokig. .

A leképezések szűkítése (definíció szerint), de nem egy az egyhez . Például a B n és C n diagramok ugyanarra az irányítatlan diagramra vonatkoznak, így néha a kapott Coxeter-diagramot és a Weyl-csoportot BC n -nek jelölik .

A közvetlen leképezések egyszerűen zárványok – az irányítatlan Dynkin-diagramok a Coxeter-diagramok speciális esetei, a Weil-csoportok pedig a véges Coxeter-csoportok speciális esetei, és ez a leképezés nincs bekapcsolva , mivel nem minden Coxeter-diagram irányítatlan Dynkin-diagram (a hiányzó diagramok H 3 , H 4 és I 2 ( p ), ha p = 5 p ≥ 7), és ennek megfelelően nem minden véges Coxeter-csoport Weil-csoport.

Izomorfizmusok

A Dynkin-diagramokat általában úgy számozzák, hogy a lista ne legyen redundáns - for for for és a családok elemeiből kiindulva , de definiálhatunk alacsonyabb n-re is, így megkapjuk a diagramok kivételes izomorfizmusait és a Lie algebrák megfelelő kivételes izomorfizmusait. és a kapcsolódó Lie csoportok. $n\geq 1$ $A_{n},$ $n\geq 2$ $B_{n},$ $n\geq 3$ $C_{n},$ $n\geq 4$ $D_{n}$ $E_{n}$ $n=6.$

A legegyszerűbb az n = 0 vagy n = 1 esetekkel kezdeni, amelyekben minden sorozat izometrikus, és csak egy üres diagram és egy csomópontdiagram van. Az összekapcsolt Dynkin-diagramok egyéb izomorfizmusai:

$A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$
$B_{2}\cong C_{2}$
$D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}$
$D_{3}\cong A_{3}$
$E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}$
$E_{4}\cong A_{4}$
$E_{5}\cong D_{5}$

Ezek az izomorfizmusok az egyszerű és félig egyszerű Lie algebrák izomorfizmusainak felelnek meg.

Automorfizmusok

A különböző diagramok közötti izomorfizmusok mellett egyes diagramok önmagukra is tartalmaznak izomorfizmusokat, azaz " automorfizmusokat ". A diagram-automorfizmusok a Lie algebra külső automorfizmusainak felelnek meg , ami azt jelenti, hogy az Out = Aut/Inn külső automorfizmuscsoport egyenlő a diagram-automorfizmus csoporttal [1] [2] [3] .

A nemtriviális automorfizmusokat tartalmazó diagramok A n ( ), D n ( ) és E 6 . Mindezekben az esetekben, D 4 kivételével , van egy nem triviális automorfizmus (Out = C 2 , 2. rendű ciklikus csoport), míg D 4 esetében az automorfizmus csoport egy három betűből álló szimmetrikus csoport ( S 3 , sorrend 6) - ez a jelenség „ hármasság ” néven ismert. Kiderült, hogy mindezen diagramautomorfizmusok ábrázolhatók a diagramok hagyományos euklideszi síkbeli rajzolásának szimmetriáiként, de ez csak a megrajzolásuk eredménye, nem pedig a diagramok belső szerkezete. $n>1$ $n>1$

A n esetén a diagramok automorfizmusa a diagram megfordítása. A diagram csomópontjait alapvető súlyokkal indexeljük , amelyek (A n −1 esetén) egyenlőek -vel , és a diagram automorfizmusa a dualitásnak felel meg . Lie algebrának tekintve a külső automorfizmus negatív transzpozícióként fejezhető ki [2] . $\bigwedge ^{i}C^{n}$ $i=1,\pontok ,n$ $\bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{ni}C^{n}.$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},$ $T\mapsto -T^{\mathrm {T}}$

D n esetén a diagram automorfizmusa átkapcsolja az Y végén lévő két csomópontot, és megfelel két királis spinor reprezentáció váltásának . Lie-algebrának tekintve egy külső automorfizmust konjugációként fejezhetjük ki egy O(2 n ) mátrix használatával –1 determinánssal [2. megjegyzés] . Vegyük észre, hogy így az automorfizmusuk megegyezik, miközben ez a diagram is szét van kapcsolva, tehát az automorfizmus megfelel a csomópontok váltásának. ${\mathfrak {so}}_{2n},$ $\mathrm {A} _{3}\cong \mathrm {D} _{3},$ $\mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}$

D 4 esetén az alapreprezentáció izomorf két spinorreprezentációval , és az így kapott hárombetűs szimmetrikus csoport ( S 3 , vagy alternatívaként a hatodrendű diédercsoport , Dih 3 ) megfelel mind a Lie algebrai automorfizmusoknak, mind a diagramautomorfizmusoknak.

Az E 6 automorfizmus a diagram megfordításának felel meg, és Jordan algebrákkal fejezhető ki [2] .

A félig egyszerű Lie algebráknak megfelelő szétkapcsolt diagramok automorfizmusai lehetnek a diagram komponenseinek átrendezésével.

