G₂

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A G 2 a matematikában három egyszerű Lie-csoport (komplex, valódi kompakt és valós osztott), a hozzájuk kapcsolódó Lie algebra , valamint több algebrai csoport neve . Ezek a legkisebbek az öt kivételes egyszerű Lie-csoport közül, 2. rangú és 14. dimenziójú, hű, nem triviális véges dimenziós lineáris reprezentációkkal . Összességében a G2 - nek két alapvető reprezentációja van a 7-es és a 14 -es dimenzióknak, amelyek közül az első a G2 gyökérrendszer egy rövid gyökerének felel meg . $\mathfrak{g}_2$

A G 2 kompakt forma az oktonion (oktáv) algebra automorfizmuscsoportja , vagy az SO(7) egy alcsoportja, amely egy rögzített 8-dimenziós spinort (spinorábrázolásában) a helyén hagy .

Megvalósítások

Egy adott gyökérrendszerhez három egyszerű valós Lie algebra tartozik :

A G 2 komplex Lie algebra alapjául szolgáló tisztán valós Lie algebra 28 dimenziós és egyszerűen összekapcsolt. A komplex konjugáció a külső automorfizmusa. Az ehhez az algebrához tartozó csoport maximális kompakt alcsoportja a G 2 kompakt alakja .
A Lie algebra kompakt formában 14-es dimenzióval rendelkezik. A hozzá tartozó Lie-csoportnak nincs külső automorfizmusa , nincs középpontja , és egyszerűen össze van kötve és kompakt.
A Lie algebra nem tömör (elválasztott) formájában 14 dimenziót tartalmaz. A kapcsolódó egyszerű Lie-csoportnak van egy 2-es rendű alapcsoportja , a külső automorfizmuscsoportja pedig egy triviális csoport. Maximális kompakt alcsoportja SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Ehhez a csoporthoz létezik egy nem algebrai kettős univerzális fedőcsoport (egyszerűen összekapcsolva).

Algebrai tulajdonságok

Dynkin séma

Gyökérrendszer G 2

Annak ellenére, hogy a gyökérvektorok elhelyezhetők 2-dimenziós térben, három koordinátában, amelyek összege nulla, szimmetrikusabbnak tűnik:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,-1), (-1,0,1), (0,1,-1), (0,-1,1), (2,−1,−1), (−2,1,1), (1,−2,1), (−1,2,−1), (1,1,−2), (−1,−1,2),

és egyszerű pozitív gyökvektorok

(0,1,−1), (1,−2,1).

Weyl / Coxeter csoport

A G 2 algebra esetében ez a 12. rendű D 12 diédercsoport .

Cartan mátrix

\begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix}

Speciális holonómia

A G 2 azon speciális csoportok egyike, amelyek a Riemann-metrika holonómiacsoportjai lehetnek . A G 2 - holonómiával rendelkező fajtákat G 2 - fajtáknak nevezzük .

Linkek

John Baez , The Octonions , 4.1. szakasz: G2 , Bull. amer. Math. szoc. 39 (2002), 145-205 . Online HTML verzió .

Kivételes egyszerű Lie csoportok
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció