G2-elosztó

$G_{2}$ -sokaság egy hétdimenziós Riemann-féle sokaság holonómiacsoporttal vagy annak alcsoportjával. Fontosak a húrelméletben , különösen az M-elméletben . $G_{2}$

$G_{2}$ Az elosztók nulla Ricci-görbülettel rendelkeznek , tájolhatóak és spinor szerkezetűek.

Geometria

A -sokaságok geometriája szorosan összefügg a hétdimenziós vektorszorzattal : ezek ugyanis hétdimenziós Riemann-sokaságok, minden érintőtéren, amelyhez vektorszorzat tartozik, és mint tenzormezőt a Levi- Civita kapcsolat (így a hétdimenziós euklideszi tér vektorszorzattal a legegyszerűbb példa -változatok). Ez a feltétel azt jelenti, hogy egy ilyen metrika holonómiája a csoportban rejlik : a párhuzamos fordítások megőrzik a vektorszorzatot, és egy ilyen szorzat automorfizmuscsoportja pontosan . Másrészt, ha van ilyen holonómiával rendelkező mérőszám, akkor a csoportreprezentációs elmélet $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ segít belátni, hogy a ferde-szimmetrikus típusú tenzorok terében egy megkülönböztetett párhuzamos egydimenziós alköteg található. Állandó hosszúságú szakasza a hétdimenziós vektorszorzatok mezője. $(2.1)$

Ha a vektorszorzatból kihagyjuk a metrikára vonatkozó indexeket, akkor egy 3-as alakot kaphatunk, amelyet általában vagy jelölünk . Mivel csavarásmentes kapcsolat (nevezetesen a Levi-Civita kapcsolat) alatt párhuzamos, zárt. Hodge dual 4-formája is párhuzamos és zárt, tehát harmonikus is. Egy hétdimenziós térben lévő általános 3-formának van egy stabilizátora , így a -sokaságok egy sehol sem degenerálódott zárt 3-formával definiálhatók. Ez közelebb viszi őket a szimplektikus sokaságokhoz (olyan sokaság, amelynek zárt 2-es formája sehol nem degenerált), de fontos megérteni, hogy a hétdimenziós térben lévő 3-forma egy metrikát határoz meg, a 2-forma pedig soha nem határoz meg metrikát. $\phi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

Azonban a szimplektikus geometria egy fontos fogalma - a Lagrange-féle részsokaság fogalma, vagyis egy féldimenziós részsokaság , amelyre a 2-es alakot az azonos nulla korlátozza - részben átkerül a -sokaságra. Ugyanis egy háromdimenziós részsokaságot asszociatívnak nevezünk, ha a 4-es alak eltűnik, amikor ennek az alsokaságnak bármelyik három érintőmezőjét behelyettesítjük (vagy ami ugyanaz, a 3- as alak egy három alakjaként korlátozódik rá. -dimenziós Riemann-térfogat). Egy négydimenziós részsokaságot koasszociatívnak nevezünk, ha a 3-as alakot az azonos nulla korlátozza rá (ekvivalens, hogy a 4-es alak egy négydimenziós Riemann-térfogat alakjaként korlátozódik rá). Ezeket a neveket alternatív definícióik magyarázzák a vektorszorzaton keresztül: az asszociatív altér a vektorszorzat alá zárt háromdimenziós altér (vagy ha figyelembe vesszük, hogy a hétdimenziós vektorszorzat képzetes szorzatból adódik. oktávok , mint képzeletbeli kvaterniók a képzeletbeli oktávokban az algebrák bizonyos beágyazásához ). A koasszociatív alterek pontosan az asszociatív alterek ortogonális komplementerei, vagy olyan alterek, amelyekben bármely két vektor vektorszorzata merőleges erre az altérre. $G_{2}$ $\star \rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