Pozitív karakterisztikával további diagram-automorfizmusok is léteznek – durván szólva p karakterisztikával figyelmen kívül hagyhatjuk a Dynkin-diagram p multiplicitású linkjein lévő nyilakat, ha diagramautomorfizmust veszünk figyelembe. Így a 2. karakterisztikával 2. rendű automorfizmus van F 4-re és F 4 -re, míg a 3. karakterisztika esetén G 2 -re 2. rendű automorfizmus . $\mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}$

Lie-csoportok felépítése diagram-automorfizmusok segítségével

A diagramautomorfizmusok további Lie-csoportokat és Lie - típusú csoportokat hoznak létre , ami az oka annak, hogy központi fontosságúak a véges egyszerű csoportok osztályozásában.

A Lie-csoportok Chevalley -csoportjának felépítése Dynkin-diagramjaik alapján nem ad klasszikus csoportokat, nevezetesen unitárius csoportokat és nem felosztott ortogonális csoportokat . A Steinberg-csoportok 2 A n unitárius csoportokat , míg más ortogonális csoportok 2 D n -t építenek fel , és ez mindkét esetben egy diagram-automorfizmus és egy mező automorfizmus kombinációját jelenti. Ez további egzotikus Lie csoportokat is ad 2 E 6 és 3 D 4 , amely utóbbiak csak a 3. rendű automorfizmusú mezőkre vonatkoznak.

Pozitív karakterisztikával további jellemzőket ad a Suzuki Group - Ri , 2 B 2 , 2 F 4 és 2 G 2 .

Konvolúciók

Egy (egyszálú) Dynkin-diagram (véges vagy affin ), amelynek szimmetriája (egy lentebbi feltételnek eleget tesz), szimmetriába hajtható, így egy új, általában többszálú (több élű) diagramot kaphatunk a konvolúció nevű folyamat segítségével . A Lie algebrák szintjén ez egy invariáns részalgebra felvételének felel meg a külső automorfizmuscsoport alá, és a folyamat pusztán a gyökérrendszeren definiálható diagramok használata nélkül [4] . Továbbá bármely többszálú diagram (véges vagy végtelen) előállítható egyszálú diagram konvolúciójával [5] .

Az automorfizmus lehetséges feltétele a konvolúciós automorfizmus - a gráf különböző csomópontjait ugyanazon a pályán (automorfizmus alatt) nem szabad éllel összekötni. A gyökérrendszer szintjén az ugyanazon a pályán lévő gyökereknek merőlegesnek kell lenniük [5] . Diagram szinten erre azért van szükség, mert különben az eredményül kapott diagramnak lesz egy hurokja, mivel ez két csomópontot köt össze, amelyek között él van, és a Dynkin-diagramokban nem engedélyezettek a hurkok.

A kapott ("hajtogatott") diagramok csomópontjai és élei az eredeti diagramok csomópontjainak és éleinek pályái. Az élek egyszeresek (nem többszörösek), ha a szomszédos élek nem ugyanazt az élt képezik le (különösen a 2-nél nagyobb vegyértékű csomópontok esetében - "elágazási pontok"), ellenkező esetben a súly a szomszédos élek száma, és a nyíl a csomópontra mutat. incidensek - "Az elágazási pont egy nem homogén pontra van leképezve." Például a D 4 -ben G 2 -be hajtva a G 2 élei a 3. osztály külső csomópontjaitól (1. vegyérték) a központi csomópontok felé (3. vegyérték) irányulnak.

Véges diagramok konvolúciói [6] [3. megjegyzés] :

$A_{2n-1}\–C_{n}$

(Az A 2 n automorfizmus nem hoz létre összehúzódást, mert a középső két csomópont egy éllel van összekötve, de nem ugyanazon a pályán vannak.)

$D_{n+1}\-B_{n}$
$D_{4}\ to G_{2}$ (ha egy teljes csoportot vagy egy 3 ciklust hajtunk át, ráadásul három különböző módon, ha egy involúciót (2-es sorrendű elemet) hajtunk át) $D_{4}\–B_{3}$
$E_{6}\–F_{4}$

Hasonló konvolúciók léteznek az affin diagramoknál:

${\tilde {A}}_{2n-1}\ to {\tilde {C}}_{n}$
${\tilde {D}}_{n+1}\ to {\tilde {B}}_{n}$
${\tilde {D}}_{4}\ to {\tilde {G}}_{2}$
${\tilde {E}}_{6}\ to {\tilde {F}}_{4}$

A konvolúciók jelölése Coxeter-Dynkin diagramokhoz is használható [7] . A Dynkin-diagram megengedhető összehúzódásait általánosíthatjuk H n -re és I 2 -re ( p ). Geometriailag ez a homogén politópok vetületeinek felel meg . Látható, hogy tetszőleges egysoros Dynkin-diagram hajtható I 2 -be ( h ), ahol h a Coxeter-szám , amely geometriailag megfelel a Coxeter-síkra való vetítésnek .

A konvolúció segítségével a (félig egyszerű) Lie algebrákkal kapcsolatos kérdéseket az egyszálú algebrákkal kapcsolatos kérdésekre redukálhatjuk, egy olyan automorfizmussal együtt, amely egyszerűbb lehet, mint a több élű Lie algebrák közvetlen kezelése. Ezt megtehetjük például félig egyszerű Lie algebrák megszerkesztésével. További megbeszélésekért lásd: Math Overflow: Folding by Automorphisms Archiválva : 2015. szeptember 11. a Wayback Machine -nél.

