Félig egyszerű Lie algebra

A félig egyszerű Lie-algebra egy Lie-algebra, amely az egyszerű Lie-algebrák közvetlen összege , azaz a nem-abeli Lie-algebrák nem triviális ideálok nélkül.

A félegyszerűség szerepe a Lie algebrák tanulmányozásában

A Levi-Maltsev tétel a Levi- felbontásról kimondja, hogy bármely Lie algebra egy megoldható ideál (amelyet Lie algebra gyökének neveznek ) és egy félig egyszerű algebra [2] félig közvetlen összege [1 ] . Különösen egy nem nulla Lie algebra nem lehet egyszerre eldönthető és félig egyszerű. Ez sok probléma esetében lehetővé teszi, hogy külön-külön megvizsgáljuk a megoldható Lie algebrák elméletét és külön a félig egyszerű algebrák elméletét.

A 0 karakterisztikájú algebrailag zárt mező feletti félegyszerű algebrákat gyökérrendszereik teljesen osztályozzák, amelyeket viszont Dynkin-diagramok írnak le . A nem algebrai zárt mezők felett az osztályozás bonyolultabbá válik, de a valós számok mezőjére a valós Lie algebra akkor és csak akkor félegyszerű, ha a komplexitása félig egyszerű.

Tulajdonságok

A félegyszerűség megmarad, ha figyelembe vesszük az ideális, Lie-faktor algebra, direkt szorzatot [3] .
(Cartan-kritérium) A Lie algebra akkor és csak akkor félig egyszerű, ha Killing alakja nem degenerált.
(Weil tétele) Egy félig egyszerű Lie algebra véges dimenziós ábrázolása teljesen redukálható [4] .
A faktor félig egyszerű, mint egy félig egyszerű Lie algebra tényezője, és Abel-féle, mint kommutátor tényezője. Ekkor egyenlő a nulla Lie algebrával. Ezért egy félig egyszerű Lie algebra kommutánsa egyenlő önmagával: Konkrétan minden lineáris félig egyszerű Lie algebra benne van . ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}.$ $[{\mathfrak {gl}}_{n},{\mathfrak {gl}}_{n}]={\mathfrak {sl}}_{n}$

Szerkezet

Legyen véges dimenziós félegyszerű Lie algebra egy algebrailag zárt 0 karakterisztikájú mező felett. Tekintsük a Cartan-algebrát, egy maximális tórikus részalgebrát [5] , ahol a toric szó azt jelenti, hogy félig egyszerű elemekből áll, vagyis olyan elemekből, amelyeket átlósít. A mellékelt nézet segítségével megfontolhatja a műveletet . Egy félig egyszerű Lie algebra esetében a Cartan-algebra Abeli-félenek bizonyul [6] , így az elemeinek megfelelő operátorok egyidejűleg diagonalizálhatók [6] . $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h))$ $x$ $\operatorname {ad} (x)$ ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak{g}$ $\operatorname {ad}$ $\operatorname {ad}$

Legyen egy lineáris függvény a . Ekkor tekinthetünk egy (esetleg nulla) alteret a következő képlettel: $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast }$ ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak{g}$

{\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\quad \forall h\in {\ mathfrak {h}}\}.

Felbontás gyökér alterekre [7] [8]

Ha a Cartan-algebrája , akkor kiderül, hogy és direkt összegre bomlik ( -modulként): ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h))$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }

ahol az összes nem nulla lineáris függvény halmaza úgy, hogy . Ezenkívül mindegyik a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $\Phi$ $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast }$ ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}$ $\alpha ,\beta \in \Phi$

$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }$ , míg a képlet egyenlőséggé válik a . $\alpha +\beta \neq 0$
$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\ mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}$ , ahol az izomorfizmust Lie algebrák izomorfizmusaként kell érteni.
$\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$ ; különösen, . $\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$
${\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}$ ; más szóval, . $2\alpha \not \in \Phi$
A -nál a és alterek merőlegesek egymásra a Killing alakhoz képest. $\alpha +\beta \neq 0$ ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ ${\mathfrak {g}}_{\beta }$
A Killing forma korlátozása nem degenerált. ${\mathfrak {h))$

A halmazt algebra gyökérrendszernek nevezzük . Kimutatható, hogy valóban megfelel a gyökérrendszer axiómáinak. Ebben kiválasztható [9] az úgynevezett egyszerű gyökök alapja úgy, hogy minden elem egyszerű gyökök egész számú lineáris kombinációjaként jelenjen meg, és vagy az összes nem negatív együtthatóval, vagy az összes nem pozitív együtthatóval [ 10] . A reprezentációk elméletéből következik, hogy mindegyik gyökhöz választhatunk elemeket , normalizálva őket oly módon, hogy és Kiderül, hogy az így kiválasztott elemek mindkét Lie algebrát generálják . $\Phi$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l))$ $\Phi$ ${\mathfrak {sl}}_{2}$ $g_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },h_{\alpha }= [e_{\alpha },f_{\alpha }]$ ${\displaystyle [h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha ))$ $[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }.$ $3l$ $\mathfrak{g}$

Ezután jelöljük explicit módon az összes relációt ezeken a generátorokon (a Serre-relációkat) [11] : $a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i}),$

[h_{i},h_{j}]=0,

[e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,

[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},

\operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+ 1}(f_{j})=0,i\neq j.