Egy másik, a fizikusok körében elterjedt analógia az asszociatív sokaságokat a Calabi-Yau 3-sokaságok komplex görbéihez hasonlítja, a koasszociatív sokaságokat pedig a speciális Lagrange-alsokaságokhoz. Valójában egy Calabi-Yau 3-sokató derékszögű szorzata Ricci-lapos metrikával egy körön egy hétdimenziós sokaság holonómiával . Ráadásul az ebben a sokaságban és a körben található komplex görbék szorzatai asszociatívak, a speciális Lagrange-alsokaságok szorzatai pedig koasszociatívak. ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\subset G_{2))$

A hétdimenziós vektorszorzat figyelemre méltó tulajdonsága, amely közelebb hozza a háromdimenzióshoz, hogy ha egységvektor, akkor bármely merőleges vektorra van . Más szavakkal, a vektor szorzása az egységnormálissal egy hipersík endomorfizmus négyzetes szorzás -val , vagyis egyszerűen egy összetett szerkezet. Így egy -sokaságban minden orientálható hiperfelületnek természetes , csaknem összetett szerkezete van, ami analóg egy orientálható felületen lévő Riemann -felület szerkezetével . Ezt a jelenséget a hétdimenziós euklideszi térre alkalmazva Calabi fedezte fel (még az általános sokaságok bevezetése előtt ). Ugyanakkor a háromdimenziós esettel ellentétben egy ilyen struktúra rendkívül ritkán integrálható (vagyis lehetővé teszi az analitikus atlaszt összetett tér tartományaiból ): például az euklideszi tér esetében a Calabi-kritérium kimondja hogy ez a szinte bonyolult struktúra akkor és csak akkor integrálható, ha a The Weingarten hiperfelület operátornak sajátértékei vannak . Ennek a hiperfelületnek különösen minimálisnak kell lennie . Például a gömb szabványos majdnem összetett szerkezetét úgy kapjuk meg, mint a Calabi majdnem összetett szerkezetét az egységgömbhöz . Egy hatdimenziós gömbön egy integrálható, csaknem összetett szerkezet jelenléte rendkívül nehéz probléma ( Chern-sejtés ), amelynek státuszáról a legjelentősebb geométerek véleménye korántsem egyöntetű. Ugyanakkor a differenciálgeometria szempontjából is érdekesek az olyan szinte bonyolult sokaságok, mint az egységgömb: ezek alkotják az ún. „kb. Kähler sokaság” ( eng. majdnem Kähler sokaság – a pontos orosz nyelvű fordítás még nem tisztázott), vagyis szinte hermitiánus sokaság, a szabványos 2-es alak kovariáns származéka a Levi-Civita kapcsolathoz képest, amelyen teljesen ferde-szimmetrikus. Egy valós hatdimenziós, megközelítőleg Kähleri-sokaság feletti metrikus kúp -sokaság, és fordítva, egy kúposan szimmetrikus -sokaság (vagyis egy multiplikatív csoport működését homotétiák általi hatását elfogadó) hányadosa természetesen megközelítőleg Kähleri-féle. $u$ $x$ $(x\times u)\times u=-x$ $-egy$ $G_{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $G_{2}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ $S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7}$ $G_{2}$ $G_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0))$

Történelem

Az 1955-ben bebizonyított Berger–Simons tétel kimondja, hogy egy kompakt Riemann-sokaság holonómiacsoportja, amely nem lokálisan szimmetrikus , tranzitívan hat az egység érintővektorokra. Az ilyen csoportok Berger által megadott listája egyaránt tartalmazta azokat a csoportokat, amelyeket akkoriban a klasszikus geometriák holonómiacsoportjaként ismertek (például egy általános Riemann-sokaság holonómiacsoportja vagy a Kähleri-sokaságok holonómiacsoportja ), és azokat, amelyek , mint később kiderült, csak lokálisan szimmetrikus sokaságon lehetnek holonómiacsoportok (például a spinor csoport , amelyet Berger Alekseevsky kizárt a listáról ). Sokáig azt hitték, hogy a képzeletbeli oktávok hétdimenziós terére ható csoport nem lehet egy nem lokálisan szimmetrikus sokaság holonómiacsoportja is, ennek bizonyítására irányultak a 60-as, 1980-as években a geométerek erőfeszítései. ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {U} (n)$ $\mathrm {Spin} (16)$ $G_{2}$

Bonan 1966-ban bebizonyította, hogy a sokaság egy párhuzamos 3-formát és egy 4-formájú duált enged egymásnak a Hodge-csillag segítségével . Az ő idejében azonban nincs példa olyan sokaságra, amelynek holonómiacsoportja egyenlő . Az első ilyen mérőszám példáját a tartományban Bryant állította össze 1987-ben. 1989-ben Bryant és Salamon -metrikákat szerkesztett komplett, de nem kompakt elosztókon: egy spinor-köteg egy állandó metszeti görbületű háromdimenziós sokaságon, és egy anti-ön-kettős formaköteg egy négydimenziós Einstein-elosztón. önduális Weyl-tenzor (például négydimenziós gömb kerek metrikával vagy összetett projektív sík Fubini-tanulmány metrikával). Részben analógiák a kotangensköteg összterére vonatkozó szimplektikus szerkezettel (pontosabban a Kähler-sokaság holomorf tangenskötegének kanonikus hiperkähler-metrikájával, amely akkor még nem volt ismert, és az 1990-es években fedezhető fel. Faix és Kaledin ). Ezeket a részeredményeket annak bizonyítékául vették, hogy az ilyen mérőszámok lehetetlenek egy kompakt elosztón. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

1994-ben azonban ezt a nézetet megcáfolták: Joyce számos példát konstruált kompakt sokaságra egy holonómiacsoporttal , és megtalálta a módját egy hétdimenziós tórusz tényezőjének egy véges csoport feletti szingularitásainak analitikus feloldására. 1998-ban MacLean a koasszociatív és asszociatív részsokaságok deformációit tanulmányozta zárt sokaságban, és különösen azt találta, hogy a koasszociatív változatok deformációit belső geometriájuk alapján írják le, míg az asszociatív változatoknak van egy olyan deformációs elmélete, amelyet néhány Dirac-operátor ír le, attól függően, hogy zárt térbe ágyazódnak, és általában merevek. A 2000-es években feltalálták a csavart kapcsolt Kovalev -összeg konstrukciót , amely lehetővé teszi, hogy egy pár Fano 3 -szeresből néhány kompatibilitási feltétel mellett -elosztó-elosztókat készítsünk. Az olyan elosztók kötegeit, amelyek szálai koasszociatívak (különösen, amint azt MacLean megjósolta, meglehetősen sok deformációjuk van), először ezzel a konstrukcióval hozták létre, és néha "Kovalev-Lefschetz tárcsáknak" nevezik (például Donaldson ). a K3 felületeken lévő elliptikus görbékhez fűződő kötegekkel analóg módon, amelyeket történelmileg "Lefschetz-kövéknek" neveztek. Kovalev konstrukciójának általánosítása lehetővé tette több tízezer páronkénti nem-diffeomorf kompakt sokaságon -struktúrák előállítását. Ezenkívül ezekben az általánosításokban asszociatív alfajtákkal rendelkező fajtákat kaptunk. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

A -sokaságok geometriája és a komplex geometria között érdekes új összefüggést hozott létre 2011-ben Verbitsky : a csomók tere egy -sokaságban (végtelen dimenziós) formálisan Kähleri sokaság (más szóval, bár nem enged lokális térképeket). értékekkel a komplex Fréchet térben komplex analitikus újraragasztási függvényekkel, de az ilyen térképek jelenlétének lineáris-algebrai akadálya, a Nijenhuis-tenzor eltűnik rajtuk; véges dimenziós esetben ez elegendő ahhoz, hogy komplex analitikai atlasz jelenléte). $G_{2}$ $G_{2}$

Lásd még

Calabi-Yau tér