Egyéb diagramok

Gyökérrendszer A 2	Gyökérrendszer G2 _

Néhány további diagram-megjelenítésnek van értelmes értelmezése, az alábbiak szerint. Azonban nem minden gyökérrendszer-leképezés jelenik meg diagramleképezésként [8] .

Például két A 2 gyökérrendszer fordul elő G 2 -ben , vagy hat hosszú gyökérként vagy hat rövid gyökérként. A G 2 diagram csomópontjai azonban egy hosszú és egy rövid gyökérnek felelnek meg, míg az A 2 diagram csomópontjai azonos hosszúságú gyököknek felelnek meg, így ez a gyökérrendszerek leképezése nem fejezhető ki diagramok leképezéseként.

A gyökérrendszerek egyes zárványai gráfrelációként fejezhetők ki, ahol az egyik diagram egy másik generált részgráfja , ami "csomópontok egy részhalmazának a köztük lévő élekkel együtt" előfordulását jelenti. Ennek az az oka, hogy egy csomópont eltávolítása a Dynkin-diagramból egy egyszerű gyökér eltávolításának felel meg a gyökérrendszerből, ami eggyel alacsonyabb rangú gyökérrendszert eredményez. Ezzel szemben egy él eltávolítása (vagy egy él többszörösének megváltoztatása) a csomópontok megtartása mellett a gyökerek közötti szögek megváltoztatásának felel meg, ami nem valósítható meg a teljes gyökérrendszer megváltoztatása nélkül. Így értelmesen eltávolíthatja a csomópontokat, de nem az éleket. Egy csomópont eltávolítása egy összekapcsolt diagramból összefüggő diagramot (egy egyszerű Lie algebra) eredményezhet, ha a csomópont egy levél, vagy szétválasztott diagramot (egy félig egyszerű, de nem egyszerű Lie-csoport) két vagy három komponenssel (utóbbi D n esetén és E n ). A Lie-algebrák szintjén ezek a zárványok a Lie-algebráknak felelnek meg.

Maximális részgráfok (itt a "konjugáció" jelentése " diagram automorfizmus segítségével "):

A n +1 : A n , két konjugált úton.
B n +1 : A n , B n .
C n +1 : A n , C n .
D n +1 : A n (két konjugátum), D n .
E n +1 : A n , D n , E n .
- E 6 esetén, amelyek közül kettő egybeesik: és konjugált. $\mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}$
F 4 : B 3 , C 3 .
G 2 : A 1 , két nem összefüggő módon (például hosszú vagy rövid gyökér).

Végül a diagramok kettőssége megfelel a nyilak irányának változásának, ha van ilyen: [8] B n és C n kettős, míg F 4 és G 2 önkettős, mert egyszálú ADE diagramok. .

Egysoros diagramok

A több él nélküli Dynkin-diagramokat egyszálúnak nevezzük . Ide tartoznak a diagramok , és az objektumok ilyen diagramok általi osztályozását ADE-osztályozásnak nevezik . Ebben az esetben a Dynkin-diagramok pontosan egybeesnek a Coxeter-diagramokkal. $A_{n},D_{n},E_{n}$

Diagrams of Satake

A Dynkin-diagramok összetett, félig egyszerű Lie-algebrákat osztályoznak. A valódi félig egyszerű Lie algebrák besorolhatók az összetett félig egyszerű Lie algebrák valós formái közé , és osztályozásuk a Satake diagramokkal , amelyeket a Dynkin diagramokból úgy kaphatunk meg, hogy néhány csomópontot fekete színnel jelölünk (a kör belseje ) és néhány további csomópont páros összekapcsolása nyilakkal bizonyos szabályok szerint.

Történelem

A Dynkin-diagramok Evgeny Borisovich Dynkin nevéhez fűződik , aki két cikkben (1946, 1947) használta őket a félig egyszerű Lie-algebrák osztályozásának ábrázolására [9] , lásd ( E. B. Dynkin 2000 ). Miután Dynkin 1976-ban elhagyta a Szovjetuniót, amit akkoriban árulásnak tekintettek, a szovjet matematikusok a szerző vezetékneve helyett az "egyszerű gyökérdiagramok" nevet használták a diagramokra.

Az irányítatlan gráfokat korábban Coxeter (1934) használta a reflexiós csoportok osztályozására , és ezekben a csomópontok egyszerű reflexióknak feleltek meg. A grafikonokat ezután Witt használta (hossz információval) (1941-ben) gyökérrendszerekkel összefüggésben, ahol a csomópontok egyszerű gyökereknek felelnek meg, ahogyan ma is használják [9] [10] . Dynkin ezután 1946-ban és 1947-ben használta a diagramokat, megköszönve Coxeternek és Wittnek egy 1947-es írásában.

Megállapodások

A Dynkin-diagramokat sokféleképpen rajzolják [10] . Az ebben a cikkben használt konvenciók általánosan elfogadottak: 180°-os szög a vegyértéknél 2 csomó, 120°-os szögben a vegyértéknél 3 csomó D n -nél , és 90°/90°/180°-os vegyértéknél 3 csomó az E n -nél, a multiplicitást a jelöli. 1, 2 vagy 3 párhuzamos él, és a gyökér hosszának megadása az él tájolásának megadásával. Az egyszerűségen túl ezek a konvenciók lehetővé teszik diagramok automorfizmusainak megjelenítését diagramok euklideszi izometriái segítségével .

