Kötet alakja

A térfogatforma egy magasabb dimenziójú differenciálforma egy sima sokaságon (vagyis egy -forma egy -dimenziós sokaságon), amely egyetlen ponton sem tűnik el. $n$ $n$

A térfogatforma lehetővé teszi egy függvény integráljának meghatározását egy sokaságon keresztül. Más szóval, a térfogat alakja határozza meg azt a mértéket , amelyre a függvények integrálhatók.

Tulajdonságok

A sima elosztó akkor és csak akkor enged térfogatformát, ha tájolható.
Térfogat alakú sokaságon egy vektormező divergenciája a következő azonosságokkal határozható meg: $\omega$ $x$ $(\operátornév {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

ahol jelöli a Lie deriváltot a -hoz viszonyítva , a külső differenciál , és a behelyettesítési művelet -ben .

{\mathcal {L}}_{X}

x

d

X\;\lrcorner \;\omega

x

\omega

Példák

Bármely Lie csoporton a térfogatforma természetes megválasztása az egységben lévő formából származik jobbra (vagy balra) történő eltolással. Az ilyen formákat jobb- és bal-invariánsnak nevezzük. Következésképpen minden hazugság csoport orientálható. A megfelelő mértéket Haar mértéknek nevezik .

A szimpla dimenziós sokaságnak természetes térfogata van . $(M,\omega )$ $2{\cdot }n$ $\omega ^{{\wedge n}}$

Bármely orientált pszeudo-riemann (beleértve a Riemann -féle ) sokaságot is természetes térfogatalakja van, amely lokális koordinátákban így fejezhető ki. $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

ahol a metrikus tenzor reprezentációs mátrixa determinánsának abszolút értéke .

|g|

Kötet alakja

Tulajdonságok

Példák

Irodalom