Tökéletes csoport

A kifejezés másik jelentése: egy csoport, amely egybeesik a származtatott alcsoportjával

A tökéletes csoport [1] olyan csoport , amelynek leképezése izomorfizmusa . Ez a leképezés egy elemet küld egy konjugációs automorfizmusba . Ennek a leképezésnek az injektivitása egyenértékű a középpont trivialitásával, a szürjektivitás pedig azzal, hogy minden automorfizmus belső. $G$ $G\to Aut(G)$ $g\in G$ $s_{g}:h\to ghg^{-1}$

Ilyenek például a szimmetrikus csoportok ( Hölder tétele ); sőt, a csoportnak van egy nemtriviális központja, és a csoportnak van egy külső automorfizmusa . $S_{n}$ $n\neq 2.6$ $S_{2}=\mathbb {Z} _{2}$ $S_6$

Egy egyszerű csoport automorfizmusai egy majdnem egyszerű csoportot alkotnak , és egy nem Abel -féle egyszerű csoport automorfizmusai tökéletes csoportot alkotnak.

Nem minden csoport, amely az automorfizmus csoportjával izomorf, tökéletes – szükséges, hogy az izomorfizmust konjugációs térkép segítségével végezzük el. Példa egy olyan csoportra, amelyre , de nem tökéletes, a diédercsoport [2] . $G=Aut(G)$ $D_{4}$

Jegyzetek

↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai. - 2. kiadás - Moszkva: Nauka, 1977. - S. 62. - 240 p.
↑ Robinson, 13.5 szakasz

Irodalom

Robinson, Derek John Scott (1996), Csoportelmélet tanfolyam , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J. (1994), Bevezetés a csoportok elméletébe , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (7. fejezet, különösen a 7.15. és 7.17. tétel).

Linkek

Joel David Hamkins : Milyen magas egy csoport automorfizmus tornya?