Alternatív konvenciók közé tartozik az élek számának megadása a többszörösség érdekében (általában a Coxeter-diagramokban), a szín használata a gyökér hosszának jelzésére, vagy a 120°-os szögek használata a 2 csomós vegyértékhez, hogy a csomók jobban megkülönböztethetők legyenek.

A csomópontok számozására is vannak konvenciók. Az általánosan elfogadott konvenciót az 1960-as években Bourbaki [11] [10] könyvében dolgozták ki és illusztrálták .

Dynkin diagramok rang 2

A Dynkin-diagramok egyenértékűek az általánosított Cartan-mátrixokkal , amint azt a 2. rangú Dynkin-diagramok táblázata mutatja a megfelelő 2 x 2 -es Cartan-mátrixok feltüntetésével.

A 2. ranghoz a Cartan-mátrix a következő:

A=\left[{\begin{mátrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{mátrix}}\jobbra]

A többéles diagram egy nem átlós Cartan mátrixnak felel meg -a 21 , -a 12 elemekkel , ahol a diagram éleinek száma max (-a 21 , -a 12 ), és a nyíl nem szinguláris felé mutat. elemeket.

Az általánosított Cartan-mátrix egy négyzetes mátrix , amely: $A=(a_{ij})$

Átlós elemekhez . $a_{ii}=2$
Nem átlós elemekhez . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ ha, és csak akkor ha $a_{ji}=0$

A Cartan-mátrix határozza meg, hogy egy csoport véges típusú (ha pozitív definit , azaz minden sajátérték pozitív), affin típusú - e (ha a mátrix nem pozitív határozott, hanem pozitív félig meghatározott, azaz minden sajátérték nemnegatív ), vagy határozatlan típusú . A határozatlan típust gyakran altípusokra osztják, például egy Coxeter-csoport Lorentzi -csoport, ha egy negatív sajátértéke van, és az összes többi érték pozitív. Ezenkívül egyes források hiperbolikus Coxeter-csoportokról beszélnek , de számos nem egyenértékű definíció létezik erre a fogalomra. Az alábbiakban a hiperbolikus Coxeter-csoportok alatt a Lorentz-csoportok speciális esetét értjük, amelyek további feltételeket teljesítenek. Ne feledje, hogy a 2. ranghoz minden negatív determinánssal rendelkező Cartan-mátrix hiperbolikus Coxeter-csoportoknak felel meg. De általában a legtöbb negatív determináns mátrix sem nem hiperbolikus, sem nem lorentzi.

A végső ágak (-a 21 , -a 12 )=(1,1), (2,1), (3,1) és az affin (nulla determinánssal) (-a 21 , -a 12 ) =( 2,2 ) vagy (4.1).

2. rangú Dynkin diagramok

Csoport neve	Dynkin diagram			Cartan mátrix		A szimmetria rendje	Kapcsolt egyszálas csoport 3
Csoport neve	(Normál) többélű grafikon	Grafikon értékekkel 1	Coxeter grófja 2	$\left[{\begin{mátrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{mátrix}}\jobbra]$	Determináns (4-a 21 *a 12 )	A szimmetria rendje	Kapcsolt egyszálas csoport 3
vége (minősítő>0)
A 1xA 1_ _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	négy	2
A 2 (unor. [4. megjegyzés] )				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3	3
B2_ _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	négy	${A}_{3}$
C2_ _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	négy	${A}_{3}$
BC 2 (nem szervezet)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	négy
G2_ _				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	egy	6	${D}_{4}$
G 2 (unor.)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	egy	6
Affin (determináns=0)
A 1 (1)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {A}}_{3}$
A 2 (2)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {D}}_{4}$
Hiperbolikus (determináns <0)
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right]$	-egy	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right]$	-3	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	- négy	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right]$	- négy	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	-5	-
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right]$	4-ab<0	-
1. megjegyzés : Hiperbolikus csoportok esetén (a 12 *a 21 >4) a többéles stílus nem használatos, és az értékek (a 21 , a 12 ) közvetlenül a szélen vannak megadva. Ezt általában nem használják véges és affin csoportoknál [12] . 2. megjegyzés : Az irányítatlan csoportok esetében a Dynkin-diagramok és a Coxeter-diagramok egyenértékűek. A bennük lévő éleket általában szimmetriarendjük szerint jelölik, a 3. sorrendű éleket pedig nem. 3. megjegyzés : Számos többélű csoport nyerhető magasabb rangú egyszálú csoportokból megfelelő konvolúciós művelettel .

Véges Dynkin diagramok

Véges Dynkin-gráfok 1-től 9-ig terjedő csomópontokkal

Rang	Klasszikus hazugságcsoportok				Kivételes hazugságcsoportok
Rang	${A}_{1+}$	${\displaystyle {B}_{2+))$	${\displaystyle {C}_{2+))$	${D}_{2+}$		${G}_{2}$ / ${\displaystyle {F}_{4))$
egy	A 1
2	A2_ _	B2_ _	C2 = B2_ _	D 2 \u003d A 1 xA 1		G2_ _
3	A 3	B3 _	C3_ _	D3 = A3_ _	E 3 \u003d A 2 xA 1
négy	A4_ _	B4_ _	C4_ _	D4_ _	E 4 = A 4	F4_ _
5	A5_ _	B5_ _	C5_ _	D5_ _	E 5 = D 5
6	A6_ _	B6_ _	C6_ _	D6_ _	E 6
7	A7_ _	B7_ _	C7_ _	D7_ _	E 7
nyolc	A 8	B8_ _	C 8	D8_ _	E 8
9	A9_ _	B9_ _	C9_ _	D9_ _
10+	..	..	..	..

