Cartan szubalgebra

A Cartan -algebra egy nilpotens Lie -algebra , amely megegyezik a normalizálójával : ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$

$\underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb ,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}} _{n}] \dotsb ]]]=0$ egyesek számára (nilpotencia), $n\in \mathbb{N}$
$\forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a } }}$ (önnormalizáció).

A koncepció nagy jelentőséggel bír a félig egyszerű Lie algebrák osztályozásában és a szimmetrikus terek elméletében . Elie Cartan francia matematikusról kapta a nevét .

Egyenértékű definíció: A nilpotens részalgebra egy Cartan-algebra, ha egyenlő a nulla illeszkedő komponensével, azaz a halmazzal: ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {g}}_{0}:=\left\{X\in {\mathfrak {g}}:\forall H\in {\mathfrak {a}}\;\;\exists n_ {H,X}\in \mathbb {Z} ,\;\;(\operátornév {ad} H)^{n_{H,X}}(X)=0\jobbra\},

ahol a Lie csoport adjunkt reprezentációja . $\operatorname {ad}$

Tulajdonságok

A Cartan szubalgebrák maximális nilpotens szubalgebrák, vagyis nem szerepelnek szigorúan nagy nilpotens subalgebrákban.

Egy tetszőleges véges dimenziós Lie-algebrának egy végtelen mező felett van egy Cartan-algebra.

Egy véges dimenziós Lie-algebra esetén egy algebrailag zárt , 0 karakterisztikájú mező felett minden Cartan-algebra konjugált a Lie-algebra automorfizmusaihoz képest, és különösen izomorf. A Cartan algebra dimenzióját a Lie algebra rangjának nevezzük. Ha a Lie algebra megoldható , akkor ezek a tulajdonságok olyan mezőkre is érvényesek, amelyek algebrailag nem zártak. Ugyanezen feltevés szerint egy tetszőleges maximális nilpotens részcsoport, amelynek mérete megegyezik a Lie algebra rangjával, egy Cartan-alcsoport.

A Cartan-algebra képe egy szürjektív Lie algebra homomorfizmus alatt egy Cartan-algebra.

Ha egy véges dimenziós Lie-algebra egy végtelen mező felett szabályos elem, azaz olyan elem, amelyre az endomorfizmus nulla illeszkedő komponensének van minimális mérete, akkor az a részalgebra, amelynek elemei olyanok , hogy egyesek számára Cartan-algebra . A 0 karakterisztikájú mezőknél minden Cartan-algebra olyan alakú, mint a megfelelő reguláris elemé, minden reguláris elem egy és csak egy Cartan-alcsoportba tartozik. $X\in {\mathfrak {g))$ $\operatorname {ad} X$ ${\mathfrak {n}}(X,{\mathfrak {g}})$ $Y\in {\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad} ^{n}X(Y)=0$ $n\in \mathbb{Z }$ $X\in {\mathfrak {g}}.$

Ha a mező valamely kiterjesztése , akkor az algebra akkor és csak akkor Cartan-algebra, ha az algebra Cartan-algebrája $k\subset K$ ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {a}}\otimes _{k}K$ ${\mathfrak {g}}\otimes _{k}K.$

Példák

Bármely nilpotens Lie algebra egyenlő a Cartan-algebrával.

Egy általános lineáris csoport Cartan -algebrája valamilyen mező felett az átlós mátrixok algebrája .

A Lie algebra Cartan-algebrája:

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C}): \mathrm {Tr} (A)=0\jobbra\}

az átlós mátrixok algebrája:

{\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+ \ldots +\lambda _{n}=0\right\}.

Bármely más Cartan -algebra konjugált -hoz . ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {a}}_{0}$

De például az algebrában különösen a Cartan nem konjugált algebrái vannak ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$

{\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)

és

{\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right).

A Cartan-algebra dimenziója összességében nem az Abeli-algebra maximális dimenziója, még az egyszerű algebrák esetében sem a komplex számok területén. Például a Lie-algebrának van egy dimenziós Cartan- algebrája , de az Abeli-algebrájának dimenziója, amely az összes alak mátrixából áll , ahol egy tetszőleges dimenziómátrix . Ez az algebra nem Cartan-algebra, mert szigorúan a nulla átlós bejegyzésekkel rendelkező felső háromszögmátrixok nilpotens algebrájában található . ${\mathfrak {sl}}(2n,\mathbb {R} )$ $2n-1$ ${0\ A \choose 0\ 0}$ $A$ $n\szer n$ $n^{2}$

Példa a maximális nilpotens részalgebrára, amely nem Cartan- algebra, a következő alakú mátrixalgebra, ahol a sorrend azonossági mátrixa , és a mátrixok felső háromszög alakúak, nulla átlós bejegyzésekkel. Ezek a mátrixok az általános lineáris csoport Abel-algebráját alkotják, és bebizonyítható, hogy ez az algebra egy maximálisan nilpotens algebra. Ha azonban egy átlós mátrix, amelynek nem minden eleme egyenlő, akkor bár , és a második követelmény a Cartan-algebra definíciójában nem teljesül. ${\mathfrak {h))$ $\{aI_{n}+N\},$ $a\in \mathbb {R} ,\;\;$ $Ban ben}$ $n$ $N\in {\mathfrak {n}}$ $Y$ $[Y,X]\in {\mathfrak {n))\subset {\mathfrak {h)),\;\;\forall X\in {\mathfrak {h)),$ $Y\not \in {\mathfrak {h))$

Félig egyszerű Lie algebrák

Ha egy félig egyszerű Lie-algebra egy algebrailag zárt 0 karakterisztikájú mező felett, akkor a Cartan-algebra Abel-féle, és az adjunkt reprezentáció képei , amelyekre korlátozódik , egyidejűleg diagonalizálhatók a súlyvektorok halmazában, és a súlynak megfelelő sajáttér. . A közvetlen összegre való bővítés is érvényes $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ $\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{a}$ $0$

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\ alfa))

ahol

{\displaystyle \left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a)),Y\in {\mathfrak {g))_{\alpha ))

és

{\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a)).

Különösen abban az esetben

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C}): \mathrm {Spur} (A)=0\jobbra\},

{\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\ lambda _{n}=0\jobbra\}.

Ha olyan mátrixot jelölünk , amelynek egy eleme a pozícióban van , a többi elem pedig egyenlő -val , akkor a bővítés: $e_{ij}$ $egy$ $(i,j)$ $0$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \ bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },

hol a súly: $\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }$

\alpha (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}.

Irodalom

Eli Cartan. Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. - Párizs, 1894. - (Ezek).
Anthony W. Knapp. Hazugságcsoportok a bevezetésen túl. - Második kiadás. - Boston, MA: Birkhäuser, 2002. - (Progress in Mathematics, 140). — ISBN 0-8176-4259-5 .