Szimmetrikus csoport

Szimmetrikus csoport – egy adott halmaz összes permutációjának (vagyis bijekcióinak ) csoportja a kompozíciós művelethez képest . $x$ $X\-X$

Egy halmaz szimmetrikus csoportját általában jelöljük . Ha , akkor szintén jelöli . Mivel egyenlő hatványú ( ) halmazoknál a permutációs csoportjaik ( ) is izomorfok , így véges rendű csoport esetén a permutációs csoportját a -val azonosítjuk . $x$ $S(X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S(X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $n$ $S_{n}$

A szimmetrikus csoport semleges eleme az azonosság - permutáció . $\mathrm {id} (x)=x$

Permutációs csoportok

Bár a permutációk (vagy permutációk) csoportja általában magára a szimmetrikus csoportra vonatkozik, néha, különösen az angol nyelvű szakirodalomban, a szimmetrikus csoport [1] alcsoportjait egy halmaz permutációs csoportjainak nevezik . Ebben az esetben a csoport mértékét kardinalitásnak nevezzük . $x$ $S(X)$ $x$

Minden véges csoport izomorf a csoport valamely részcsoportjával ( Cayley tétele ). $G$ $S(G)$

Tulajdonságok

A szimmetrikus csoport elemeinek száma véges halmaz esetén megegyezik az elemek permutációinak számával, vagyis a hatványfaktorral : . A szimmetrikus csoport nem kommutatív. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

A szimmetrikus csoport a következő hozzárendelést engedi meg : $S_{n}$

\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ |ij| >1\rangle

Feltételezhetjük, hogy permuálja és . A csoportelemek maximális sorrendje a Landau függvény . $\sigma_i$ $én$ $i+1$ $S_{n}$

A csoportok feloldhatók , míg a szimmetrikus csoportok feloldhatatlanok . ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n\geqslant 5$ $S_{n}$

Egy szimmetrikus csoport akkor és csak akkor tökéletes (azaz a konjugációs leképezés izomorfizmus), ha a sorrendje eltér 2-től és 6-tól ( Hölder tétele ). Abban az esetben, ha a csoportnak van még egy külső automorfizmusa . Ebből és az előző tulajdonságból adódóan minden automorfizmus belső, azaz minden automorfizmusnak van valamilyen alakja . $n=6$ $S_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alpha(x)$ $g^{-1}xg$ $g\in S_n$

A szimmetrikus csoport konjugált elemeinek osztályainak száma megegyezik a [2] szám partícióinak számával . Az átültetések halmaza egy generáló halmaz . Másrészt mindezeket a transzpozíciókat mindössze két permutáció generálja , tehát egy szimmetrikus csoport generátorainak minimális száma kettő. $S_{n}$ $n$ $(12),(23),...,(n-1 \ n)$ $S_{n}$ $(12), (12...n)$

A szimmetrikus csoport középpontja triviális -ra . A kommutátor a váltakozó csoport ; ráadásul at az egyetlen nem triviális normál alcsoport , és van még egy normál alcsoportja - a Klein négyes csoport . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $A_{n}$ $n\neq 4$ $A_{n}$ $S_{n}$ $S_4$

Megtekintések

A permutációs csoport bármely alcsoportja reprezentálható a -ból származó mátrixok csoportjával , és minden permutáció egy permutációs mátrixnak felel meg (olyan mátrix, amelyben a cellák összes eleme 1, a többi elem pedig nulla); például egy permutációt a következő mátrix képvisel : $G$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\to\pi (i)$ $(i,\pi(i))$ $(231)$ $3\x 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Egy ilyen csoport 1-es determinánsú mátrixokból álló alcsoportja izomorf a váltakozó csoporttal . $A_{n}$

A szimmetrikus csoportoknak más ábrázolásai is vannak, például a dodekaéder (forgásokból és visszaverődésekből álló) szimmetriacsoportja izomorf , míg a kocka forgáscsoportja izomorf . $S_5$ $S_4$

Jegyzetek

↑ Aigner M. Kombinatorikus elmélet. M.: Mir, 1982. - 561 p.
↑ OEIS sorozat A000041 _

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - M. : Factorial-Press, 2001.
Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. A csoportelmélet alapjai. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. rész III. Alapvető szerkezetek. - M. Kiadó = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. A csoportok elmélete. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1967.
Postnikov M. M. Galois elmélet. - M .: Fizmatlit, 1963.