Affin Dynkin diagramok

A Dynkin-diagramoknak vannak kiterjesztései, nevezetesen az affin Dynkin-diagramok . Ezek a diagramok osztályozzák az affin Lie algebrák Cartan-mátrixait . Az osztályozást Katz [13] cikkében végzi el , a listát ugyanebben a cikkben az 53-55. oldalon adjuk meg. Az affin diagramokat úgy jelöljük, vagy ahol X a megfelelő végső diagram betűjele, a felső index pedig azt az affin diagramsorozatot jelöli, amelyhez a diagram tartozik. A sorozat első, legismertebb részét kiterjesztett Dynkin-diagramoknak hívják , és tilde (~), néha pedig felső index + jellel [14] jelölik , például . A (2) és (3) sorozatot csavart affin diagramoknak nevezzük . $X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)}$ $X_{l}^{(3)},$ $X_{l}^{(1)},$ ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$

Az ábrákért lásd: Dynkin Diagram Generator archivált 2012. december 13-án a Wayback Machine -en .

Kibővített affin Dynkin-diagramok készlete hozzáadott csomópontokkal (zöld színnel jelölve) ( for és for ) $n\geq 3$ $B_{n}$ $n\geq 4$ $D_{n}$	A "csavart" affin diagramokat (2) vagy (3) jelölik a felső indexben. ( k egyenlő a grafikon sárga csomópontjainak számával)

Az alábbi táblázat felsorolja az összes Dynkin-gráfot 10 csomópontig terjedő affin csoportokhoz. A kiterjesztett Dynkin-gráfok ~ -es családként vannak megadva, és megfelelnek a fenti véges gráfoknak egy hozzáadott csomóponttal. Az irányított gráfok más változatai (2) vagy (3) felső indexekkel vannak megadva, és ezek magasabb rendű csoportok hajtásai. A Twisted affine diagrams [15] kategóriába tartoznak .

Összekapcsolt affin Dynkin-gráfok 2–10 csomóponttal
(iránytalan gráfokként csoportosítva)

Rang	${\tilde {A}}_{1+}$	${\tilde {B}}_{3+}$	${\tilde {C}}_{2+}$	${\tilde {D}}_{4+}$	E/F/G
2	${\tilde {A}}_{1}$ vagy ${\displaystyle {A}_{1}^{(1)))$		${\displaystyle {A}_{2}^{(2)))$ :
3	${\tilde {A}}_{2}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{2}^{(1)))$		${\tilde {C}}_{2}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {C}_{2}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{5}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{4}^{(2)))$ :		${\tilde {G}}_{2}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {G}_{2}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{4}^{(3)))$
négy	${\tilde {A}}_{3}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{3}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{3}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {B}_{3}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{5}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{3}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {C}_{3}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{6}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{6}^{(2)))$ :
5	${\tilde {A}}_{4}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{4}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{4}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {B}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{7}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{4}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {C}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{7}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{8}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{4}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {D}_{4}^{(1)))$	${\tilde {F}}_{4}$ vagy (lásd) ${\displaystyle {F}_{4}^{(1)))$ ${\displaystyle {E}_{6}^{(2)))$
6	${\tilde {A}}_{5}$ vagy (lásd) Archivált : 2016. október 11. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{5}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{5}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {B}_{5}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{9}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{5}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {C}_{5}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{8}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{10}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{5}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {D}_{5}^{(1)))$
7	${\tilde {A}}_{6}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. július 15. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{6}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{6}$ vagy ${\displaystyle {B}_{6}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{11}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{6}$ vagy ${\displaystyle {C}_{6}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{9}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{12}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{6}$ vagy ${\displaystyle {D}_{6}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{6}$ vagy ${\displaystyle {E}_{6}^{(1)))$
nyolc	${\tilde {A}}_{7}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{7}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{7}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {B}_{7}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{13}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{7}$ vagy ${\displaystyle {C}_{7}^{(1)))$ ${D}_{10}^{(2)}$ : ${\displaystyle {A}_{14}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{7}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {D}_{7}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{7}$ vagy ${\displaystyle {E}_{7}^{(1)))$
9	${\tilde {A}}_{8}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{8}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{8}$ vagy ${\displaystyle {B}_{8}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{15}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{8}$ vagy ${\displaystyle {C}_{8}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{11}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{16}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{8}$ vagy ${\displaystyle {D}_{8}^{(1)))$	${\tilde {E}}_{8}$ vagy ${\displaystyle {E}_{8}^{(1)))$
tíz	${\tilde {A}}_{9}$ vagy (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél ${\displaystyle {A}_{9}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{9}$ vagy ${\displaystyle {B}_{9}^{(1)))$ ${\displaystyle {A}_{17}^{(2)))$ :	${\tilde {C}}_{9}$ vagy ${\displaystyle {C}_{9}^{(1)))$ ${\displaystyle {D}_{12}^{(2)))$ : ${\displaystyle {A}_{18}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{9}$ vagy ${\displaystyle {D}_{9}^{(1)))$
tizenegy	…	…	…	…

Hiperbolikus Dynkin diagramok és magasabb szintek

A kompakt és nem kompakt hiperbolikus Dynkin-gráfok halmazát Carbone és munkatársai [16] sorolták fel [16] Minden 3. rangú hiperbolikus gráf kompakt. A kompakt hiperbolikus Dynkin-diagramok az 5., míg a nem kompakt hiperbolikus grafikonok a 10. rangig léteznek.

