F4 (matematika)

A matematikában az F 4 az öt (kompakt vagy összetett) speciális egyszerű Lie csoport egyikének , valamint a Lie algebrának a neve . F 4 rangja 4, dimenziója 52. Az F 4 csoport egyszerűen össze van kötve, és a külső automorfizmus csoportja triviális. Az F 4 csoport legegyszerűbb pontos lineáris ábrázolása , valamint Lie algebra 26 dimenziós és irreducibilis. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Az F 4 (komplex) csoport kompakt valós formája a 16 dimenziós Riemann-sokaság izometriacsoportja, amelyet „oktonion projektív síkként ” ismerünk, OP 2 . Ezt meg lehet mutatni egy általános technikával, a varázsnégyzet néven ismert konstrukcióval , amelyet G. Freudenthal és J. Tits fejlesztett ki .

Három valós hazugságcsoport van az algebrával : kompakt, osztott és harmadik. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Az F 4 Lie algebrát úgy kaphatjuk meg, hogy a 36 dimenziós Lie algebrához 16 generátorokat adunk, amelyek spinorokká alakulnak , hasonlóan ahhoz, ahogy az E 8 felépítésénél történik . ${\mathfrak {so}}(9)$

Algebra

Gyökérvektorok F 4

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1.0,\pm 1.0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}}\jobbra)

és egyszerű pozitív gyökvektorok

(0,1,-1,0)

(0,0,1,-1)

(0,0,0,1)

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2 }}\jobb)

Weyl / Coxeter csoport

Ennél a csoportnál ez a hiperoktaéder szimmetriacsoportja .

Cartan mátrix

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Szimmetriarács F 4

Egy 4 dimenziós testközpontú köbös rácsban az F 4 pontszimmetriacsoport. Ez a két hiperkocka rács egyesülése, amelyek mindegyikének pontjai a másik hiperkockájának középpontjában helyezkednek el, egy gyűrűt alkot, amelyet Hurwitz kvaterniógyűrűnek neveznek . A 24 Hurwitz kvaternió 1-es normával egy hiperoktaédert alkot .

Források

John Baez , The Octonions , 4.2. szakasz: F 4 , Bull. amer. Math. szoc. 39 (2002), 145-205 . On-line HTML verzió (eng.) (Hozzáférés dátuma: 2009. december 26.)

Kivételes egyszerű Lie csoportok
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció