Ricci tenzor

A Ricci -Curbastro nevéhez fűződő Ricci- tenzor meghatározza a sokaság görbületének mérésének egyik módját , vagyis azt, hogy a sokaság geometriája mennyiben tér el egy lapos euklideszi tér geometriájától . A Ricci-tenzor, akárcsak a metrikus tenzor , szimmetrikus bilineáris forma a Riemann-sokaság érintőterén . Durván szólva, a Ricci-tenzor a térfogati deformációt méri, vagyis azt, hogy egy n -dimenziós sokaság n - dimenziós tartományai milyen mértékben különböznek az euklideszi tér hasonló tartományaitól. Lásd a Ricci tenzor geometriai jelentését .

Általában vagy jelöli . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Definíció

Legyen egy n - dimenziós Riemann-sokaság , és legyen az M érintőtere a p pontban . Bármely p helyen lévő érintővektorpárra a Ricci-tenzor definíció szerint leképez egy lineáris automorfizmus nyomát , amelyet az R Riemann görbületi tenzor ad meg : $(M,g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}}(\xi ,\eta )$ $(\xi ,\eta )$ $T_{p}M\to T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Ha helyi koordinátákat adunk meg a sokaságon, akkor a Ricci-tenzor komponensekre bővíthető:

\operátornév {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

hol van a Riemann-tenzor nyoma a koordinátaábrázolásban. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Geometriai érzék

A Riemann-sokaság bármely p pontjának környezetében mindig meghatározhatunk speciális lokális koordinátákat, az úgynevezett normál geodéziai koordinátákat , amelyekben a p pontból származó geodetikusok egybeesnek az origón átmenő egyenesekkel. Ezenkívül magában a p pontban a metrikus tenzor egyenlő az euklideszi tér metrikájával (vagy a Minkowski-metrikával pszeudo-Riemann-féle sokaság esetén ). $(M,g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

Ezekben a speciális koordinátákban a térfogatalak egy Taylor sorozattá bővül p körül :

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Big ]}d\mu _{\text{Euclid))

Így, ha a Ricci-görbület pozitív a vektor irányában , akkor a p pontból kiinduló keskeny geodetikus kúp térfogata kisebb lesz, mint ugyanez a kúp az euklideszi térben. Hasonlóképpen, ha a Ricci-görbület negatív, akkor a keskeny geodetikus kúp a vektor irányában nagyobb térfogatú lesz, mint az euklideszi. ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Ricci görbülete és geometriája általában

Legyen egy teljes -dimenziós Riemann sokaság $M$ $n$ $\operátornév {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Bishop-Gromov egyenlőtlenség . Legyen , jelöljük egy sugarú golyó térfogatával , amelynek középpontja , jelölje egy sugarú golyó térfogatát az állandó görbületű térben . Aztán a kapcsolat $p\in M$ $v_{p}(r)$ $r$ $p$ ${\tilde v}(r)$ $r$ $n$ $\kappa$ ${\frac {v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

egy nem növekvő függvénye .

r

Meyer tétele
Az 1-formákra vonatkozó Bochner-azonosságból következik , hogy ha akkor a laplaci sajátértékei nem kisebbek, mint az egységdimenziós gömbé. $\kappa =1$ $M$ $n$

A Ricci tenzor alkalmazásai

A Ricci-féle görbületi tenzor az általános relativitáselméletben az Einstein-egyenletek kulcsfontosságú összetevőjeként szolgál .

A Ricci-görbület a Ricci-áramlási egyenletben is megjelenik , amelyben az időfüggő metrika a mínusz Ricci-görbülettel arányosan deformálódik.

Ricci tenzor

Definíció

Geometriai érzék

Ricci görbülete és geometriája általában

A Ricci tenzor alkalmazásai

Lásd még