Diagramok száma

Rang	Kompakt	Nem kompakt	Teljes
3	31	93	123
négy	3	ötven	53
5	egy	21	22
6	0	22	22
7	0	négy	négy
nyolc	0	5	5
9	0	5	5
tíz	0	négy	négy

Kompakt hiperbolikus Dynkin-diagramok

Kompakt hiperbolikus grafikonok

3. helyezés		4. helyezés	5. helyezés
Lineáris grafikonok (6 4 2): H 100 (3) : H101 (3 ) : H105 ( 3) : H106 (3 ) : (6 6 2): H 114 (3) : H 115 (3) : H116 (3 ) :	Ciklikus grafikonok (4 3 3): H 1 (3) : (4 4 3): 3 űrlap… (4 4 4): 2 űrlap… (6 3 3): H 3 (3) : (6 4 3): 4 űrlap… (6 4 4): 4 űrlap… (6 6 3): 3 űrlap… (6 6 4): 4 űrlap… (6 6 6): 2 űrlap…	(4 3 3 3): H 8 (4) : H 13 (4) : (4 3 4 3): H 14 (4) :	(4 3 3 3 3): H 7 (5) :

Nem tömör (lényegében kiterjesztett űrlapok)

Egyes elméleti fizikában használt jelölések , például az M-elmélet területén , a „+” felső indexet használják a kiterjesztett csoportokhoz a „~” helyett, ami lehetővé teszi erősebb csoportkiterjesztések meghatározását.

A kiterjesztett Dynkin (affin) diagramok „+” indexszel rendelkeznek, és egy további csomóponttal rendelkeznek. (Ugyanaz, mint "~")
A jelentősen kibővített (hiperbolikus) Dynkin-diagramok „^” vagy „++” indexszel rendelkeznek, és két további csomópontjuk van.
Az erősen kiterjesztett Dynkin-diagramok 3 további csomóponttal a „+++” indexet kapják.

Néhány példa jelentősen kiterjesztett (hiperbolikus) Dynkin-diagramokra

Rang	${AE}_{n}$ = A n-2 (1)^	${BE}_{n}$ = Bn-2 (1)^ ${CE}_{n}$	C n-2 (1)^	${DE}_{n}$ = D n-2 (1)^	E/F/G
3	${AE}_{3}$ :
négy	${AE}_{4}$ :		C 2 (1)^ A 4 (2)'^ A4 ( 2 )^ D 3 (2)^		G 2 (1)^ D4 ( 3 )^
5	${AE}_{5}$ :	${BE}_{5}$ ${CE}_{5}$	C 3 (1)^ A6 ( 2 )^ A 6 (2)'^ D 5 (2)^
6	${AE}_{6}$	${BE}_{6}$ ${CE}_{6}$	C4 ( 1 )^ A8 ( 2 )^ A 8 (2)'^ D7 ( 2 )^	${DE}_{6}$	F4 ( 1 )^ E6 ( 2 )^
7	${AE}_{7}$	${BE}_{7}$ ${CE}_{7}$		${DE}_{7}$
nyolc	${AE}_{8}$	${BE}_{8}$ ${CE}_{8}$		${DE}_{8}$	E 6 (1)^
9	${AE}_{9}$	${BE}_{9}$ ${CE}_{9}$		${DE}_{9}$	E7 ( 1 )^
tíz		${BE}_{10}$ ${CE}_{10}$		${DE}_{10}$	${E}_{10}$ =E 8 (1)^

238 hiperbolikus csoport (kompakt és nem tömör)

A felsorolt 238 hiperbolikus csoportot (kompakt és nem tömör) H i (n) -ként jelöljük az n .

Erősen kibővített diagramok

Az erősen kiterjesztett csoportok a Lorentz-csoportok , amelyeket úgy határozunk meg, hogy három csomót adunk a véges csoportokhoz. Az E 8 , E 7 , E 6 , F 4 és G 2 hat sorozatot ad, amelyek erősen kiterjesztett csoportokban végződnek. Más, nem ábrázolt kiterjesztett sorozatok meghatározhatók A n , B n , C n és D n , mint mindegyik n - hez különböző sorozatként . A kapcsolódó Cartan-mátrix determinánsa határozza meg, hogy a sorozat hol változik végesről (pozitív determináns) affinra (nulla determináns) nem kompakt hiperbolikus csoportra (negatív determináns), és lezárja a sorozatot Lorentz-csoportként, amelyet a következővel határozhatunk meg. időszerű dimenzió megjelenése [17] .