Serra tétele kimondja, hogy minden olyan mátrixra, amely Cartan mátrix , vagy ezzel egyenértékűen bármely gyökérrendszerre, létezik egy egyedi, egészen izomorfizmusig félig egyszerű véges dimenziós Lie algebra [12] . A létezés egyik lehetséges bizonyítéka egy Kac-Moody algebra szerkesztése . ${\displaystyle \{a_{ij}\))$

Így kiderül, hogy a félig egyszerű véges dimenziós Lie algebrák osztályozásához (egy algebrailag zárt karakterisztikus nulla mező felett) elegendő a gyökérrendszerek osztályozása.

Osztályozás

A gyökérrendszerek tanulmányozása során kiderül, hogy mindegyiket társítani lehet egy orientált Dynkin-diagramhoz . Egy félig egyszerű Lie-algebra egyszerűségek összegére bontása megfelel egy szétválasztott diagram összefüggő komponensek uniójára (irreducibilis diagramokra) való felbomlásának. Így az osztályozás problémája arra redukálódik, hogy megtudjuk, mely irreducibilis Dynkin-diagramok lehetnek valamilyen gyökérrendszer diagramjai.

Egy több csúcsot tartalmazó Dynkin-diagram akkor felel meg egy rang gyökérrendszernek, ha az a következők egyike: [13] . $n$ $n$ $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$

A sorozatoknak megfelelő algebrákat klasszikusnak nevezzük ; ezek algebrák , ill. Ezeknek a sorozatoknak a diagramjai kis értékekre egybeeshetnek egymással, ami izomorf algebrákat generál, vagy kibővülhet mások összegére, vagyis nem lehet egyszerű; ezeknek az eseteknek a listáról való kizárásához a , at , at , at [13] címen veheti igénybe . $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1},{\mathfrak {so}}_{2n+1},{\mathfrak {sp}}_{2n},{\mathfrak {so}} _{2n}$ $n$ $A_{n}$ $n\geqslant 1$ $B_{n}$ $n\geqslant 2$ $C_{n}$ $n\geqslant 3$ $D_{n}$ $n\geqslant 4$

A , , diagramoknak megfelelő algebrákat kivételesnek nevezzük . Általában a megfelelő csoportokat ugyanazzal a szimbólummal jelöljük, mint a diagramot, az algebrákat pedig a $E_{6}$ $E_7$ $E_8$ $F_{4}$ $G_{2}$ ${\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{8},{\mathfrak {f}}_{4} ,{\mathfrak {g}}_{2}.$

Egy nem algebrailag zárt mező esetén több nem izomorf egyszerű Lie-algebra felelhet meg ugyanannak az egyszerű Lie-algebrának egy algebrai zárás mellett, ezért több erőfeszítésre van szükség. Valós számokból álló mező esetén a teljes osztályozást a Satake diagramok adják , amelyek Dynkin diagramok további címkékkel [14] .

Félig egyszerű Lie-algebrák ábrázolásai

Jegyzetek

↑ Vinberg, 1988 , p. 44.
↑ Vinberg, 1988 , p. 60-61.
↑ Humphries, 2003 , p. 38.
↑ Humphries, 2003 , p. 44.
↑ Humphries, 2003 , p. 93.
↑ 1 2 Humphreys, 2003 , p. 52.
↑ Serre, 2000 , Ch. VI, 1. §.
↑ Humphries, 2003 , p. 52-58.
↑ Humphries, 2003 , p. 66.
↑ Humphries, 2003 , p. 68.
↑ Humphries, 2003 , p. 121.
↑ Humphries, 2003 , p. 124-127.
↑ 1 2 Humphreys, 2003 , p. 77.
↑ Knapp, 2002 , VI.10.

Irodalom

Humphries J. Bevezetés a hazugságalgebrákba és az ábrázoláselméletbe / per. angolról. B.R. Frenkin. - M. : MTSNMO, 2003. - 214 p. — ISBN 5-900916-79-0 . (Orosz)
Vinberg E.B., Onishchik A.L. Szeminárium a Lie-csoportokról és az algebrai csoportokról . - Moszkva: Nauka, 1988. - 344 p. — ISBN 5-02-013721-9 . (Orosz)
Serre J.-P. Komplex félig egyszerű Lie algebrák . - Berlin: Springer, 2000. - 74 p.
Knapp AM Lie csoportok a bevezetésen túl . — Birkhauser, 2002.