Cartan mátrix

A matematikában a Cartan-mátrix kifejezésnek három jelentése van. Mindegyiket Elie Cartan francia matematikusról nevezték el . Valójában a Cartan mátrixait a Lie algebrák kontextusában először Wilhelm Killing tárta fel , míg a Killing forma Cartannek köszönhető.

Lie algebrák

Az általánosított Cartan-mátrix egy négyzetes mátrix , olyan egész számokkal $A=(a_{ij})$

Átlós elemek a ii = 2.
Átlón kívüli elemek . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ akkor és csak akkor . $a_{ji}=0$
A felírható DS - ként , ahol D egy átlós mátrix és S szimmetrikus .

Például a G 2 Cartan-mátrixa a következőképpen bontható fel:

\left [ \begin{smallmatrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ] = \left [ \begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \ end{smallmatrix}\right ] \left [ \begin{smallmatrix} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{smallmatrix}\right ].

A harmadik feltétel nem független, és az első és negyedik feltétel következménye.

Mindig választhatjuk a pozitív átlós elemekkel rendelkező D -t. Ebben az esetben, ha S a bővítésben pozitív határozott , akkor A -t Cartan-mátrixnak mondjuk .

Az egyszerű Lie algebra Cartan-mátrixa egy olyan mátrix, amelynek elemei skaláris szorzatok

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}

(néha Cartan egész számoknak nevezik ), ahol r i az algebra gyökérrendszere . Az elemek a gyökérrendszer egyik tulajdonsága miatt egész számok . Az első feltétel a definícióból következik, a második abból, hogy for egy gyök, amely r i és r j egyszerű gyökök lineáris kombinációja , pozitív együtthatóval r j -re , majd az r i együtthatónak nem kell lennie . -negatív. A harmadik feltétel az ortogonalitási reláció szimmetriája miatt igaz . És végül hagyjuk és . Mivel az egyszerű gyökök lineárisan függetlenek, ezért S a Gram-mátrixuk (2-es tényezővel), ezért pozitív határozott. $i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i$ $D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}$ $S_{ij}=2(r_i,r_j)$

És fordítva, ha egy általánosított Cartan-mátrixot adunk meg, akkor megtalálhatjuk a megfelelő Lie algebrát (lásd a részleteket a Kac-Moody Algebra cikkben ).

Osztályozás

Egy A méretű mátrix felbontható , ha létezik olyan nem üres részhalmaz , hogy mindenre és . A felbonthatatlan , ha ez a feltétel nem teljesül. $n\szer n$ $I \részhalmaz \{1,\pontok,n\}$ $a_{ij}=0$ $i\in I$ $j \notin I$

Legyen A egy felbonthatatlan általánosított Cartan-mátrix. Azt mondjuk, hogy A véges típusú , ha minden főmollja pozitív, A affin típusú , ha az összes tulajdonképpeni főmoll pozitív és A determinánsa 0, egyébként pedig A határozatlan típusú .

A véges típusú felbonthatatlan mátrixok véges dimenziójú (típusú ) egyszerű Lie csoportokat osztályoznak , míg az affin típusú felbonthatatlan mátrixok affin Lie algebrákat (néhány algebrailag zárt 0 karakterisztikájú mező felett). $A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$

Cartan-mátrixok meghatározói egyszerű Lie algebrákhoz

Az egyszerű Lie-algebrák Cartan-mátrixainak determinánsait a táblázat tartalmazza.

$A_{n}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n=6,7,8$	$F_{4}$	$G_{2}$
n +1	2	2	négy	9- n	egy	egy

Ennek a determinánsnak egy másik tulajdonsága, hogy egyenlő a hozzá tartozó gyökérrendszer indexével, azaz egyenlő -val , ahol a súlyrácsot , illetve a gyökérrácsot jelöli. $|P/Q|$ $P, Q$

Véges dimenziós algebrák ábrázolásai

A moduláris reprezentációk elméletében és a véges dimenziós asszociatív algebrák reprezentációinak általánosabb elméletében , amelyek nem félig egyszerűek , a Cartan-mátrixot a fő felbonthatatlan modulok véges) halmazának figyelembevételével határozzák meg. és az kompozíciósorozatot írjuk nekik prímmodulok alapján , így egész számokból álló mátrixot kapunk, amely tartalmazza a prímmodul előfordulásai számát.

Cartan-mátrixok az M-elméletben

Az M-elméletben a geometriát két ciklus határaként ábrázolhatjuk, amelyek véges számú pontban metszik egymást, mivel a két ciklus területe nulla. A határértékben egy lokális szimmetriacsoport keletkezik . A kétciklusú bázis metszésponti indexeinek mátrixa hipotetikusan ennek a lokális szimmetriacsoportnak a Lie algebrájának Cartan-mátrixa [1] .

Ez a következőképpen magyarázható: az M-elméletben léteznek szolitonok , amelyek kétdimenziós felületek, amelyeket membránoknak vagy 2-bránoknak neveznek . A 2-bránok feszültek , ezért hajlamosak zsugorodni, de két cikluson keresztül körbetekerhetők, hogy megakadályozzák a membránok nullára való összeesését.

Lehetőség van egy dimenziós tömörítés , amelyben az összes két ciklus és azok metszéspontjai találhatók, és nullára vesszük azt a határt, amelynél a méret összeesik, ezáltal csökkentve ezt a méretet. Ezután megkapjuk az IIA típusú húrelméletet az M-elmélet határaként kétciklusú tekercselő 2-bránokkal, amelyeket most D-bránok között kifeszített nyitott húrokként ábrázolnak . Minden D-bránhoz létezik egy U(1) lokális szimmetriacsoport , amely hasonló az átirányítás nélküli mozgás szabadsági fokaihoz. Az a határ, ahol két ciklus területe nulla, az a határ, ahol ezek a D-bránok egymáson vannak.

A két D-brán közé feszített nyitott karakterlánc egy Lie algebra generátort reprezentál , két ilyen generátor kommutátora pedig a harmadik generátor, amelyet egy nyitott karakterlánc ábrázol, amelyet a két nyitott húr éleinek összeragasztásával kaphatunk. A különböző nyitott húrok közötti további kapcsolatok attól függnek, hogy az eredeti M-elméletben a 2-bránok milyen módon metszhetik egymást, vagyis a kétciklusú metszéspontok számától. Így a Lie algebra teljes mértékben ezektől a metszéspontszámoktól függ. A Cartan mátrixszal való kapcsolat azért javasolt, mert leírja azokat az egyszerű gyökérkommutátorokat , amelyek a választott bázis két ciklusához kapcsolódnak.

Figyeljük meg, hogy a Cartan-algebrában a generátorokat nyitott húrok képviselik, amelyek egy D-brán és ugyanazon brán között vannak megfeszítve.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ashoke Sen. Megjegyzés a megnövelt mérőszimmetriákról az M- és a húrelméletben // Journal of High Energy Physics. - IOP Publishing, 1997. - T. 1997 , no. 9 . - doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 .

Irodalom

William Fulton, Joe Harris. Reprezentációs elmélet: Első tanfolyam. - Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - P. 334. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys. Bevezetés a Lie algebrákba és az ábrázoláselméletbe. - Springer-Verlag, 1972. - T. 9. - S. 55-56. — ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 0-387-90052-7 .
Victor G. Kac. Végtelen dimenziós hazugság algebrák. — 3. - 1990. - ISBN 978-0-521-46693-6 .
Michiel Hazewinkel. Matematikai Enciklopédia. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Cartan mátrix (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .