A tökéletes csoport [1] olyan csoport , amelynek leképezése izomorfizmusa . Ez a leképezés egy elemet küld egy konjugációs automorfizmusba . Ennek a leképezésnek az injektivitása egyenértékű a középpont trivialitásával, a szürjektivitás pedig azzal, hogy minden automorfizmus belső.
Ilyenek például a szimmetrikus csoportok ( Hölder tétele ); sőt, a csoportnak van egy nemtriviális központja, és a csoportnak van egy külső automorfizmusa .
Egy egyszerű csoport automorfizmusai egy majdnem egyszerű csoportot alkotnak , és egy nem Abel -féle egyszerű csoport automorfizmusai tökéletes csoportot alkotnak.
Nem minden csoport, amely az automorfizmus csoportjával izomorf, tökéletes – szükséges, hogy az izomorfizmust konjugációs térkép segítségével végezzük el. Példa egy olyan csoportra, amelyre , de nem tökéletes, a diédercsoport [2] .