2. helyezett kiterjesztett sorozat

végső	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$
2	A2_ _	C2_ _	G2_ _
3	A 2 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 10., a Wayback Machine -nél ${\tilde {A}}_{2}$	C 2 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 10., a Wayback Machine -nél ${\tilde {C}}_{2}$	G 2 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 30., a Wayback Machine -nél ${\tilde {G}}_{2}$
négy	A 2 ++ (lásd) Archiválva : 2015. július 13., a Wayback Machine -nél	C 2 ++ (lásd) Archiválva : 2016. október 11., a Wayback Machine -nél	G 2 ++ (lásd) Archiválva : 2015. július 13., a Wayback Machine -nél
5	A 2 +++ (lásd) Archivált : 2015. július 14. a Wayback Machine -nél	C 2 +++ (lásd) Archivált : 2016. október 11. a Wayback Machine -nél	G 2 +++ (lásd) Archiválva : 2015. július 14. a Wayback Machine -nél
Det(M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n

A kiterjesztett sorozat 3. és 4. helyezése

végső	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$
2		A 12 _						A2_ _
3	A 3	B3 _	C3_ _		B 2 A 1		A 13 _
négy	A 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	B3 + = _ ${\tilde {B}}_{3}$	C3 + = _ ${\tilde {C}}_{3}$	A4_ _	B4_ _	C4_ _	D4_ _	F4_ _
5	A3 ++ _	B3 ++ _	C3 ++ _	A4 + = _ ${\tilde {A}}_{4}$	B4 + = _ ${\tilde {B}}_{4}$	C4 + = _ ${\tilde {C}}_{4}$	D4 + = _ ${\tilde {D}}_{4}$	F4 + = _ ${\tilde {F}}_{4}$
6	A 3 +++	B3 +++ _	C3 +++ _	A4 ++ _	B4 ++ _	C4 ++ _	D4 ++ _	F4 ++ _
7				A4 +++ _	B4 +++ _	C4 +++ _	D4 +++ _	F4 +++ _
Det(M n )	4(4- n )	2(4- n )		5(5- n )	2(5- n )		4(5- n )	5- n

Kibővített sorozat az 5. és 6. rangokból

végső	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$
négy		B 3 A 1	A 3 A 1				A 2 2
5	A5_ _		D5_ _		B 4 A 1	D 4 A 1	A5_ _
6	A5 + = _ ${\tilde {A}}_{5}$	B5 + = _ ${\tilde {B}}_{5}$	D5 + = _ ${\tilde {D}}_{5}$	A6_ _	B6_ _	D6_ _	E 6
7	A5 ++ _	B5 ++ _	D5 ++ _	A6 + = _ ${\tilde {A}}_{6}$	B6 + = _ ${\tilde {B}}_{6}$	D6 + = _ ${\tilde {D}}_{6}$	E 6 + = ${\tilde {E}}_{6}$
nyolc	A5 +++ _	B5 +++ _	D5 +++ _	A6 ++ _	B6 ++ _	D6 ++ _	E6 ++ _
9				A6 +++ _	B6 +++ _	D6 +++ _	E 6 +++
Det(M n )	6(6- n )	2(6- n )	4(6- n )	7 (7- n )	2(7- n )	4(7- n )	3(7- n )

Egyes kiterjesztett sorozatok 7-es és magasabb rangú

végső	A7_ _	B7_ _	D7_ _	E 7	E 8
3					E 3 \u003d A 2 A 1
négy				A 3 A 1	E 4 = A 4
5				A5_ _	E 5 = D 5
6		B 5 A 1	D 5 A 1	D6_ _	E 6 (lásd) Archiválva : 2015. június 30. a Wayback Machine -nál
7	A7_ _	B7_ _	D7_ _	E 7 (lásd) Archiválva : 2015. június 30. a Wayback Machine -nál	E 7 (lásd) Archiválva : 2015. június 30. a Wayback Machine -nál
nyolc	A 7 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 30., a Wayback Machine -nél ${\tilde {A}}_{7}$	B 7 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 10., a Wayback Machine -nél ${\tilde {B}}_{7}$	D 7 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 30. a Wayback Machine -nál ${\tilde {D}}_{7}$	E 7 + = (lásd) Archiválva : 2015. június 10., a Wayback Machine -nál ${\tilde {E}}_{7}$	E 8 (lásd) Archiválva : 2015. június 10., a Wayback Machine -nél
9	A 7 ++ (lásd) Archiválva : 2015. július 13., a Wayback Machine -nél	B 7 ++ (lásd) Archiválva : 2015. június 10., a Wayback Machine -nél	D 7 ++ (lásd) Archiválva : 2015. július 13., a Wayback Machine -nél	E 7 ++ (lásd) Archiválva : 2015. július 13. a Wayback Machine -nál	E 9 =E 8 + = (lásd) Archivált : 2015. június 10., a Wayback Machine -nél ${\tilde {E}}_{8}$
tíz	A 7 +++ (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél	B 7 +++ (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél	D 7 +++ (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél	E 7 +++ (lásd) Archivált : 2015. június 10. a Wayback Machine -nél	E 10 =E 8 ++ (lásd) Archiválva : 2015. június 30. a Wayback Machine -nél
tizenegy					E 11 =E 8 +++ (lásd) Archiválva : 2014. november 12., a Wayback Machine -nél
Det(M n )	8(8- n )	2(8- n )	4(8- n )	2(8- n )	9- n

