Alapvető nézet

A Lie- csoportok és Lie-algebrák reprezentációs elméletében az alapreprezentáció egy félig egyszerű Lie-csoport vagy Lie  -algebra irreducibilis véges dimenziós reprezentációja, amelynek legnagyobb súlya az alapsúly. Például egy klasszikus Lie-csoport meghatározó modulja alapvető reprezentáció. A félig egyszerű Lie-csoport vagy Lie-algebra bármely véges dimenziós irreducibilis reprezentációját teljes mértékben meghatározza a legnagyobb súlya ( Cartan-tétel ), és az Eli Cartan által leírt eljárással alapreprezentációkból összeállítható . Így az alapvető reprezentációk bizonyos értelemben elemi építőkövei tetszőleges véges dimenziós reprezentációknak.

Példák

• Általános lineáris csoport esetén minden alapvető reprezentáció a definiáló modul külső hatványa .
• Az SU ( n ) speciális unitárius csoport esetében az n - 1 alapreprezentációk antiszimmetrikus tenzorokból álló külső szorzatok , ahol k = 1 , 2 , ... , n - 1 .
• A páratlan ortogonális csoport kettős borítójának spinreprezentációja , a páratlan spinorcsoport és a páros ortogonális csoport kettős borítójának két királis spin-ábrázolása, a páros spinorcsoportok olyan alapvető reprezentációk, amelyek nem valósíthatók meg a térben. tenzorok.
• Egy egyszerű E 8 típusú Lie-csoport adjunkt reprezentációja alapvető reprezentáció.

Magyarázat

Egy egyszerűen összekapcsolt kompakt Lie csoport irreducibilis reprezentációi a legnagyobb súlyuk alapján vannak indexelve . Ezek a súlyok a domináns integrálsúlyokból álló Lie csoport súlyrácsának ortáns Q + rácspontjai . Bebizonyítható, hogy létezik a Dynkin-diagram csúcsai által indexelt alapsúlyok halmaza , úgy, hogy bármely domináns súly az alapsúlyok nemnegatív egész lineáris kombinációja. A megfelelő irreducibilis reprezentációk a Lie-csoportok alapvető reprezentációi. A domináns súly alapsúlyok szerinti dekompozíciójából megkaphatjuk az alapreprezentációk megfelelő tenzorszorzatát, és kiválaszthatjuk az ennek a domináns súlynak megfelelő irreducibilis reprezentáció egy példányát.

Egyéb alkalmazások

A hazugságelméleten kívül az "alapvető reprezentáció" kifejezést néha a pontos reprezentációra, a legkisebb dimenzióra utalják, bár gyakran szabványos vagy meghatározó reprezentációnak is nevezik. Ennek a kifejezésnek több történelmi gyökere van, mint jól meghatározott matematikai jelentése.

Irodalom

• Fulton, William; Harris, Joe. reprezentációs elmélet. Egy első tanfolyam. - New York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Diplomás szövegek matematikából, olvasmányok matematikából). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
• Humphreys, James E. Bevezetés a hazugságalgebrákba és az ábrázoláselméletbe. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 . .
• Zhelobenko D. P. Kompakt hazugság csoportok és reprezentációik. - M .: Nauka, 1970.