Csoportos automorfizmus

A csoportautomorfizmus egy csoport önmagára való bijektív homomorfizmusa .

Egy csoport automorfizmusát belsőnek nevezzük, ha van olyan elem , amelyet (ebben az esetben néha jelöléssel jelölnek ); egyébként az automorfizmust külsőnek nevezzük. $f$ $G$ $a\in G$ $f(x)=axa^{{-1}}$ $f$ $\alpha_{a}$

Egy csoport automorfizmusainak csoportját a belső automorfizmusok halmazával jelöljük . Mivel a -nek egy alcsoportja , azt is be lehet bizonyítani, hogy normális alcsoportja . A hányadoscsoportot egy csoport külső automorfizmusainak csoportjának nevezzük. A leképezés olyan homomorfizmust határoz meg, amelynek kernelje a csoport közepe , így . Minden normál alcsoport invariáns a belső automorfizmusok hatására. Azokat az alcsoportokat, amelyek invariánsak a csoport összes automorfizmusának hatására, karakterisztikusnak nevezzük . $G$ $\operátornév {Aut}G,$ $\operátornév {Int}G.$ $\alpha _{g}\alpha _{h}=\alpha _{{hg}},\;\operátornév {Int}G$ $\operátornév {Aut}G,$ $\operátornév {Out}G=\operátornév {Aut}G/\operátornév {Int}G$ $g\to \alpha _{g}$ $G\to \operátornév {Int}G$ $Z(G)$ $\operátornév {Int}G\cong G/Z(G)$

Minden olyan csoportot, amely egybeesik az automorfizmus csoportjával, tökéletesnek nevezzük . Az összes szimmetrikus csoport tökéletes . Egy csoport automorfizmus-csoporttal rendelkező kiterjesztését holomorfnak nevezzük . $S_{n}$ $n\neq 2;6$

Példák

$\operatorname {Aut}{\mathbb {Z}}^{+}={\mathbb {Z}}_{2}$
$\operatorname {Aut}{\mathbb {Q}}^{+}={\mathbb {Q}}^{{\times }}$
${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{n}^{+})=\mathbb {Z} _{n}^{\times ))$ (a csoport izomorf a maradékgyűrű multiplikatív csoportjával ) $\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{n})$ $\mathbb {Z} _{n}$
- Különösen, ha p egyszerű, (egy csoport automorfizmuscsoportja ciklikus p − 1 elemekkel) $\operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{p}^{+}=\mathbb {Z} _{p}^{\times }=\mathbb {Z} _{p-1}^{ +}$ $\mathbb {Z} _{p}$
$\operatorname {Aut} S_{n}=\operatorname {Int} S_{n}=S_{n},n\neq 2,6;\;\operatorname {Out} S_{6}=\mathbb { Z} _{2},\;\operátornév {Aut} S_{6}=S_{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
Ha olyan mező, amelynek karakterisztikája nagyobb, mint kettő, akkor $K$ $\operátornév {Aut}\operátornév {GL}_{n}(K)=\operátornév {SL}_{n}(K).$
Az egységhatványok összes komplex gyökeinek halmazának automorfizmuscsoportja a p -adikus számok összeadás általi csoportja . $p^{n}$
Egy véges rangú szabad csoport külső automorfizmusainak csoportját a bázis elemeinek Nielsen-transzformációi generálják.
Egy hazugság-csoport automorfizmusainak halmaza egyben hazugság-csoportot is alkot. [egy]

Jegyzetek

↑ L. S. Pontryagin Folyamatos csoportok 121. o