Lásd még

Satake diagramok

Jegyzetek

Megjegyzések

↑ Ebben a részben "Coxeter-diagramokról" beszélünk, nem pedig "Coxeter-Dynkin-diagramokról" a rövidség és a fogalmak megkülönböztetése érdekében, mivel fennáll a félreértés lehetősége.
↑ a g mátrix konjugációja az a mátrix segítségével olyan mátrix , mint az a mátrix −1 ga
↑ Vegye figyelembe, hogy a Glazier nyilakat használ, ellentétben a jelen cikkben használt konvenciókkal.
↑ irányítatlan diagram

Források

↑ Fulton és Harris, 1991 , p. D.40. javaslat.
↑ 1 2 3 Jacobson, 1971 , p. 7. szakasz.
↑ Humphreys, 1972 , p. 16.5. szakasz.
↑ Algebrai geometria és számelmélet: Vladimir Drinfeld 50. születésnapja tiszteletére, szerkesztette: Victor Ginzburg, p. 47, 3.6 szakasz: Cluster összehajtás Archiválva : 2021. április 16. a Wayback Machine -nél
↑ 1 2 Folding by Automorphisms Archiválva : 2016. március 4., a Wayback Machine , John Stembridge, 4pp., 79K, 2008. augusztus 20., John Stembridge egyéb cikkei Archiválva 2016. január 11-én a Wayback Machine -nél
↑ Lásd ( Stekolshchik 2008 , 102. o. , 5.4. megjegyzés) az ilyen hajtások és hivatkozások illusztrációját.
↑ Jean-Bernard Zuber. Általánosított Dynkin-diagramok és gyökérrendszerek, valamint azok hajtogatása // CiteSeer. — S. 28–30 .
↑ 1 2 Transformations of Dynkin Diagrams Archiválva : 2016. március 10., a Wayback Machine , John Armstrong, 2010. március 5.
↑ 12. Knapp , 2002 , p. 758.
↑ 1 2 3 Miért mindig így rajzolják meg az E6, E7 és E8 Dynkin-diagramokat? . Letöltve: 2015. október 14. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 11.. (határozatlan)
↑ Bourbaki, 1968 .
↑ Jegyzetek a Coxeter-transzformációkról és a McKay-levelezésről , Rafael Stekolshchik, 2005, 2.1. szakasz A Cartan-mátrix és mellei formája , o. 27. [1] Archiválva : 2020. március 1. a Wayback Machine -nél
↑ Kac, 1994 , p. 47-55.
↑ Lásd például: Reflection group and Coxeter group, James E. Humphreys, p. 96 Archiválva : 2021. április 16. a Wayback Machine -nél
↑ Kac, 1994 , p. 53.
↑ L Carbone, S Chung, C Cobbs, R McRae, D Nandi, Y Naqvi, D Penta. Hiperbolikus Dynkin-diagramok, gyökérhosszak és Weyl-csoportpályák osztályozása // J. Phys. V: Matek. Theor. - 2010. - Kiadás. 43 .
↑ Az M-elméletek szimmetriája Archiválva : 2017. január 18., a Wayback Machine , Francois Englert, Laurent Houart , Anne Taormina és Peter West, 2003

Irodalom

E. B. Dynkin. Félig egyszerű Lie algebrák szerkezete. // UMN. - 1947. - 2. évf. , sz. 4. cikk (20) bekezdése . – 59–127 .
Nicholas Bourbaki. 4–6. fejezet // Groupes et algebres de Lie. – Párizs: Hermann, 1968.
Nathan Jacobson. Kivételes hazugságalgebrák. - CRC Press, 1971. - ISBN 0-8247-1326-5 .
James E. Humphreys. Bevezetés a hazugságalgebrákba és az ábrázoláselméletbe. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 .
William Fulton , Joe Harris . reprezentációs elmélet. Egy első tanfolyam. - New York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Diplomás szövegek matematikából, olvasmányok matematikából). - ISBN 978-0-387-97495-8 , 978-0-387-97527-6.
Evgeniĭ Borisovich Dynkin, Alexander Adolph Yushkevich, Gary M. Seitz, AL Onishchik. EB Dynkin válogatott dolgozatai kommentárral. - AMS Könyvesbolt, 2000. - ISBN 978-0-8218-1065-1 .
Anthony W. Knapp. Hazugságcsoportok a bevezetésen túl. — 2. - Birkhäuser, 2002. - ISBN 978-0-8176-4259-4 .
R. Stekolschik. Megjegyzések a Coxeter-transzformációkról és a McKay-levelezésről. - 2008. - (Springer-monográfiák a matematikából). — ISBN 978-3-540-77398-6 . - doi : 10.1007/978-3-540-77398-3 .
Victor G. Kac. Végtelen dimenziós hazugság-algebrák. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 0-521-37215-1 , 0-521-46693-8.

Linkek

Klassifikation von Wurzelsystemen (a gyökérrendszerek osztályozása , német nyelvű Wikikönyvek )
Dynkin diagram az Encyclopaedia of Mathematics oldalán archiválva 2015. június 26-án a Wayback Machine -nél
John Baez a Dynkin-diagramok mindenütt jelenlétéről a matematikában Archiválva : 2015. november 14., a Wayback Machine -nél
Webes eszköz publikációs minőségű Dynkin-diagramok készítéséhez címkékkel (JavaScript nyelven írva) Archiválva : 2012. december 13. a Wayback Machine -nél